ВсОШ, 2009/10, заключительный этап, 11 класс, экспериментальный тур

Подсказка

Для пункта 3 подумайте, какую функцию от мощности нужно взять, чтобы она линейно зависела от температуры. Для пункта 5 касательная к графику \(I(U)\) в нуле даёт обратную величину \(R_0\) при малых токах.

Ответ

4) \(S = \dfrac{(kR_0\alpha)^4}{\sigma}\);  6) \(L = \sqrt[3]{\dfrac{S^2 R_0}{4\pi\rho_0}}\),  \(d = 2r\), где \(r = \sqrt[3]{\dfrac{S\rho_0}{2\pi^2 R_0}}\).

Решение

Соберём схему для снятия вольт-амперной характеристики (рис. 17). При этом для определения силы тока будем измерять напряжение на резисторе с известным сопротивлением. Так как вольтметр один, будем подключать его попеременно то к лампочке, то к резистору. Тогда, воспользовавшись законом Ома, можно найти силу тока. Снимем зависимость силы тока, протекающего через лампочку, от приложенного напряжения в диапазоне 0–6 В с шагом в 0,5 В. Посчитаем для каждого значения напряжения выделяющуюся мощность и сопротивление нити накала по формулам \(P = UI\), \(R = U/I\).

Из формулы \(\rho = \rho_0(1 + \alpha(T - T_0))\) явно следует аналогичное выражение для сопротивления нити: \[R = R_0\bigl(1 + \alpha(T - T_0)\bigr),\] причём \(R_0\) находится как предельное отношение \(R = U/I\) при очень малых токах и напряжениях, когда нить лампочки вообще не светится. Построив зависимость \(I(U)\) в диапазоне напряжений 0–1,0 В с шагом 0,1 В, можно определить \(R_0\) графически через угловой коэффициент касательной к графику в нуле (рис. 18).

Зависимость \(R(T)\) имеет линейный характер. Чтобы график зависимости \(P(R)\) был линейным (при больших \(P\)), необходимо взять некоторую функцию от мощности \(P\) такую, чтобы она также линейно зависела от температуры \(T\). При этом \(P\) и \(R\) будут линейно зависеть от общего неизвестного параметра — температуры \(T\). Простейшей функцией является \(\sqrt[4]{P} = \sqrt[4]{\sigma S}\,T\). Поэтому график стоит строить в координатах \((R, \sqrt[4]{P})\) (рис. 19). В этом случае при сопротивлениях \(R\), близких к \(R_0\), график будет вести себя нелинейно, так как тогда существенную роль в тепловых потерях играет теплопередача окружающей среде. При больших же температурах и, соответственно, сопротивлениях график ведёт себя линейно, причём угловой коэффициент равен \[k = \frac{\Delta\sqrt[4]{P}}{\Delta R} = \frac{\sqrt[4]{\sigma S}\cdot\Delta T}{R_0\alpha\,\Delta T} = \frac{\sqrt[4]{\sigma S}}{R_0\alpha}.\] Отсюда несложно найти площадь поверхности нити накала \[S = \frac{(kR_0\alpha)^4}{\sigma}.\]

Нить накала представляет собой тонкую проволоку, то есть её можно считать длинным тонким цилиндром радиуса \(r\) и длины \(L\). Тогда площадь поверхности этого цилиндра (при этом площадью торцов можно пренебречь) будет \(S = 2\pi r L\). С другой стороны, известно, что \(R_0 = \rho_0 L/S_0\), где \(S_0 = \pi r^2\) — площадь сечения проволоки. Используя последние три выражения, легко найти: \[r = \sqrt[3]{\frac{S\rho_0}{2\pi^2 R_0}} \quad\text{и}\quad L = \sqrt[3]{\frac{S^2 R_0}{4\pi\rho_0}}.\] Диаметр нити накала будет равен \(d = 2r\).

Подсказка

Для пунктов 1 и 2 удобно использовать метод Бесселя: при фиксированном расстоянии от источника до экрана линза даёт чёткое изображение в двух положениях. Для пункта 4 рассмотрите линзу как отражательную дифракционную решётку.

Ответ

1) \(F = \dfrac{L}{4} - \dfrac{l^2}{4L}\) (при \(L > 4F\));  2) \(R = \dfrac{Fc}{F - c}\);  3) \(n = 1 + \dfrac{R}{F}\);  4) \(d = k\lambda\), где \(k\) — угловой коэффициент графика зависимости \(m(\sin\beta)\).

Решение

1. Определим фокусное расстояние линзы Френеля. Для этого удобно воспользоваться методом Бесселя. Соберём схему, изображённую на рисунке 20. В качестве источника используем фонарик.

Запишем формулу тонкой линзы \[\frac{1}{F} = \frac{1}{x} + \frac{1}{L - x},\] где \(L\) — расстояние от источника до экрана, \(x\) — расстояние от источника до линзы. Откуда после алгебраических преобразований получим \[x^2 - Lx + FL = 0.\] При заданном \(L\) возможны два значения \(x\), при которых изображение оказывается сфокусированным на экране: \[x_{1,2} = \frac{L \pm \sqrt{L^2 - 4FL}}{2}.\] Уравнение имеет действительные корни при \(L > 4F\). Расстояние между двумя положениями линзы Френеля, при которых получается чёткое изображение источника: \[l = |x_2 - x_1| = \sqrt{L^2 - 4FL}, \quad\text{откуда}\quad F = \frac{L}{4} - \frac{l^2}{4L}.\] Если подобрать \(L = 4F\), то погрешность \(\varepsilon_F = \varepsilon_L\), при этом точность измерений будет практически зависеть только от точности фокусировки. Опыт проведём несколько раз, результаты усредним.

2. Определим радиус кривизны \(R\) выпуклой поверхности линзы Френеля. С помощью карандаша делаем в экране отверстие для диодного фонарика. Соберём рабочую схему (рис. 21). Линза должна быть повёрнута к экрану плоской стороной. Тогда свет, отразившийся от ребристой поверхности, сфокусируется на экране на некотором расстоянии \(c\). Получается, что свет проходит через систему «линза — вогнутое зеркало — линза». Поскольку оптические силы вплотную расположенных оптических приборов складываются: \[\frac{1}{c} + \frac{1}{c} = \frac{1}{F} + \frac{2}{R} + \frac{1}{F}, \quad\text{откуда}\quad R = \frac{Fc}{F - c}.\] Расстояние \(c\) измеряем при помощи измерительной ленты.

3. Вычислим показатель преломления \(n\) материала, из которого изготовлена линза. Связь между радиусом кривизны плоско-выпуклой линзы и её оптической силой: \[D = \frac{1}{F} = (n - 1)\frac{1}{R}, \quad\text{откуда}\quad n = 1 + \frac{R}{F}.\]

4. Определим расстояние \(d\) между соседними кольцевыми сегментами. Для этого используем линзу как отражательную дифракционную решётку. Соберём оптическую схему (рис. 22).

Запишем условие наблюдения максимума: \[d(\sin\beta - \sin\alpha) = m\lambda, \quad\text{где}\quad \sin\beta = \frac{L}{\sqrt{L^2 + h^2}}.\] Здесь угол \(\beta\) — угол между вертикалью и направлением на максимум порядка \(m\). Мы не знаем, где находится нулевой максимум, поэтому снимем зависимость порядка \(m\) от \(\sin\beta\). График этой зависимости линейный, и его угловой коэффициент равен \(k = d/\lambda\). Построим график и, определив \(k\), найдём \(d = k\lambda\).