зад 1 Вязкость масла
Рассмотрим вязкую несжимаемую жидкость, текущую вдоль длинной узкой цилиндрической трубки. Если при движении слои жидкости не перемешиваются (рис. 1), а малые выделенные объёмы жидкости движутся прямолинейно, то данное течение жидкости называют ламинарным.
Для ламинарного течения известны уравнения, достаточно точно описывающие движение жидкости. При превышении скоростью некоторой критической величины течение становится неустойчивым. В среде образуются вихри, а линии тока становятся нестационарными (рис. 2). Такое движение называют турбулентным. Его удаётся описывать только приближённо.
В данном эксперименте вам предлагается исследовать течение жидкости под действием различных давлений, обработать результаты эксперимента в предположении, что течение ламинарно, и в конце выяснить, верно ли данное предположение.
Предложите способ, с помощью которого можно снять зависимость расхода \(Q\) масла (объём жидкости, протекающей через сечение трубки в единицу времени) через иглу шприца от разности давлений \(\Delta p = p_2 - p_1\) на концах иглы.
Подсказка. При заполнении шприца маслом оставьте внутри него некоторое количество воздуха.
Используя предложенный вами способ, снимите зависимость \(Q(\Delta p)\) при нескольких значениях разности давлений (не менее 4 точек). Старайтесь при этом выбирать давления так, чтобы диапазон разности давлений был максимальным из доступных, а точки в этом диапазоне были распределены достаточно равномерно.
Если течение окажется ламинарным, то его можно будет описать с помощью формулы Пуазейля: \[Q = \frac{\pi r^4}{8\,\eta L}\,\Delta p.\] где \(\eta\) — вязкость жидкости, \(L\) — длина иглы шприца, \(r\) — внутренний радиус иглы.
По полученным в предыдущем пункте данным постройте график зависимости расхода от разности давлений. Используя формулу Пуазейля, найдите вязкость масла.
Для выяснения, является ли течение жидкости ламинарным, используют так называемое число Рейнольдса \(\mathrm{Re}\). По определению: \[\mathrm{Re} = \frac{\rho v r}{\eta}.\] где \(\rho\) — плотность жидкости, \(v\) — средняя скорость её течения.
В случае движения жидкости по цилиндрической трубе критическое значение числа Рейнольдса, при котором течение уже нельзя считать ламинарным, равно \(\mathrm{Re}_{\text{кр}} = 1200\).
Вычислите число Рейнольдса для вашего эксперимента. Сравнив его с \(\mathrm{Re}_{\text{кр}}\), определите характер течения жидкости в игле шприца.
На концах трубки (там, где жидкость только входит в цилиндрическую полость иглы) течение весьма неоднородно. Расстояние от края иглы, на котором оно устанавливается и становится ламинарным, называется \(l_{\text{уст}}\). Формула Пуазейля выведена для ламинарного течения по длинной трубе. Если оказывается, что \(l_{\text{уст}} \ll L\), где \(L\) — длина иглы шприца, то краевыми неоднородностями можно пренебречь, и использование формулы Пуазейля оправдано.
Для иглы \(l_{\text{уст}} = 0{,}2\,r\,\mathrm{Re}\). Определите \(l_{\text{уст}}\) для вашего эксперимента и сравните его с \(L\).
Теперь, используя все полученные результаты, сделайте вывод о том, верно ли предположение, что течение масла ламинарно.
Оборудование. Шприц (внутренний диаметр иглы \(d = 0{,}6\) мм), сосуд с маслом, секундомер, бумажные салфетки (для поддержания рабочего места в чистоте), лист миллиметровой бумаги, пластиковая бутылка.
ВНИМАНИЕ! Аккуратно обращайтесь со шприцем, чтобы не пораниться острой иглой.
▶ПодсказкаСкрыть
Воздух в шприце сжимается при почти неизменной температуре: какая связь между давлением и объёмом воздуха в этом случае? Как подобрать объём воздуха, чтобы перепад давлений на игле был заданным?
▶ОтветСкрыть
3) \(\eta \approx 0{,}3\ \text{Па}\cdot\text{с}\); 4) \(\mathrm{Re} < 1 \ll \mathrm{Re}_{\text{кр}}\); 5) \(l_{\text{уст}} = 0{,}2\,r\,\mathrm{Re} \ll L\); 6) течение масла ламинарно, предположение верно.
▶РешениеСкрыть
Для того, чтобы поддерживать постоянную разность давлений, предлагается следующий способ. Шприц заполняется воздухом на \(V_{\text{возд}} = 20\) мл (разметка на шприце может быть на меньшие объёмы, но с помощью миллиметровой бумаги вы можете сделать шкалу с большим пределом измерения). Со шприца снимается игла, набирается \(V_{\text{масла}} = 4\) мл масла и игла надевается обратно, при этом шприц всё время должен находиться в вертикальном положении (чтобы масло не растеклось по стенкам, и потом не пришлось бы долго ждать, пока оно стечёт обратно).
При сжатии воздуха внутри шприца на \(\Delta V_{\text{возд}}\) воздух слегка нагревается, и давление масла увеличивается от \(p_0\) до \(p\), где \(p_0\) — атмосферное давление. Можно считать, что время установления комнатной температуры воздуха в шприце намного меньше времени процесса измерений, и поэтому выполняется закон Бойля–Мариотта: \[p_0 V_{\text{возд}} = p\,(V_{\text{возд}} - \Delta V_{\text{возд}}), \qquad \text{откуда} \qquad p = \frac{p_0 V_{\text{возд}}}{V_{\text{возд}} - \Delta V_{\text{возд}}}.\]
Масло вытекает медленно (около 2–4 минут). Всё это время необходимо подвигать поршень, чтобы объём воздуха, находящегося в шприце, не изменялся. При этом разность давлений на концах иглы \[\Delta p = p - p_0 = \frac{p_0\,\Delta V_{\text{возд}}}{V_{\text{возд}} - \Delta V_{\text{возд}}}.\]
Продолжительность вытекания подобрана большой, что позволяет уменьшить ошибку, связанную с определением времени (около 5 с). При временах вытекания масла 200 с эта ошибка несущественна. Данный метод позволяет определить время вытекания масла при давлениях порядка 1 атм в широком диапазоне \(0{,}2\,p_0 - 4\,p_0\).
Расход рассчитывается по формуле \(Q = \Delta V_{\text{масла}}/\tau\), где \(\tau\) — время вытекания масла.
Из графика \(Q(\Delta p)\) видно, что экспериментальные точки ложатся на прямую, а коэффициент наклона \(k = \dfrac{\Delta Q}{\Delta p}\). Тогда вязкость высчитывается по итоговой формуле: \[\eta = \frac{\pi r^4}{8kL} \approx 0{,}3\ \text{Па}\cdot\text{с}.\]
Для данной ситуации \(\mathrm{Re} < 1 \ll \mathrm{Re}_{\text{кр}}\) и \(l_{\text{уст}} = 0{,}2\,r\,\mathrm{Re} \ll L\). Таким образом, наше предположение о ламинарности течения было верным.
зад 2 Избыточное давление
Используя имеющееся оборудование, измерьте избыточное давление воздуха в шарике (разность давления внутри него с атмосферным давлением), когда диаметр шарика в надутом состоянии равен примерно 25 см.
Найдите объём надутого шарика и оцените погрешность измерения этой величины.
Опишите метод измерения разности давлений \(\Delta p\) и изобразите схематически установку. Выведите формулу для определения \(\Delta p\).
При надувании шарика вместе с воздухом человек вдувает в шарик пары воды, которые конденсируются на оболочке. Этот конденсат влияет на точность измерений. Как исключить из расчётов это влияние?
Рассчитайте \(\Delta p\), проведя придуманный вами эксперимент.
Для улучшения точности повторите эксперимент и усредните полученные результаты.
Примечание. Молярная масса воздуха \(\mu = 29\) г/моль, комнатную температуру сообщат организаторы.
Оборудование. Воздушный шарик, нитки, ножницы, неоднородный стержень (соломинка для коктейлей с пластилином внутри), линейка, штатив с лапкой, 2 листа офисной бумаги формата A4 (поверхностная плотность бумаги \(\rho' = 80\) г/м\(^2\)).
▶ПодсказкаСкрыть
Соломинка с пластилином и нитями работает как рычажные весы. Сравните моменты сил относительно точки подвеса для надутого и сдутого шарика: что даёт разница масс воздуха в шарике?
▶ОтветСкрыть
\(\Delta p = (2{,}5 \pm 0{,}5)\) кПа.
▶РешениеСкрыть
Надуем шарик до диаметра \(d \approx 25\) см. Его объём можно определить, обернув нитку вокруг шарика и измерив длину окружности \(L = \pi d\). Заметим, что для разных сечений значения будут незначительно различаться, так как форма шарика неидеальна. Для большей точности измерим диаметр шарика в трёх перпендикулярных плоскостях и подставим в формулу \(V = \pi d^3/6\) усреднённое значение \(d_{\text{ср}}\). Погрешность определения диаметра можно оценить из проведённых измерений. Для объёма верно соотношение \(\Delta V/V = 3\,\Delta d/d_{\text{ср}}\).
Подвесим соломинку за её центр масс, сделав таким образом рычажные весы. В качестве гирек будем использовать кусочки бумаги, масса которых определяется их площадью (поверхностная плотность бумаги известна). Из бумаги делается чашечка для гирек. Чашечка и шарик крепятся нитками.
Измерения проведём в два этапа. Сначала уравновесим гирьками надутый шарик. Для большей точности плечи весов стоит выбирать максимально возможными. Замерим длину \(l_1\) плеча, на которое подвешен шарик.
На втором этапе будем уравновешивать сдутый шарик, оставив массу гирек такой же, подвешивая грузик известной массы \(m_0\) на плечо с шариком. Пусть в равновесии его плечо равно \(l_2\). Тогда момент, создаваемый этим новым грузиком, компенсирует момент, создававшийся весом воздуха в шарике: \(P\,l_1 = m_0\,l_2\).
Заметим, что первым делается измерение с надутым шариком, так как при надувании на оболочке конденсируются пары воды, выдыхаемые с воздухом, что приводит к изменению массы шарика. При сдувании конденсат остаётся в шарике.
Вес воздуха в шарике равен разности силы тяжести, действующей на него, и архимедовой силы: \[P = mg - V\rho_{\text{атм}}\,g = V\rho_{\text{внутр}}\,g - V\rho_{\text{атм}}\,g = \frac{m_0\,l_2}{l_1},\] где \(\rho_{\text{внутр}}\) — плотность воздуха внутри шарика, а \(\rho_{\text{атм}}\) — плотность атмосферного воздуха.
Избыточное давление в шарике: \[\Delta p = \frac{m_{\text{в}}}{V\mu}\,RT - p_{\text{атм}} = \frac{RT}{\mu}\,(\rho_{\text{внутр}} - \rho_{\text{атм}}) = \frac{\Delta m_0\,l_2}{\mu V l_1}\,RT = (2{,}5 \pm 0{,}5)~\text{кПа}.\] Решение задачи 2 для 11 класса совпадает с решением задачи 2 для 10 класса (официальное решение организаторов).
Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2009/10, региональный этап, 11 класс, экспериментальный тур — условия · решения (1) · решения (2). Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.