ВсОШ, 2009/10, региональный этап, 10 класс, экспериментальный тур

Подсказка

Как по зависимости уровня воды в трубочке от залитого объёма определить площадь сечения на каждом участке? Что означает излом графика?

Решение

Официальный текст для 10 класса отсылает к решению задачи 1 для 9 класса; оно здесь приведено полностью.

Для определения площади сечения будем снимать зависимость уровня воды в «чёрном ящике» от объёма налитой жидкости. Чтобы измерить уровень воды в «чёрном ящике», приклеим трубочку вертикально к стенке коробки скотчем. Из миллиметровой бумаги изготовим шкалу и приклеим рядом.

Наливаем воду в «чёрный ящик» до тех пор, пока не станет заметен подъём воды в трубочке. Добавляем воду шприцем порциями, к примеру, по 10 мл. Снимаем зависимость уровня \(h\) воды в трубочке от залитого объёма \(V\) (рис. 7).

График имеет два излома и состоит из трёх линейных участков. По наклону этих участков определяем площадь: \[S = \dfrac{\Delta V}{\Delta h}, \qquad \text{и сторону квадрата:} \quad a = \sqrt{S} = \sqrt{\dfrac{\Delta V}{\Delta h}}.\]

Для определения погрешности результата проведём через экспериментальные точки прямые с максимальным и минимальным наклоном и вычислим их угловые коэффициенты.

В качестве ответа удобно привести вертикальный разрез «чёрного ящика» (рис. 8).

Подсказка

Уравновесьте шарик на рычаге из соломинки и сравните моменты сил: вес воздуха в шарике создаёт момент, который можно скомпенсировать известным грузом. Сравните измерения надутого и сдутого шарика.

Ответ

4) \(\Delta p = (2{,}5 \pm 0{,}5)\) кПа.

Решение

Надуем шарик до диаметра \(d \approx 25\) см. Его можно определить, обернув нитку вокруг шарика и измерив длину окружности \(L = \pi d\). Заметим, что для разных сечений значения будут незначительно различаться, так как форма шарика неидеальна. Для большей точности измерим диаметр шарика в трёх перпендикулярных плоскостях и подставим в формулу \(V = \pi d^3/6\) усреднённое значение \(d_{\text{ср}}\). Погрешность определения диаметра можно оценить из проведённых измерений. Для объёма верно соотношение \(\dfrac{\Delta V}{V} = \dfrac{3\Delta d}{d_{\text{ср}}}\).

Подвесим соломинку за её центр масс, сделав таким образом рычажные весы. В качестве гирек будем использовать кусочки бумаги, масса которых определяется их площадью (поверхностная плотность бумаги известна). Из бумаги делается чашечка для гирек. Чашечка и шарик крепятся нитками.

Измерения проведём в два этапа. Сначала уравновесим гирьками надутый шарик. Для большей точности плечи весов стоит выбирать максимально возможными. Замерим длину \(l_1\) плеча, на которое подвешен шарик. На втором этапе будем уравновешивать сдутый шарик, оставив массу гирек такой же, подвешивая грузик известной массы \(m_0\) на плечо с шариком. Пусть в равновесии его плечо равно \(l_2\). Тогда момент, создаваемый этим новым грузиком, компенсирует момент, создававшийся весом воздуха в шарике: \[P l_1 = m_0 l_2.\]

Заметим, что первым делается измерение с надутым шариком, так как при надувании на оболочке конденсируются пары воды, выдыхаемые с воздухом, что приводит к изменению массы шарика. При сдувании конденсат остаётся в шарике.

Вес воздуха в шарике равен разности силы тяжести, действующей на него, и архимедовой силы: \[P = mg - V\rho_{\text{атм}}g = V\rho_{\text{внутр}}g - V\rho_{\text{атм}}g = \dfrac{m_0 l_2}{l_1},\] где \(\rho_{\text{внутр}}\) — плотность воздуха внутри шарика, а \(\rho_{\text{атм}}\) — плотность атмосферного воздуха.

Избыточное давление в шарике: \[\Delta p = \dfrac{1}{V}\dfrac{m_{\text{в}}}{\mu}RT - p_{\text{атм}} = \dfrac{RT}{\mu}\left(\rho_{\text{внутр}} - \rho_{\text{атм}}\right) = \dfrac{\Delta m_0\, l_2}{\mu V l_1}\,RT = (2{,}5 \pm 0{,}5)~\text{кПа}.\]