ВсОШ, 2009/10, заключительный этап, 9 класс, теоретический тур

Подсказка

Запишите условие плавания стаканчика в обоих случаях; во втором давление на уровне дна складывается из давления нефти и воды.

Ответ

\(\rho_1 = 0{,}8\) г/см\(^3\).

Решение

Условие равновесия в первом случае запишется как \(mg = F_A\), где сила Архимеда \(F_A = \rho_1 g(d-a)S\). Отсюда найдём: \[\frac{m}{S} = \rho_1(d-a).\] Во втором случае давление на уровне дна составит \(p = \rho_1 g d + \rho_0 g a\). Следовательно, условие равновесия запишется как \[\bigl(m + \rho_1 S(d+a)\bigr)g = pS = (\rho_1 d + \rho_0 a)gS,\] откуда, используя (1), найдём \(\rho_1 = (a/d)\rho_0\). Подставим это выражение в (1): \[\frac{m}{S} = \rho_0\,\frac{a}{d}(d-a) \quad\text{или}\quad x^2 - x + \frac{m}{\rho_0 dS} = 0,\] где \(x = a/d\). Решая уравнение, получим два корня: \[x_{1,2} = \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} - \frac{m}{\rho_0 dS}} = \frac{1}{2} \pm \frac{3}{10} \quad\Rightarrow\quad x = \frac{1}{5}\ \text{или}\ \frac{4}{5}.\] Таким образом, найдём два возможных значения для плотности нефти: \(\rho_1 = \rho_0 x = 0{,}2\) г/см\(^3\) или \(0{,}8\) г/см\(^3\). Исходя из того, что \(a/d > 1/2\), получим окончательно \(\rho_1 = 0{,}8\) г/см\(^3\).

Подсказка

Перейдите в систему отсчёта, связанную с кораблём \(A\): корабль \(B\) движется по прямой с относительной скоростью \(\vec V\) фиксированного модуля.

Ответ

1) \(l_{\min} = \dfrac{L}{2}\);  2) \(\tau = \dfrac{\sqrt{3}\,L}{2v}\);  3) \(\Delta t = \dfrac{L}{\sqrt{3}\,v}\).

Решение

1. Для ответа на первый вопрос удобно выбрать систему отсчёта, связанную с одним из кораблей (например, \(A\)). На рисунке 17 изображён вектор \(\vec V\) относительной скорости корабля. Так как по условию \(v_1 = v_2 = v\), из рисунка следует, что относительная скорость \(\vec V\) направлена под углом \(30^\circ\) к линии, соединяющей корабли, и равна по модулю \(v\). Для определения минимального расстояния между кораблями нужно опустить перпендикуляр из точки \(A\) на направление относительной скорости. Минимальное расстояние между кораблями при их дальнейшем движении есть длина \(l = AC = L\sin30^\circ = L/2\) опущенного перпендикуляра.

2. Двигаясь с относительной скоростью \(V = v\), корабль \(B\) окажется на минимальном расстоянии от корабля \(A\) через время: \[\tau = \frac{L\cos30^\circ}{v} = \frac{\sqrt{3}\,L}{2v}.\]

3. Для ответа на третий вопрос изобразим относительное положение кораблей на море в тот момент, когда корабль \(B\) пересекает линию движения корабля \(A\) (рис. 18). На этом рисунке точки \(A'\) и \(B'\) обозначают положения кораблей в начальный момент времени. Так как скорости кораблей и катера по модулю одинаковы, а угол между скоростями \(\vec v_1\) и \(\vec v_2\) равен \(60^\circ\), точка \(D\) встречи катера с кораблём \(B\) должна лежать в вершине равностороннего треугольника. Значит, \(v\Delta t = a/2\), где \(a\) — гипотенуза \(\triangle A'B'B\), равная \(2L/\sqrt{3}\). Отсюда находим: \[\Delta t = \frac{a}{2v} = \frac{1}{\sqrt{3}}\,\frac{L}{v}.\]

Подсказка

Вода, влитая в лунку, отдаёт тепло и плавит лёд; учтите, что при плавлении часть объёма лунки освобождается, а часть занимает вода, полученная из льда.

Ответ

\(m \approx 1160\) г.

Решение

При заполнении лунки кипятком некоторый объём \(V_x\) льда расплавится. Из этого льда образуется вода объёмом \(V_в = V_x\rho_л/\rho_0\). Следовательно, объём полости увеличится на \(\Delta V\): \[\Delta V = V_x - V_в = V_x\left(\frac{\rho_0-\rho_л}{\rho_0}\right).\] Для плавления льда объёмом \(V_x\) потребуется количество теплоты \(Q_1\): \[Q_1 = V_x\rho_л\lambda .\] Такое же количество теплоты отдаст льду кипяток в процессе остывания: \[Q_2 = (V_0 + \Delta V)\rho_0 c_0\Delta t,\] где \(\Delta t = 100\) °C — изменение температуры воды. Поскольку \(Q_1 = Q_2\), с учётом выражений для \(\Delta V\) получим: \[V_x\rho_л\lambda = \Bigl[V_0 + V_x\Bigl(\frac{\rho_0-\rho_л}{\rho_0}\Bigr)\Bigr]\rho_0 c_0\Delta t .\] Отсюда найдём объём \(V_x\): \[V_x = \frac{V_0\rho_0c_0\Delta t}{\rho_л\lambda - (\rho_0-\rho_л)c_0\Delta t}.\] Искомая масса: \[m = (V_0 + \Delta V)\rho_0 = V_0\rho_0\left(1 - \frac{(\rho_0-\rho_л)\,c_0\Delta t}{\rho_л\lambda}\right)^{-1} \approx 1160~\text{г}.\]

Ответ

1) \(t_3 \approx 109\) °C;  2) \(t_4 = 380\) °C.

Решение

Обозначим электрические сопротивления спиралей через \(R_1\) и \(R_2\), напряжение в сети — через \(U\). Запишем условия теплового баланса для всех четырёх случаев: \[\frac{U^2}{R_1} = A(t_1 - t_0),\] \[\frac{U^2}{R_2} = A(t_2 - t_0),\] \[\frac{U^2}{R_1 + R_2} = A(t_3 - t_0),\] \[\frac{U^2(R_1+R_2)}{R_1R_2} = A(t_4 - t_0).\] Здесь \(t_3\) и \(t_4\) — температуры плитки при последовательном и параллельном соединении спиралей, \(R_3 = R_1 + R_2\), \(R_4 = R_1R_2/(R_1+R_2)\) — сопротивления спиралей при последовательном и параллельном соединении, \(A\) — некоторый коэффициент пропорциональности.

Разделив почленно второе уравнение на первое, получим: \[\frac{R_1}{R_2} = \frac{t_2 - t_0}{t_1 - t_0} = \frac{200}{160} = \frac{5}{4}.\] Теперь разделим второе уравнение на третье: \[\frac{R_1+R_2}{R_2} = \frac{t_2 - t_0}{t_3 - t_0} \quad\text{или}\quad 1 + \frac{R_1}{R_2} = \frac{200}{t_3 - 20},\] откуда \(t_3 \approx 109\) °C. Таким образом, при последовательном соединении спиралей плитка нагревается всего до \(t_3 \approx 109\) °C.

Аналогичным образом найдём температуру \(t_4\) при параллельном соединении спиралей. Для этого разделим почленно второе уравнение на четвёртое: \[\frac{R_1}{R_1+R_2} = \frac{t_2 - t_0}{t_4 - t_0},\] откуда \(t_4 = 380\) °C.

Подсказка

Запишите закон Ома для двух контуров, проходящих через источник, и правило узлов; неизвестное \(R_3\) в итоговый ответ не войдёт.

Ответ

\(I_2 = I_1\,\dfrac{R_0 + R_1}{R_0 + R_2}\).

Решение

Запишем закон Ома для участка цепи (рис. 19): \[I_0R_0 + I_1R_1 = U = I_2R_2 + I_3R_0 .\] Сила тока, протекающего через источник, равна \[I_U = I_0 + I_2 = I_1 + I_3 .\] Преобразуем уравнения: \[(I_0 - I_3)R_0 = I_2R_2 - I_1R_1, \qquad I_0 - I_3 = I_1 - I_2 .\] Подставим второе уравнение в первое: \[(I_1 - I_2)R_0 = I_2R_2 - I_1R_1 .\] Из этого уравнения следует: \[I_2 = I_1\,\frac{R_0 + R_1}{R_0 + R_2} .\]