ВсОШ, 2009/10, региональный этап, 9 класс, теоретический тур

Подсказка

Выразите время движения лодки против течения и по течению через скорость реки и скорость лодки относительно воды. Удобно ввести отношение времён.

Ответ

\(t_1 = 20\) мин.

Решение

Пусть скорость течения реки \(u\). Тогда расстояние от «Дубков» до «Грибков» равно \(L = ut_0\), где \(t_0\) — время плавания на плоту.

Пусть скорость моторной лодки относительно воды равна \(v\). Тогда время \(t_1\), затраченное на движение от «Грибков» до «Дубков», равно: \[t_1 = \frac{L}{v-u} = t_0\,\frac{u}{v-u}.\] На обратный путь потребовалось время \[t_2 = \frac{L}{v+u} = t_0\,\frac{u}{v+u}.\] Всё время плавания на лодке оказалось равным \[t_{12} = t_1 + t_2 = t_0\,\frac{2vu}{v^2 - u^2}.\] Выразим скорость моторной лодки через скорость течения реки, решив квадратное уравнение относительно \(v\): \[v^2 - 2\,\frac{t_0}{t_{12}}\,uv - u^2 = 0, \qquad \text{отсюда} \qquad v = u\left[\frac{t_0}{t_{12}} + \sqrt{1 + \left(\frac{t_0}{t_{12}}\right)^2}\right].\] Искомое время: \[t_1 = t_0\,\frac{u}{v-u} = \frac{t_0\,t_{12}}{t_0 - t_{12} + \sqrt{t_{12}^2 + t_0^2}} = 20~\text{минут}.\]

Подсказка

Какое количество теплоты отдаёт брусок при охлаждении от \(t_1\) до \(t_0\), если его теплоёмкость линейно растёт с температурой? Что можно сказать о среднем значении теплоёмкости на этом интервале?

Ответ

\(m_2 \approx 0{,}707\) кг.

Решение

Построим график зависимости удельной теплоёмкости материала бруска от температуры (рис. 13). На оси абсцисс отмечены точки \(t_1\), \(t_2\) и \(t_0\). За время теплообмена с водой в калориметре температура бруска понизилась с \(t_1\) до \(t_0\). При этом брусок передал воде количество теплоты, численно равное площади заштрихованной поверхности, умноженной на массу бруска \(m_1\). Запишем уравнение теплового баланса: \[m_2c_2(t_0 - t_2) = m_1c_1\,\frac{1 + \alpha t_1 + 1 + \alpha t_0}{2}\,(t_1 - t_0).\]

Из этого соотношения находим: \[m_2 = m_1\,\frac{c_1}{2c_2}\cdot\frac{\alpha(t_1^2 - t_0^2) + 2(t_1 - t_0)}{t_0 - t_2} \approx 0{,}707~\text{кг}.\]

Ответ

\(U = 3\) В;  показания амперметров отличаются на \(2\) мА.

Решение

Перерисуем исходную схему (рис. 14). Через резисторы ток течёт от положительного полюса батарейки к отрицательному. По условию оба амперметра идеальные. Следовательно, все три резистора соединены параллельно и подключены к полюсам батарейки. Поэтому: \[U = I_cR_3 = 3~\text{В}, \qquad I_a = \frac{U}{R_1} = 3~\text{мА}.\] Для сил токов, протекающих через амперметры, справедливы соотношения: \[I_a + I_b = I_2, \qquad I_c + I_b = I_1.\] Вычитая почленно второе соотношение из первого, находим ответ на второй вопрос задачи: \[I_2 - I_1 = I_a - I_c = 2~\text{мА}.\]

Ответ

\(N_1 = \sqrt{50}\,N_0 \approx 170\) кадров/с.

Решение

Падение и оригинала, и макета происходит с одним и тем же ускорением, равным ускорению свободного падения. Пусть реальный поезд падает с высоты \(h\), тогда высота падения макета равна \(h/50\). Обозначим через \(t_{\text{н}}\) и \(t_{\text{м}}\) времена падения настоящего поезда и макета. Так как время свободного падения с высоты пропорционально корню из высоты, то \[\frac{t_{\text{н}}}{t_{\text{м}}} = \sqrt{\frac{h}{h/50}} = \sqrt{50}.\] Чтобы ситуация выглядела правдоподобно, за время падения оригинала и макета должно быть отснято одинаковое количество кадров. Отсюда \(N_0\,t_{\text{н}} = N_1\,t_{\text{м}}\), поэтому, используя предыдущее выражение, окончательно находим: \[N_1 = \sqrt{50}\,N_0 \approx 170~\text{кадров/с}.\]

Ответ

два изображения: \(S_1\) в зеркале \(M_1\) и \(S_2\) в зеркале \(M_2\); других изображений нет.

Решение

Два изображения строятся сразу. Это изображение \(S_1\) в зеркале \(M_1\) и \(S_2\) в зеркале \(M_2\) (рис. 15). Теперь проверим, могут ли появиться другие изображения. Точка \(S_2\) оказывается за отражающей поверхностью обоих зеркал, а поэтому не может дать нового изображения.

Найдём область, из которой видно изображение \(S_1\). Для этого проведём лучи, выходящие из \(S_1\) и проходящие через края зеркала \(M_1\). Изображение будет видно из точек, расположенных между лучами с рабочей стороны зеркала \(M_1\). Самым широким раствор угла «видимости» изображения \(S_1\) будет между лучами, выходящими из самой верхней точки изображения.

Из построения определяем, что зеркало \(M_2\) в эту область не попадает ни для одной из точек изображения. Значит, \(S_1\) не даёт нового изображения в \(M_2\). Итак, в системе есть всего два изображения.