зад 1 Шарик в лунке
В горизонтальной плоской плите сделана полусферическая гладкая лунка радиуса \(R\). Маленький шарик массы \(m\) прикреплён с помощью лёгкой нерастяжимой нити длиной \(L = R\) к краю лунки (в точке \(A\)). В начальный момент нить натянута, а шарик касается края лунки (рис.). Шарик отпускают, и он без начальной скорости начинает скользить вниз. Найдите силу натяжения нити в момент прохождения шариком нижнего положения. Ускорение свободного падения \(g\).
▶ПодсказкаСкрыть
Шарик движется по пересечению сферы лунки и сферы радиуса \(R\) с центром в точке \(A\), то есть по окружности; найдите её центр и радиус. В нижней точке скорость — из закона сохранения энергии, а натяжение — из второго закона Ньютона с учётом нормальной реакции лунки.
▶ОтветСкрыть
\(T = mg\sqrt{3}\).
зад 2 Преломленный луч
Говорят, что в архиве Снеллиуса нашли чертёж оптической системы (рис.). От времени чернила выцвели, и на чертеже остались видны только падающий луч да три точки: правый фокус \(F\) тонкой линзы, точка \(A\), в которой преломился падающий луч \(A'A\), и точка \(B\), принадлежащая левой фокальной плоскости линзы. Восстановите по этим данным положение линзы, её главной оптической оси и ход луча за линзой.
▶ПодсказкаСкрыть
Фокусы линзы симметричны относительно её оптического центра, а фокальные плоскости перпендикулярны главной оптической оси. Подумайте, как связаны расстояния от \(F\) и от \(B\) до плоскости линзы и как найти основание перпендикуляра из \(F\) на левую фокальную плоскость.
▶ОтветСкрыть
См. рис. 16, если линза собирающая, и рис. 17, если линза рассеивающая.
зад 3 Столкновение астероидов
В открытом космосе три небольших астероида из-за гравитационного притяжения сближаются друг с другом вдоль общей прямой, неподвижной относительно звёзд. Отношение расстояний от среднего астероида до крайних остаётся равным \(n = 2\) вплоть до их столкновения (рис.). Масса левого астероида равна \(m_1\), масса центрального — \(m_2\). Найдите массу \(m_3\) правого астероида.
▶ПодсказкаСкрыть
Если отношение расстояний сохраняется, то в системе центра масс конфигурация лишь подобно сжимается: ускорения астероидов пропорциональны их расстояниям до центра масс. Запишите ускорения через закон всемирного тяготения и приравняйте отношения.
▶ОтветСкрыть
\(m_3 = \dfrac{104m_1 + 63m_2}{19}\).
зад 4 Нелинейная проводимость
Некоторое вещество обладает нелинейной проводимостью. Удельное сопротивление \(\rho\) этого вещества зависит от напряжённости \(E\) электрического поля по следующему закону: \[\rho = \rho_0 + AE^2,\] где \(\rho_0 = 1{,}0 \cdot 10^7\) Ом\(\cdot\)м и \(A = 1{,}0 \cdot 10^{-3}\) Ом\(\cdot\)м\(^3\)/В\(^2\). Этим веществом заполнено всё пространство между пластинами плоского конденсатора. Площадь пластин \(S = 1\) м\(^2\).
Через конденсатор течёт ток. Найдите максимально возможное значение силы тока \(I_{\max}\).
Предполагая, что расстояние между пластинами конденсатора \(d = 1\) см, определите максимальную тепловую мощность, которая может выделяться внутри конденсатора при изменении напряжения между пластинами. Постройте качественный график зависимости мощности \(P\) от напряжения \(U\).
Пусть теперь напряжение на конденсаторе постоянно: \(U_1 = 2{,}0 \cdot 10^3\) В. Какая максимальная мощность может выделяться внутри конденсатора, если изменять расстояние между пластинами? При каком значении \(d = d_1\) достигается максимальная мощность? Предполагается, что конденсатор заполнен веществом при любых значениях \(d\). Постройте качественный график зависимости выделяемой мощности \(P\) от расстояния \(d\) между пластинами.
▶ПодсказкаСкрыть
Плотность тока \(j = E/\rho = E/(\rho_0 + AE^2)\) — функция одной переменной \(E\); найдите её максимум. Мощность в единице объёма равна \(jE\); исследуйте её как функцию \(E = U/d\) при фиксированном \(d\) и при фиксированном \(U\).
▶ОтветСкрыть
1) \(I_{\max} = \dfrac{S}{2\sqrt{A\rho_0}} = 5\) мА; 2) \(P_{\max} = \dfrac{Sd}{A} = 10\) Вт, см. рис. 18; 3) \(d_1 = \dfrac{U_1}{\sqrt{\rho_0/A}} = 2\) см, \(P_{1\max} = \dfrac{Sd_1}{2A} = 10\) Вт, см. рис. 19.
зад 5 Потерянные оси
Говорят, что в архиве лорда Кельвина нашли \(p, V\)-диаграмму замкнутого циклического процесса тепловой машины (рис.). Процесс 1–2 — изобара, 2–3 — адиабата, 3–1 — изотерма. От времени чернила выцвели, и координатные оси на диаграмме исчезли. Известно, что рабочим веществом машины был идеальный газ (гелий) количеством \(\nu = 2\) моля. Масштаб по оси давления — 1 мал. кл. = 1 атм, по оси объёма — 1 мал. кл. = 1 л.
Восстановите положение координатных осей и вычислите максимальное давление газа в данном циклическом процессе.
Вычислите максимальную и минимальную температуры газа в цикле.
Найдите работу \(A_T\) на изотерме 3–1.
Найдите КПД цикла \(\eta\).
Примечание. Универсальная газовая постоянная \(R = 0{,}082\) л\(\cdot\)атм/(моль\(\cdot\)К).
▶ПодсказкаСкрыть
Для изотермы \(pV = \text{const}\), для адиабаты гелия \(pV^{5/3} = \text{const}\); запишите эти условия для нескольких точек кривых, отсчитывая координаты от неизвестного начала, и найдите сдвиги осей.
▶ОтветСкрыть
\(p_1 = p_{\max} = 32\) атм, \(V_1 = 1\) л; \(T_{\max} = 780\) K, \(T_{\min} = 195\) K; \(A_T = -11{,}2\) кДж; \(\eta = 54\%\).
Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2008/09, заключительный этап, 10 класс, теоретический тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.