зад 1 Три резинки и узел
Три одинаковые длинные «резинки», которые при растяжении подчиняются закону Гука, уложили параллельно друг другу и совместили концы, которые с одной стороны связали узлом. Два свободных конца взял в руки Вася, а третий свободный конец — Петя. Вася, держа концы резинок, бежит на север со скоростью 8 м/с, а Петя, держа свою резинку, бежит на восток со скоростью 9 м/с. В тот момент, когда резинки выпрямились и совсем немного растянулись, они расположились в направлении «восток–запад». С какой по модулю скоростью двигался в этот момент узел?
▶ПодсказкаСкрыть
Узел невесом, поэтому натяжения резинок уравновешены в каждый момент: отсюда связь скоростей удлинения резинок Васи и Пети. Разложите скорости концов и узла на составляющие вдоль резинок и поперёк них.
▶ОтветСкрыть
5 м/с
зад 2 Динамометр на столе
В установке (рис.) масса динамометра равна \(M\), а массы грузов — \(m_1\) и \(m_2\). Коэффициент трения между динамометром и поверхностью стола равен \(\mu\). Участки \(AB\) и \(CD\) нити горизонтальны. Массами обеих нитей, блоков, а также пружинки можно пренебречь. Найдите показания динамометра, если они постоянны.
▶ПодсказкаСкрыть
Разберите отдельно случаи покоя и скольжения динамометра в одну или другую сторону. При движении все тела имеют общее ускорение; показание динамометра — натяжение нити \(AB\), найдите его из уравнения движения груза \(m_1\).
▶ОтветСкрыть
\[F = \begin{cases} m_1g, & \text{если } |m_1 - m_2| \leqslant \mu M;\\ m_1g\dfrac{2m_2 + (1+\mu)M}{m_1 + m_2 + M}, & \text{если } m_1 > m_2 + \mu M;\\ m_1g\dfrac{2m_2 + (1-\mu)M}{m_1 + m_2 + M}, & \text{если } m_2 > m_1 + \mu M \end{cases}\]
зад 3 Вода и бензин, соединённые трубкой
Два стакана высотой \(11H\) заполнены до уровня \(9H\) водой и бензином соответственно (рис.). Плотность воды \(\rho_0 = 1{,}0\) г/см\(^3\), а плотность бензина \(\rho_\text{б} = 0{,}72\) г/см\(^3\). Сверху стаканы соединены заполненной водой тонкой трубочкой с краном. Открытые концы трубки погружены на \(8H\) в каждую из жидкостей. Какие уровни установятся в стаканах, если кран открыть?
▶ПодсказкаСкрыть
Вода в трубке не разрывается, поэтому давления у её нижних концов отличаются только на разность гидростатических давлений столбов воды в трубке. Вода, перетекающая в стакан с бензином, оседает под бензином; учтите сохранение объёмов и проверьте, не дойдёт ли бензин до края стакана.
▶ОтветСкрыть
Вода — на уровне \(7{,}74H\); бензин — на уровне \(10{,}26H\)
зад 4 Наибольшая мощность на реостате
Электрическая цепь (рис.) подключена к сети постоянного напряжения. При изменении сопротивления переменного резистора \(R\) на нём выделяется мощность \(P_0 = 16\) Вт при токе \(I_1 = 1\) A и \(I_2 = 4\) A. Определите наибольшую мощность \(P_{\max}\), которая может выделиться на резисторе \(R\).
▶ПодсказкаСкрыть
Мощность на \(R\) равна \(P = UI - I^2r\) — квадратичная функция тока. По двум токам с одинаковой мощностью найдите \(U\) и \(r\) (или сразу положение вершины параболы).
▶ОтветСкрыть
\(P_{\max} = P_0\dfrac{(I_1 + I_2)^2}{4I_1I_2} = 25\) Вт
зад 5 Теплоёмкость в политропе
Идеальный одноатомный газ расширился в политропном процессе. При этом оказалось, что отношение совершённой газом работы к количеству подведённой к нему теплоты составило \(\alpha = 2{,}5\). Вычислите молярную теплоёмкость \(C\) газа в этом процессе.
Примечание. Политропным называется процесс, протекающий с постоянной теплоёмкостью.
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите первое начало: \(Q = \Delta U + A\), где \(Q = \nu C\Delta T\), \(\Delta U = \frac{3}{2}\nu R\Delta T\), и \(A = \alpha Q\).
▶ОтветСкрыть
\(C = \dfrac{3R}{2(1 - \alpha)} = -R\)
Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2008/09, региональный этап, 10 класс, теоретический тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.