ВсОШ, 2009/10, региональный этап, 10 класс, теоретический тур

Подсказка

Сразу после удара доска меняет направление движения, а трение выравнивает скорости кубика и доски. За время выравнивания кубик смещается по доске; при какой скорости этот сдвиг не превышает длины доски?

Ответ

\(v_{\max} = \sqrt{\dfrac{\mu g L}{2}\left(1 + \dfrac{m}{M}\right)}\).

Решение

Сразу после удара о стенку доска изменит направление движения на противоположное, а кубик продолжит движение к стенке. Сила трения скольжения вызовет изменение как скорости кубика, так и скорости доски. Уравнение движения для кубика и доски: \[v_{\text{к}} = -v_0 + \mu g t, \qquad Ma_{\text{д}} = F_{\text{тр}} = \mu m g, \quad \text{откуда} \quad a_{\text{д}} = \mu g m/M.\] Следовательно, скорость доски \(v_{\text{д}} = v_0 - \mu g t\,m/M\).

Проскальзывание прекратится после того, как скорости доски и кубика сравняются (рис. 16): \[v_0 - \mu g\dfrac{m}{M}t_{\text{к}} = -v_0 + \mu g t_{\text{к}}, \quad \text{откуда} \quad t_{\text{к}} = \dfrac{2v_0 M}{\mu g (M + m)}.\]

Максимальное перемещение кубика относительно доски равно \(L\). Из рисунка видно, что оно численно равно площади заштрихованного треугольника: \[L = \dfrac{1}{2}\cdot 2v_0 \cdot t_{\text{к}},\] то есть максимальная скорость, при которой кубик не упадёт с доски: \[v_{\max} = \sqrt{\dfrac{\mu g L}{2}\left(1 + \dfrac{m}{M}\right)}.\]

Подсказка

Рассмотрите равновесие каждого шарика. Удобно выбрать точку подвеса одной из нитей полюсом для правила моментов.

Ответ

\(F = mg\sin\alpha = \sqrt{\dfrac{3}{7}}\,mg \approx 0{,}65\,mg\), где \(\alpha\) — угол между вертикалью и нитью длины \(L\).

Решение

Рассмотрим \(\triangle ABC\). В нём \(\angle BAC = 60^\circ\). Поскольку \(AB = 2AC\), то это прямоугольный треугольник, в котором \(\angle ACB = 90^\circ\). Пусть угол между вертикалью \(AD\) и нитью \(AC\) равен \(\alpha\). Тогда \[F = mg\sin\alpha.\] Это соотношение обозначим (3).

Выберем в качестве полюса точку \(A\). Согласно правилу моментов: \[mg\cdot 2L\sin(60^\circ - \alpha) = mg\cdot L\sin\alpha.\] Отсюда \[\cos\alpha = \dfrac{2\sin\alpha}{\sqrt{3}}, \qquad \text{а} \qquad \sin\alpha = \sqrt{\dfrac{3}{7}} \approx 0{,}65.\] Из (3) получаем ответ: \(F = 0{,}65\,mg\).

Подсказка

Выразите давление через плотность и температуру по уравнению состояния, подставьте линейную зависимость \(\rho(T)\) и найдите максимум давления как функцию температуры.

Ответ

\(T_1 = \dfrac{T_0}{4}\) и \(T_2 = \dfrac{3T_0}{4}\).

Решение

Запишем уравнение Менделеева–Клапейрона в виде: \[p = \dfrac{R}{\mu}\rho T,\] где \(p\) — давление газа. Если обозначить \(t = T/T_0\), а \(\rho_0\) — максимальную плотность газа, то уравнение рассматриваемого процесса примет вид: \[\rho = \rho_0(1 - t), \qquad \text{откуда} \qquad p = \rho_0 T_0\dfrac{R}{\mu}(t - t^2).\] Исследуем на максимум выражение для давления. Это квадратный многочлен относительно \(t\), представляющий из себя уравнение параболы, ветви которой направлены вниз, и его значение достигает максимума в вершине параболы, то есть при \(t = 1/2\). Отсюда находим максимальное давление: \[p_{\max} = \dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{R}{\mu}\rho_0 T_0.\] С учётом этого уравнение принимает вид: \[\dfrac{p}{p_{\max}} = 4(t - t^2).\] В задаче требуется найти условия, когда \(p/p_{\max} = 3/4\). Решая уравнение, находим, что \(T/T_0 = 1/2 \pm 1/4\). Таким образом, условию задачи удовлетворяют два значения температуры: \[T_1 = \dfrac{1}{4}T_0 \qquad \text{и} \qquad T_2 = \dfrac{3}{4}T_0.\]

Подсказка

Используйте симметрию конструкции: какие узлы имеют одинаковые потенциалы? Можно ли соединить или разъединить их без изменения токов?

Ответ

\(R_{AB} = 10\) Ом.

Решение

Подключим к узлам \(A\) и \(B\) батарейку. Сопротивление участка проволоки между двумя ближайшими узлами \(r = R/4\). В силу симметрии цепи относительно плоскости, в которой лежит кольцо \(ABCD\), точки \(E\) и \(F\) можно соединить между собой. При этом сопротивление \(R_{AB}\) не изменится. Нарисуем эквивалентную схему получившейся цепи (рис. 18).

Если узел \(E\) (рис. 19) разъединить так, как показано на рисунке 20, то сопротивление \(R_{AB}\) не изменится, потому что после разъединения \(E\) напряжение на участке \(E_1E_2\) будет равно нулю в силу симметрии. Теперь легко вычислить сопротивление отдельных участков: \[R_{CD} = \dfrac{r}{2}, \qquad R_{ADCB} = \dfrac{5r}{2}.\]

Эквивалентная схема изображена на рисунке 21. Сопротивление получившейся цепи \[R_{AB} = \dfrac{5r}{12} = \dfrac{5R}{48} = 10~\text{Ом}.\]

Подсказка

Запишите закон Бойля–Мариотта для воздуха в насосе и полости вместе, а затем постройте график в переменных, в которых зависимость будет линейной.

Ответ

\(V_0 = (0{,}82 \pm 0{,}05)\) л.

Решение

Пусть объём полости равен \(V_0\). Тогда из уравнения состояния: \[p(V + V_0) = C = \text{const}, \qquad \text{или} \qquad V = \dfrac{C}{p} - V_0,\] так как температура воздуха по условию задачи постоянна. Если построить график в координатах \((p^{-1}, V)\), то он должен представлять из себя прямую линию (рис. 22).

Значения для построения графика приведены в таблице 1.

Заметим, что удобнее строить график зависимости \(V(p^{-1})\), а не \(p(V^{-1})\), так как мы пытаемся определить объём. Это уменьшит погрешность его определения и облегчит обработку результатов.

Оценим погрешность \(p^{-1}\): \[\Delta p^{-1} = \dfrac{1}{p} - \dfrac{1}{p + \Delta p} = \dfrac{\Delta p}{p(p + \Delta p)} \approx \dfrac{\Delta p}{p^2} \approx \dfrac{\varepsilon_p}{p},\] где \(\varepsilon_p = 3\%\) — относительная погрешность измерения давления.

Отложим на графике экспериментальные точки. Проведём через них прямые с наименьшим и наибольшим возможным наклоном. Так мы получим значения \(V_{\min}\) и \(V_{\max}\), соответствующие пересечению графика с осью \(V\). Из этих значений оценим погрешность \(\Delta V \approx (V_{\max} - V_{\min})/2\). В итоге получаем ответ \(V_0 = (0{,}82 \pm 0{,}05)\) л.