ВсОШ, 2010/11, заключительный этап, 10 класс, экспериментальный тур

Подсказка

Установившаяся скорость достигается, когда вес капли с учётом силы Архимеда уравновешен вязким трением. Как получить капли одинакового объёма и по чему удобно измерять путь за заданное время?

Решение

1. Для определения радиуса капель наполним шприц водой до некоторого уровня, так чтобы мы знали весь объём воды в шприце. Будем выдавливать из шприца капли, пока вода в шприце не закончится, и будем подсчитывать количество выдавленных капель. Тогда \[N V_0 = V,\] где \(N\) — количество капель, выдавленных из шприца, \(V\) — объём воды в шприце, \(V_0\) — объём одной капли. Радиус находим из формулы для объёма шара: \(V_0 = \dfrac{4}{3}\pi r^3\). Для получения капель воды одинакового размера протыкаем пробку шприцем, а затем затыкаем пробирку пробкой с продетым шприцем.

2. Будем считать, что скорость движения капли установилась. Тогда \(\eta\) можно найти из второго закона Ньютона: \[(\rho_в - \rho_м)\,g V_0 = 4\pi\eta r v_{\text{уст}}\left(1 + 2{,}4\,\frac{r}{R}\right).\] Отсюда \[\eta = \frac{1}{3}\,\frac{(\rho_в - \rho_м)\,g r^2}{v_{\text{уст}}\left(1 + 2{,}4\,\dfrac{r}{R}\right)}.\] Чтобы решить, имеет ли смысл пользоваться уточнённой формулой, нужно сравнить 1 и поправку \(2{,}4\,\dfrac{r}{R}\). Если поправка соизмерима с 1, её нужно учитывать.

3. Для определения \(\eta\) нужно определить \(v_{\text{уст}}\) — скорость установившегося движения шарика воды в масле. Её можно измерить секундомером и по делениям на пробирке. Расстояние между двумя делениями пробирки: \[\Delta l = \frac{\Delta V}{\pi R^2},\] где \(\Delta V\) — объём, соответствующий одному делению пробирки.

4. Чтобы оценить погрешность определения \(\eta\), сначала оцениваем погрешности прямых измерений, затем дифференцируем выражение для \(\eta\) по всем измеряемым величинам: \[\frac{\Delta\eta}{\eta} = \sqrt{\left(\frac{\Delta l}{l}\right)^2 + \left(\frac{\Delta t}{t}\right)^2 + \left(\frac{2\Delta r}{r} + \frac{2{,}4\,\Delta r}{R + 2{,}4\,r}\right)^2}.\] Пусть \(L_0\) — полный путь, который капля проходит в жидкости за время \(t_0\) с момента отрыва от иглы шприца. Тогда путь релаксации оценивается как \[S_{\text{уст}} = v_{\text{уст}}\, t_0 - L_0.\]

Подсказка

Сравните между собой измеренные сопротивления: какие пары выводов дают одинаковые значения? Рассчитайте сопротивления между \(A\) и \(D\) и между \(B\) и \(C\) через \(r\) и \(R\).

Ответ

3) \(A\)–\(D\) соответствует паре выводов 3–4, \(B\)–\(C\) соответствует паре выводов 1–2; 4) \(r = (270{,}0 \pm 0{,}4)\) кОм, \(R = (51{,}0 \pm 0{,}3)\) кОм.

Решение

Используя выданный мультиметр, измерим сопротивления между каждой парой выводов (погрешности найденных значений составляют 0,2 кОм). Результаты — в таблице:

Выразим сопротивления между выводами схемы через сопротивления составляющих её резисторов. Сопротивление между выводами \(A\) и \(D\): \[R_{AD} = \frac{rR}{r + R}.\] Сопротивление между выводами \(B\) и \(C\): \[R_{BC} = \frac{r}{2}.\] Для остальных пар выводов их сопротивления равны между собой. Значит, резистор \(R\) может быть подключён либо между точками 1 и 2, либо между точками 3 и 4.

1. Предположим, что \(R\) включено между точками 1 и 2. Получим, что \(1\text{–}2 \Leftrightarrow A\text{–}D\), \(r = (85{,}5 \pm 0{,}4)\) кОм, \(R = -(233 \pm 3)\) кОм \(< 0\). Резистор не может иметь отрицательное сопротивление, значит, это предположение неверно.

2. Предположим, что \(R\) включено между выводами 3 и 4. В этом случае \(3\text{–}4 \Leftrightarrow A\text{–}D\), \(r = (270{,}0 \pm 0{,}4)\) кОм, \(R = (51{,}0 \pm 0{,}5)\) кОм.

Значит, паре \(A\)–\(D\) соответствует 3–4, паре \(B\)–\(C\) соответствует 1–2, и окончательно \(r = (270{,}0 \pm 0{,}4)\) кОм, \(R = (51{,}0 \pm 0{,}3)\) кОм.