зад 1 Скатывание теннисного шарика II
В данной задаче вам предстоит изучить скатывание теннисного шарика с наклонного уголка. Известно, что время скатывания теннисного шарика с вершины наклонного уголка (рис. 1) определяется формулой: \[t = A\cdot(\sin\alpha)^{n/2},\] где \(n \in \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}\), а \(A\) — постоянная установки.
Определите значения величин \(A\) и \(n\). Для этого соберите установку из бруска, положенного на стол, и опирающегося на него уголка.
Измерьте время скатывания шарика с вершины жёлоба для каждого значения \(\sin\alpha\) несколько раз (не меньше 7). Данные занесите в таблицу 1.
Таблица 1
| \(\sin\alpha\) | \(t_1\), с | \(t_2\), с | \(t_3\), с | \(t_4\), с | \(t_5\), с | \(t_6\), с | \(t_7\), с | \(t_{\text{средн}}\), с |
| 0,1 | ||||||||
| 0,2 | ||||||||
| 0,3 | ||||||||
| 0,4 | ||||||||
| 0,5 |
Усредните результат. Данные занесите в таблицу 1.
Подберите такое \(n\), чтобы зависимость \(t_{\text{средн}}\) от \((\sin\alpha)^{n/2}\) была наиболее близка к линейной.
Постройте график этой зависимости на миллиметровой бумаге.
Определите из графика значение постоянной \(A\).
Для каждой серии опытов с соответствующим \(\sin\alpha\) вычислите ускорение \(a\) шарика.
Постройте график зависимости ускорения \(a\) от \(\alpha\) в таких координатах, в которых эта зависимость линейна.
Оборудование. Уголок длиной \(L = 50\) см, теннисный шарик, секундомер, линейка, брусок \(5\) см \(\times\) \(10\) см \(\times\) \(20\) см, 2 листа миллиметровой бумаги.
▶ОтветСкрыть
\(n = -1\), то есть график \(t_{\text{средн}}\) строится в координатах \(t_{\text{средн}}\) от \((\sin\alpha)^{-1/2}\); значение постоянной \(A\) зависит от особенностей установки.
▶РешениеСкрыть
Дадим краткие пояснения, вытекающие из теоретического решения задачи о скатывании шарика с наклонной плоскости. От участников олимпиады они не требуются.
Из уравнения моментов следует, что ускорение шарика равно: \[a = B\cdot\sin\alpha,\tag{3} \tag{1}\] где \(B\) — постоянный коэффициент, зависящий от угла между плоскостями, образующими уголок.
Пусть длина уголка равна \(L\). Тогда время скатывания найдём из уравнения: \[L = \dfrac{at^2}{2}.\tag{4} \tag{2}\] Из (3) и (4) получим: \[t = \sqrt{\dfrac{2L}{B}}\cdot(\sin\alpha)^{-1/2}.\] Таким образом, график \(t_{\text{средн}} = f(\sin\alpha)\) следует строить в координатах \(t_{\text{средн}}\) от \((\sin\alpha)^{-1/2}\).
Коэффициент \(n = -1\).
Значение постоянной \(A\) зависит от особенностей установки.
зад 2 Плотность подсолнечного масла
В данном эксперименте вам предстоит измерить плотность \(\rho_{\text{м}}\) подсолнечного масла. Для этого отметьте на пробирке уровень \(A\), выше которого площадь поперечного сечения пробирки остаётся постоянной. Примем точку \(A\) за начало отсчёта.
Налейте в пробирку немного воды и поместите её в сосуд с водой (рис. 2). Воды в пробирке должно быть столько, чтобы она плавала вертикально.
Пусть уровень жидкости внутри пробирки, отсчитываемый от точки \(A\) вверх, равен \(l_1\), а уровень воды в сосуде, отсчитываемый от той же точки \(A\) — \(l_2\).
Постепенно наливая в пробирку воду, снимите зависимость \(l_2\) от \(l_1\).
Постройте на миллиметровой бумаге график данной зависимости.
Вылейте из пробирки воду и проведите аналогичные действия для подсолнечного масла.
Выведите аналитически зависимость \(l_2\) от \(l_1\) для произвольной жидкости плотностью \(\rho\) в пробирке.
Используя экспериментальные данные, вычислите плотность \(\rho_{\text{м}}\) подсолнечного масла.
Оцените погрешность полученного вами результата.
Примечание. Плотность воды \(\rho_0 = 1000\) кг/м\(^3\). Плотность подсолнечного масла \(\rho_{\text{м}}\) находится в пределах \(850\)–\(980\) кг/м\(^3\).
Оборудование. Пробирка с наклеенной на внешнюю поверхность миллиметровой бумагой, ёмкость для жидкости, вода, подсолнечное масло, миллиметровая бумага для построения графиков.
▶ОтветСкрыть
\(\rho_{\text{м}} = \dfrac{a_{\text{м}}}{a_0}\rho_0\), где \(a_0\) и \(a_{\text{м}}\) — угловые коэффициенты графиков \(l_2(l_1)\) для воды и для масла; погрешность \(\Delta\rho_{\text{м}} = \rho_{\text{м}}\left(\dfrac{\Delta a_{\text{м}}}{a_{\text{м}}} + \dfrac{\Delta a_0}{a_0}\right)\).
▶РешениеСкрыть
Рассмотрим пробирку с налитой в неё жидкостью плотности \(\rho\), плавающую в сосуде с водой. Пусть внутренняя и внешняя площади поперечного сечения равны соответственно \(S_1\) и \(S_2\). Обозначим за \(V_1\) и \(V_2\) внутренний и внешний объёмы части пробирки, расположенной ниже точки \(A\), выбранной в качестве начала отсчёта. Запишем условие равновесия пробирки: \[Mg + \rho(S_1l_1 + V_1)g = \rho_0(V_2 + S_2l_2)g,\] где \(M\) — масса пустой пробирки.
Отсюда получим: \[l_2 = \dfrac{\rho S_1}{\rho_0S_2}\cdot l_1 + \dfrac{M + \rho V_1 - \rho_0V_2}{\rho_0S_2} = a\cdot l_1 + b,\tag{5} \tag{1}\] где \(a\) и \(b\) — некоторые константы, не зависящие от \(l_1\) и \(l_2\).
Нальём в пробирку воду и снимем зависимость \(l_2\) от \(l_1\). Построим на миллиметровой бумаге соответствующий график. Как видно из формулы (5), эта зависимость линейна. По угловому коэффициенту определяем отношение \(S_1/S_2\): \[a_0 = \dfrac{\rho_0S_1}{\rho_0S_2} = \dfrac{S_1}{S_2}.\] Повторим эксперимент, заполняя пробирку подсолнечным маслом. Построим график полученной зависимости. По угловому коэффициенту графика вычислим плотность \(\rho_{\text{м}}\) масла: \[a_{\text{м}} = \dfrac{\rho_{\text{м}}S_1}{\rho_0S_2} = a_0\cdot\dfrac{\rho_{\text{м}}}{\rho_0}.\] Окончательно получаем: \[\rho_{\text{м}} = \dfrac{a_{\text{м}}}{a_0}\cdot\rho_0.\] Оценим погрешность найденного значения: \[\Delta\rho_{\text{м}} = \rho_{\text{м}}\cdot\left(\dfrac{\Delta a_{\text{м}}}{a_{\text{м}}} + \dfrac{\Delta a_0}{a_0}\right).\]
Погрешности \(\Delta a_1\) и \(\Delta a_2\) оценим из графиков.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2010/11, региональный этап, 10 класс, экспериментальный тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.