зад 1 Головокружительный аттракцион
В головокружительном аттракционе человек массы \(m = 70\) кг прыгает с платформы вниз в озеро. К ногам человека привязан конец резинового жгута некоторой длины \(L\) и жёсткости \(k\). Другой конец жгута прикреплён к платформе. У поверхности воды, пролетев расстояние \(h = 90\) м, человек должен иметь нулевую скорость и ускорение \(a_0 = 2g\). Считайте, что \(g = 10\) м/с\(^2\), а жгут подчиняется закону Гука. Размерами человека, сопротивлением воздуха и другими потерями можно пренебречь. Определите:
длину \(L\) нерастянутого жгута и его жёсткость \(k\);
удлинение жгута в положении равновесия (после затухания колебаний);
максимальную скорость \(v_{\max}\) падения человека;
амплитуду \(A\) и частоту \(\omega\) гармонических колебаний человека на жгуте;
время \(\tau\) падения человека до поверхности воды.
▶ПодсказкаСкрыть
В нижней точке запишите второй закон Ньютона (\(k(h-L) - mg = 2mg\)) и закон сохранения энергии (\(mgh = k(h-L)^2/2\)). После натяжения жгута движение — часть гармонического колебания около положения равновесия; время падения складывается из свободного падения на длину \(L\) и доли периода.
▶ОтветСкрыть
1) \(L = \dfrac{h}{3} = 30\) м, \(k = \dfrac{9mg}{2h} = 35\) Н/м; 2) \(x_0 = \dfrac{2h}{9} = 20\) м; 3) \(v_{\max} = \dfrac{2}{3}\sqrt{2gh} = 28{,}3\) м/с; 4) \(A = \dfrac{4h}{9} = 40\) м, \(\omega = \sqrt{\dfrac{9g}{2h}} = 0{,}71\) с\(^{-1}\); 5) \(\tau = \left(\dfrac{1}{\sqrt{3}} + \dfrac{2\pi}{9}\right)\sqrt{\dfrac{2h}{9}} = 5{,}41\) с.
зад 2 Электрическая схема с индуктивностью
В схеме на рисунке параметры всех элементов заданы. В начальном состоянии, когда ключ был разомкнут, ток в цепи, содержащей индуктивность \(L\), отсутствовал. Ключ замыкают на некоторое время, а затем снова размыкают. Известно, что за время, пока ключ был замкнут, через индуктивность протёк заряд \(q_0\). За всё время после размыкания ключа в схеме выделилось количество теплоты \(Q_0\).
Предполагая идеальными все элементы цепи, определите:
силу тока \(I_0\), протекающего через индуктивность непосредственно перед размыканием ключа;
заряд \(q_1\), протекший через резистор \(R\) за время, пока ключ был замкнут;
заряд \(q_2\), протекший через резистор \(R\) после того как ключ был разомкнут;
работу \(A\), совершённую источником постоянного тока в течение всего процесса;
количество теплоты \(Q\), выделившееся в схеме, пока ключ был замкнут.
Указание. Найдите связь между зарядом, протекшим через резистор, и изменением магнитного потока через катушку.
▶ПодсказкаСкрыть
Резистор \(R\) и катушка включены параллельно, поэтому \(IR = L\,dI_L/dt\): заряд через резистор пропорционален изменению тока катушки. После размыкания вся энергия катушки \(LI_0^2/2\) переходит в теплоту \(Q_0\).
▶ОтветСкрыть
1) \(I_0 = \sqrt{\dfrac{2Q_0}{L}}\); 2) \(q_1 = \dfrac{\sqrt{2Q_0L}}{R}\); 3) \(q_2 = q_1 = \dfrac{LI_0}{R}\); 4) \(A = \mathcal{E}q_0 + \dfrac{\mathcal{E}}{R}\sqrt{2Q_0L}\); 5) \(Q = A - Q_0\).
зад 3 Теплообмен с окружающей средой
В сосуд, содержащий смесь воды и льда, в момент времени \(\tau = 0\) мин опустили нагреватель мощностью \(P_0 = 400\) Вт. На рисунке представлена зависимость температуры \(t\) смеси от времени \(\tau\).
Известно, что мощность \(Q\) тепловых потерь пропорциональна разности температур \(\Delta t = t - t_0\), где \(t_0\) — температура окружающей среды. При расчётах вы можете принять \(t_0 = 0\,^\circ\)C и, следовательно, \(Q = \alpha t\), где \(\alpha\) — постоянный коэффициент, не зависящий от температуры. Используя приведённый график зависимости \(t(\tau)\), найдите:
начальную массу льда \(m_{\text{л}}\) в смеси;
общую массу \(M\) содержимого сосуда;
коэффициент пропорциональности \(\alpha\);
максимальную мощность нагревателя \(P_{\max}\), при которой вода никогда не закипит;
время \(\tau_1\) от начала таяния льда, в течение которого вода в сосуде закипит, если мощность нагревателя \(P_1 = 300\) Вт.
▶ПодсказкаСкрыть
Пока тает лёд, температура равна \(t_0\) и потерь нет — вся мощность идёт на плавление. Дальше \(cM\,dt/d\tau = P_0 - \alpha t\): наклон графика в начале нагрева даёт \(M\), а наклон при другой температуре — \(\alpha\).
▶ОтветСкрыть
1) \(m_{\text{л}} = \dfrac{P_0\tau_0}{\lambda} \approx 0{,}15\) кг, где \(\tau_0 = 2\) мин — время плавления льда; 2) \(M \approx 0{,}48\) кг; 3) \(\alpha \approx 2{,}0\) Вт/\(^\circ\)C; 4) \(P_{\max} \approx 200\) Вт; 5) \(\tau_1 \approx 21\) мин.
зад 4 Задача Кельвина
Говорят, что в архиве лорда Кельвина нашли график циклического процесса, совершённого над одним молем идеального одноатомного газа (рис.). Со временем чернила выцвели, и от координатных осей \(T\) (температура) и \(V\) (объём) не осталось и следа. Из пояснений к тексту следовало, что в точке \(A\) температура равна 400 К, объём — 4 л, давление газа минимально, а начало координат находится в нижней части рисунка. Там же был указан масштаб по осям.
Восстановите построением положение осей \(T\) и \(V\).
Найдите максимальное давление газа в этом процессе.
▶ПодсказкаСкрыть
На диаграмме \(T, V\) изобары — прямые через начало координат, и давление тем больше, чем круче прямая \(T/V\). Точка минимального давления \(A\) — точка касания графика прямой, проходящей через начало координат; расстояние от начала до \(A\) известно по масштабу.
▶ОтветСкрыть
1) См. рис. 20, где \(a = 400\) К, \(b = 4\) л, \(l = \sqrt{a^2 + b^2}\).
2) Максимальное давление соответствует точке \(C\) на графике и равно \(p_{\max} \approx 4{,}75\) МПа.
зад 5 Задача с двумя линзами
На экспериментальном туре физической олимпиады участникам было предложено определить фокусные расстояния двух тонких собирающих линз, расположенных в торцах полого цилиндра длиной \(L = 20{,}0\) см (рис.).
Один из участников, Вася Зазнайкин, аккуратно выполнил эксперименты и получил следующие результаты.
Если слева от левого торца цилиндра на его оси на расстоянии \(l_1 = 5{,}0\) см расположить точечный источник света, то после прохождения через систему свет выходит из правого торца параллельным пучком.
Если на левый торец послать параллельный пучок света, то справа от правого торца на расстоянии \(l_2 = 10{,}0\) см лучи сходятся в одну точку, лежащую на оси цилиндра.
▶ПодсказкаСкрыть
В первом опыте изображение источника в первой линзе должно попасть в фокус второй, во втором — фокус первой линзы отображается второй линзой в точку на расстоянии \(l_2\). Два уравнения формулы линзы дают квадратное уравнение.
▶ОтветСкрыть
\[F_1 = \dfrac{L^2 + 2l_1L \pm L\sqrt{L^2 + 4l_1l_2}}{2(L + l_1 - l_2)} = (20{,}0 \pm 16{,}3)\text{ см},\] \[F_2 = \dfrac{L^2 + 2l_2L \pm L\sqrt{L^2 + 4l_1l_2}}{2(L + l_2 - l_1)} = (16{,}0 \pm 9{,}8)\text{ см},\] возможны два случая: обе линзы длиннофокусные, тогда \(F_1 = 36{,}3\) см и \(F_2 = 25{,}8\) см, или обе линзы короткофокусные, тогда \(F_1 = 3{,}7\) см и \(F_2 = 6{,}2\) см.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2008/09, заключительный этап, 11 класс, теоретический тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.