ВсОШ, 2009/10, заключительный этап, 9 класс, экспериментальный тур

Подсказка

Зависимость числа муаровых полос от угла линейна, если откладывать по осям не \(n\) и \(\theta\), а функции от них, которые связаны геометрией решёток. Для перекрещенных решёток серость связана с отношением ширины линии к периоду.

Ответ

1) \(d_A = 2Lk\), где \(k\) — угловой коэффициент графика \(\operatorname{tg}\dfrac{\theta}{2}\) от \(n\);  2) \(\Delta d \approx \dfrac{d_A^2}{L}\);  3) по направлению «бега» полос определяется, у какой решётки период больше;  4) \(k = \dfrac{x}{d}\), для перпендикулярных решёток \(k = \dfrac{(d-x)^2}{d^2}\).

Решение

1. Расстояние между полосами \(l\) равно половине длинной диагонали ромба, образованного пересечениями центров линий. Поскольку из геометрии \(nl = S = \dfrac{L}{\cos(\theta/2)}\), то \[d_A = \frac{2L\sin(\theta/2)}{n\cos(\theta/2)} \quad\text{или}\quad \operatorname{tg}\frac{\theta}{2} = \frac{d_A}{2L}\,n .\] Построим график зависимости \(\operatorname{tg}(\theta/2)\) от \(n\). По точкам проведём прямую и по значению углового коэффициента определим период решётки \(d_A\) по формуле \(d_A = 2Lk\), где \(k\) — значение коэффициента наклона графика.

2. При параллельном наложении двух решёток с разными периодами образуются тёмные и светлые полосы. Там, где линии решёток совпадают, образуются светлые полосы, а там, где из-за различия в периодах линии решёток перестают совпадать, — тёмные. Совпадение полос происходит через интервал \(L\), на котором у решётки, например \(A\), укладывается на один период больше, чем у решётки \(B\).

Пусть расстояние между серединами светлых полос равно \(L\). Тогда: \[L = (n+1)d_1 = n d_2, \qquad \Delta d = d_2 - d_1 = \frac{L}{n(n+1)} = \frac{d_1 d_2}{L} \approx \frac{d_A^2}{L}.\] При этом не ясно, период какой решётки больше.

3. Если внимательно рассмотреть картину полос, то при смещении более частой решётки вправо на расстояние \(\Delta d\) совпадающие полосы переместятся на расстояние \(d_2\) в ту же сторону. Поэтому, если мы будем сдвигать решётку \(A\) относительно \(B\) и полосы будут «бежать» в том же направлении, то это будет значить, что \(d_A < d_B\); если же полосы будут «бежать» в обратном направлении, то \(d_A > d_B\).

4. Пусть ширина полосы \(x\), тогда уровень серого решётки будет равен \(k = x/d\). Сравним серость решётки с образцами, то есть подберём такие два образца близкой серости, чтобы серость решётки принималась промежуточным значением. Найдём \(x\).

Результат можно улучшить, заметив, что если мы положим две сетки ортогонально, то для них относительное количество белых точек будет \(k = (d-x)^2/d^2\). Так что, сравнив серость перпендикулярно перекрещенных решёток с образцами, можно получить величину \(x\) другим способом, а окончательный результат усреднить.

Подсказка

Диаметр проволоки найдите методом рядов, диаметр спирали — прокатыванием вдоль линейки. Массу листов А4 определите взвешиванием на линейке, уравновесив её карандашом; для пружинки используйте такое же уравновешивание.

Ответ

1) \(\lambda = R_0\,\dfrac{\pi d^2/4}{L_0}\);  2) \(\rho = \dfrac{4m_1}{\pi L_0 d^2}\), где \(m_1 = \dfrac{n\,m_0\,l_0}{l_1}\), \(m_0 = 5{,}00\) г.

Решение

1. Определим диаметр \(d\) проволоки, из которой изготовлена спираль, методом рядов. Для этого измерим суммарную ширину нескольких витков сжатой спирали и поделим на количество витков. Диаметр \(D\) спирали определим, прокатив спираль вдоль линейки, отметив расстояние \(l\), которое прошла спираль, и подсчитав количество её оборотов \(N\). Тогда \[D = \frac{1}{\pi}\,\frac{l}{N}.\] Длину проволоки спирали \(L_0\) определим, подсчитав количество витков \(N_0\) в ней. Тогда \[L_0 = N_0\cdot\pi D .\] Измерим сопротивление \(R_0\) всей спирали при помощи мультиметра в режиме омметра. При измерении спираль нужно немного растягивать, чтобы витки не касались друг друга. Окончательно для удельного сопротивления \(\lambda\) запишем: \[\lambda = R_0\,\frac{\pi d^2/4}{L_0}.\]

2. Определим массу \(m_0\) листа А4: \[m_0 = 80 \times 0{,}297 \times 0{,}210\ \text{г} \approx (5{,}00 \pm 0{,}01)\ \text{г}.\] Уравновесим линейку на карандаше, найдя таким образом её центр масс. Сложим \(n = 5\) листов А4 вдоль длинной стороны несколько раз, чтобы образовалась тонкая трубочка. Уравновесим этой трубочкой на линейке спираль, предварительно расположив карандаш около края стола, чтобы спираль могла свободно свешиваться.

Пусть листы А4 расположились на расстоянии \(l_0\) от центра масс, а спираль — на расстоянии \(l_1\). Тогда масса \(m_1\) пружинки составит \[m_1 = n\,m_0\,\frac{l_0}{l_1}.\] Окончательно, \[\rho = \frac{m_1}{V} = \frac{m_1}{L_0\,\pi d^2/4} = \frac{4m_1}{\pi L_0 d^2}.\]