зад 1 Бревно на привязи
Подъёмный кран медленно поднимает с помощью троса плавающее в воде бревно (рис.). Трос прикреплён к одному концу бревна, которое можно считать тонким цилиндром с постоянной плотностью. Масса бревна \(m\), длина — \(L\). Отношение плотностей воды и древесины \(\gamma = 4/3\). Ускорение свободного падения \(g\).
Какую минимальную работу нужно совершить крану, чтобы полностью вытащить бревно из воды?
Постройте график зависимости силы натяжения \(T\) троса от высоты над водой \(h\) приподнимаемого конца бревна. Укажите характерные точки графика.
Какую работу \(A_h\) совершит кран при переводе бревна из одного наклонного положения в другое наклонное положение, в котором верхний конец бревна поднялся на высоту \(\Delta h = L/5\)?
▶ПодсказкаСкрыть
Пока бревно наклонно плавает, запишите условие равенства моментов сил относительно верхнего конца: сила Архимеда приложена к середине погружённой части. Минимальная работа крана равна приращению потенциальной энергии бревна и воды.
▶ОтветСкрыть
1) \(A_{\min} = \dfrac{1}{2}mgL\); 2) \(T = \begin{cases} \dfrac{mg}{3}, & \text{если } 0 \leqslant h \leqslant \dfrac{L}{2};\\ \dfrac{mg}{3}\left(\dfrac{4h}{L} - 1\right), & \text{если } \dfrac{L}{2} \leqslant h \leqslant L;\\ mg, & \text{если } h \geqslant L; \end{cases}\) 3) \(A_h = \dfrac{1}{15}mgL\).
зад 2 Конфета на транспортере
Во время экскурсии на кондитерскую фабрику экспериментатор Глюк заметил, что скорость конфеты, попадающей из упаковочной машины под углом \(\alpha = 60^\circ\) на ленту транспортёра (вид сверху приведён на рисунке), сначала уменьшается, а потом увеличивается. Начальная скорость \(\vec v_0\) конфеты равна по модулю скорости \(\vec u\) ленты транспортёра и лежит в плоскости ленты. Чему равна скорость \(\vec w_0\) конфеты относительно ленты транспортёра сразу после попадания её на ленту? Вычислите минимальную скорость \(v_{\min}\) конфеты относительно неподвижного Глюка.
▶ПодсказкаСкрыть
В системе ленты сила трения направлена против относительной скорости, поэтому относительная скорость меняется только по модулю, сохраняя направление. Скорость относительно Глюка — сумма \(\vec u\) и этой убывающей относительной скорости; найдите её наименьшую длину.
▶ОтветСкрыть
Начальная скорость конфеты относительно ленты транспортера равна \(v_0' = u\sqrt{3}\) и направлена по большей диагонали ромба со стороной \(u\) и углом \(60^\circ\) при вершине. Минимальная скорость конфеты относительно Глюка равна \(v_{\min} = u/2\).
зад 3 Двойной мост
В электрической цепи, схема которой приведена на рисунке, напряжение между зажимами \(C\) и \(D\) равно \(U_{CD} = 15\) В. Известно, что \(R \gg r\).
Определите показания идеального вольтметра, подключённого к клеммам \(A\) и \(B\).
Предположим, что к клеммам \(A\) и \(B\) подключён идеальный амперметр. Укажите направление тока, идущего через каждый из резисторов и амперметр.
▶ПодсказкаСкрыть
Так как \(R \gg r\), внутренний «квадрат» почти не нагружает внешний: сначала найдите потенциалы точек \(E\) и \(F\) по внешней цепи из резисторов \(r\) и \(2r\), а затем — потенциалы \(A\) и \(B\) как делителей во внутренней цепи.
▶ОтветСкрыть
1) \(U_{AB} = \dfrac{1}{15}U_{CD} = 1\) В; 2) через амперметр — от \(A\) к \(B\).
зад 4 «Дозаправка» чайника
Теоретик Баг решил попить чайку. Он взял теплоизолированный чайник, снабжённый миниатюрным термометром, и включил его в электрическую сеть. Термометр показывал температуру \(t_0 = 20\,^\circ\)C. Через время \(\tau_1 = 1\) мин, когда вода нагрелась до \(t_1 = 40\,^\circ\)C, он стал доливать в чайник воду. В момент \(\tau_2 = 3{,}5\) мин, когда температура воды достигла \(t_2 = 50\,^\circ\)C, Баг остановился. Ещё через 5 мин вода закипела. На рисунке приведён график изменения температуры воды в чайнике в ходе её нагрева и «дозаправки». Какой была температура \(t_{\text{х}}\) доливаемой воды? Считайте, что вода быстро перемешивается, а термометр показывает текущее значение её температуры.
▶ПодсказкаСкрыть
По наклонам графика до и после доливания найдите, во сколько раз увеличилась масса воды (мощность чайника неизменна). Затем запишите тепловой баланс за время доливания с учётом теплоты, выделенной нагревателем.
▶ОтветСкрыть
\(t_x = 10\,^\circ\)C.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2008/09, заключительный этап, 9 класс, теоретический тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.