ВсОШ, 2009/10, заключительный этап, 10 класс, экспериментальный тур

Подсказка

Часть I — классический реохорд: в балансе моста отношение плеч проволоки равно отношению сопротивлений. Для пункта 2 сопротивление между двумя концами линии одного провода, закороченного на другом конце, выражается через \(\rho\) и геометрию. Для пункта 4 та же схема с реохордом; для пункта 5 — попробуйте вольтметр вместо мостовой схемы, рассмотрев делитель напряжения.

Ответ

Часть I: \(\dfrac{R_1}{R_2} = \dfrac{MO}{ON}\);  2) \(d = \sqrt{\dfrac{8\rho L}{\pi R_{AB}}}\);  4) \(L_1 = L\,\dfrac{l_1 - l_2}{l_1 + l_2}\);  5) \(L_1 = L\,\dfrac{U_1}{U_1 + U_2}\).

Решение

Часть I. Собираем схему, как показано на рисунке. Перемещая вдоль провода подвижный контакт, добиваемся балансировки моста. При этом можно записать \(\dfrac{R_1}{R_2} = \dfrac{MO}{ON}\). Соответствующие плечи \(MO\) и \(ON\) измеряем с помощью линейки.

Часть II.

1. В режиме омметра найдём среди клемм одного из узлов (например, \(T_1\)) такие две, сопротивление между которыми не равно бесконечности (это будут клеммы \(B_1\) и \(C_1\)). Между соответствующими проводами произошёл пробой. Оставшийся конец провода принадлежит линии \(A\). Проведём аналогичную операцию на другом конце линии. Таким образом, определим концы проводов \(A\). Поскольку провода \(B\) и \(C\) эквивалентны, на конце \(T_1\) провода \(B_1\) и \(C_1\), и останется выяснить, какой из двух оставшихся проводов на конце \(T_2\) принадлежит линии \(B\). Для этого соединим концы \(A_1\) и \(B_1\) и измерим на другом конце линии сопротивления между концом \(A_2\) и двумя другими концами. Тогда конец, соответствующий меньшему сопротивлению, и будет \(B_2\). Оставшийся конец провода — \(C_2\).

2. Соединим концы \(A_2\) и \(B_2\) на одном конце линии и измерим омметром сопротивление \(R_{AB}\) между \(A_1\) и \(B_1\). Тогда для этого сопротивления \[R_{AB} = \rho\,\frac{2L}{S} = \rho\,\frac{2L}{\pi d^2/4}, \quad\text{откуда}\quad d = \sqrt{\frac{8\rho L}{\pi R_{AB}}}.\]

3. Сопротивление \(r\) пробоя можно найти прямым измерением сопротивления между клеммами \(B_1\) и \(C_1\), потому что \(r \gg R_{AB}\), в чём можно убедиться, измерив его для обоих концов линии.

4. Для определения положения точки пробоя собираем электрическую схему (рис. 15). Пусть \(R\) — полное сопротивление линии, \(R_1\) — сопротивление части провода от узла \(T_1\) до разрыва, \(R_2\) — сопротивление оставшейся части провода. Балансируем получившуюся мостовую схему реохордом, сделанным из выданной нихромовой проволоки. Тогда \[\frac{R + R_2}{R_2} = \frac{R + R_1}{R - R_1} = \frac{r_1}{r_2} = \frac{l_1}{l_2},\] где \(l_1\), \(l_2\) — длины плеч реохорда, измеряемые линейкой. Таким образом определим \[R_1 = R\,\frac{l_1 - l_2}{l_1 + l_2}, \quad\text{откуда}\quad L_1 = L\,\frac{l_1 - l_2}{l_1 + l_2}.\]

5. Для определения места пробоя без использования мостовой схемы можно предложить следующий метод. Соберём схему согласно рисунку 16, на который через \(V_1\) и \(V_2\) обозначен один и тот же мультиметр в режиме вольтметра, подключённый поочерёдно к точкам \(B_2\) и \(C_2\) и затем к \(B_1\) и \(C_1\). Считая, что сопротивление вольтметра много больше сопротивления линии, отношение показаний вольтметров \(V_1\) и \(V_2\) равно отношению длин линии до и после пробоя, откуда \[L_1 = L\,\frac{U_1}{U_1 + U_2},\] где \(U_1\) — показания вольтметра \(V_1\), \(U_2\) — показания вольтметра \(V_2\).

Подсказка

Сила поверхностного натяжения действует по периметру отрыва; у плёнки две поверхности. Калибруйте весы разновесами известной массы, а при измерении вычитайте массу самой пластины.

Ответ

1) \(F_\sigma = 2\sigma L\);  2) \(\sigma = \dfrac{(M - m_0)\,g}{2L}\).

Решение

На измерительную пластину, помещённую в жидкость, в момент отрыва от поверхности действует сила \(F_\sigma = 2\sigma L\). В этой формуле коэффициент 2 появляется из-за того, что у плёнки две поверхности.

Сделаем из листа плотного картона пружинные весы. Из офисной бумаги сделаем прямоугольные разновесы, массу которых вычислим, определив площадь разновеса и умножив на известную поверхностную плотность. Проведём калибровку весов, отмечая, какое отклонение соответствует массе груза. Из оставшейся бумаги сделаем измерительную пластину с «ножками». На противоположном конце пластины сделаем сгиб (крючок) и взвесим пластину на весах.

Будем поднимать ванночку с жидкостью до тех пор, пока не произойдёт соприкосновение жидкости и пластины. После этого будем медленно опускать ванночку и заметим показания весов \(M\) в момент отрыва пластины от поверхности жидкости. Массу пластины \(m_0\) определим после касания пластины жидкости, так как бумага смачивается жидкостью и её масса увеличивается. Вычислим коэффициент поверхностного натяжения по формуле \[\sigma = \frac{(M - m_0)\,g}{2L}.\]

Повторим эксперимент несколько раз, изменяя \(m_0\) и \(L\). Построим график зависимости \((M - m_0)\) от \(L\). Экспериментальные точки ложатся на прямую с наклоном \(2\sigma/g\). Определим среднее значение \(\sigma\) и вычислим погрешность. При надлежащей аккуратности значение коэффициента поверхностного натяжения находится с относительной погрешностью около 10 %.