зад 1 Груз с пружинами
На гладком горизонтальном столе лежит груз массы \(m\), к которому прикреплены две одинаковые пружины жёсткости \(k\) каждая (рис.).
Левый конец пружины I прикреплён к стенке; в момент времени \(t = 0\) правый конец пружины II начинают медленно перемещать с постоянной скоростью \(u\).
Через какое время груз впервые приобретёт скорость \(u\)?
На каком расстоянии от первоначального положения будет он в этот момент находиться?
Указание. Перейдите в систему отсчёта, движущуюся со скоростью \(u/2\).
▶ПодсказкаСкрыть
Положение равновесия груза движется со скоростью \(u/2\), а сам груз колеблется около него с частотой \(\sqrt{2k/m}\). В указанной системе отсчёта груз в начале имеет скорость \(-u/2\), а нужная скорость равна \(+u/2\) — это половина периода.
▶ОтветСкрыть
1) \(\tau = \pi\sqrt{\dfrac{m}{2k}}\); 2) \(s = \dfrac{\pi u}{2}\sqrt{\dfrac{m}{2k}}\).
зад 2 Вращение заряженного цилиндра
На длинном тонкостенном диэлектрическом цилиндре радиуса \(R\), длины \(L \gg R\) и массы \(M\) размещён электрический заряд одинаковой поверхностной плотностью \(\sigma\). Цилиндр может свободно (без трения) вращаться вокруг своей оси под действием груза массы \(m\), подвешенного на невесомой нити, намотанной на цилиндр (рис.). Определите ускорение груза.
Магнитную постоянную \(\mu_0\) считать заданной.
▶ПодсказкаСкрыть
Вращающийся заряженный цилиндр — соленоид с поверхностным током \(\sigma\omega R\). Энергия его магнитного поля пропорциональна \(\omega^2\) и действует как добавочная кинетическая энергия (эффективная масса); можно также найти вихревое электрическое поле, тормозящее заряды при разгоне.
▶ОтветСкрыть
\(a = \dfrac{mg}{M + m + \mu_0\pi\sigma^2R^2L}\).
зад 3 Заряженный мыльный пузырь
Через короткую трубку выдувают мыльный пузырь массой \(m = 0{,}01\) г и коэффициентом поверхностного натяжения \(\sigma = 0{,}01\) Н/м (рис.). Пузырь заряжают зарядом \(Q = 5{,}4 \cdot 10^{-8}\) Кл. Трубка остаётся открытой.
Определите равновесный радиус пузыря \(R_0\).
Определите период малых колебаний пузыря, если при колебаниях он сохраняет сферическую форму.
Оцените, с какой скоростью разлетятся брызги, если пузырь внезапно зарядить зарядом \(Q_1 = 10Q\).
Электрическая постоянная \(\varepsilon_0 = 8{,}85 \cdot 10^{-12}\) Кл\(^2\)/(Дж\(\cdot\)м).
▶ПодсказкаСкрыть
Трубка открыта, поэтому давления газа внутри и снаружи равны: равновесие — когда электрическое давление \(\sigma_q^2/(2\varepsilon_0)\) уравновешивает лапласово давление двух поверхностей плёнки \(4\sigma/R\). Для колебаний запишите уравнение движения плёнки при малом отклонении радиуса, для брызг — закон сохранения энергии.
▶ОтветСкрыть
1) \(R_0 = \sqrt[3]{\dfrac{Q^2}{128\pi^2\varepsilon_0\sigma}} \approx 3{,}0\) см; 2) \(T = \sqrt{\dfrac{\pi m}{12\sigma}} \approx 16\) мс; 3) \(v = \dfrac{10Q}{\sqrt{4\pi\varepsilon_0R_0m}} \approx 94\) м/с.
зад 4 Использование энергии морских волн
Первое устройство, вырабатывающее электричество для бакена за счёт энергии морских волн, было создано в 1964 году. Схема бакена показана на рисунке. Воздух сначала засасывается при опускании поршня через клапан \(K_2\), затем сжимается и впускается в рабочую полость через клапан \(K_1\). Когда поверхность воды опускается, клапан \(K_1\) закрыт, а клапан \(K_2\) открыт. За один раз засасывается \(V_1 = 0{,}233\) м\(^3\) воздуха при давлении \(p_1 = 1{,}0 \cdot 10^5\) Па и температуре \(t_1 = 7\,^\circ\)C.
Когда поверхность воды начинает подниматься, клапан \(K_2\) закрывается, и воздух адиабатически сжимается поршнем до давления \(p_2 = 6{,}0 \cdot 10^5\) Па. После этого открывается клапан \(K_1\), и поршень продолжает двигаться вверх до тех пор, пока весь воздух не будет вытолкнут в рабочую полость. При этом воздух в рабочей полости приводит в движение турбину и генератор, вырабатывающий электричество. После открытия клапана \(K_1\) давление воздуха над поршнем остаётся приблизительно неизменным.
Пренебрегая массой поршня и трением между поршнем и стенкой, определите, какую работу за один цикл совершает вода при подъёме поршня.
Воздух можно считать идеальным двухатомным газом, для которого \(\gamma = C_p/C_V = 7/5\). Универсальная газовая постоянная \(R = 8{,}31\) Дж/(моль\(\cdot\)К).
▶ПодсказкаСкрыть
Работа складывается из двух частей: адиабатического сжатия (равна приросту внутренней энергии воздуха) и выталкивания сжатого воздуха при постоянном давлении \(p_2\).
▶ОтветСкрыть
\(A = \dfrac{p_1V_1}{\gamma - 1}\left[\left(\dfrac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} - 1\right] + p_2V_1\left(\dfrac{p_1}{p_2}\right)^{\frac{1}{\gamma}} \approx 77{,}8\) кДж.
зад 5 Оптическая система
Говорят, что в архиве Снеллиуса нашли чертёж оптической схемы. От времени чернила выцвели, и на чертеже остались видны только параллельные друг другу собирающая линза, объект и его действительное изображение (рис.). Из пояснений к чертежу было ясно, что за линзой было расположено плоское зеркало. Восстановите построением по имеющимся данным положение зеркала и найдите положения фокусов линзы.
▶ПодсказкаСкрыть
Свет дважды проходит линзу: замените зеркало отражением линзы в нём — получится система из двух одинаковых линз. Используйте лучи с известным ходом: через оптический центр линзы без преломления, а падающий на зеркало перпендикулярно — обратно по себе.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2007/08, заключительный этап, 11 класс, теоретический тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.