ВсОШ, 2010/11, заключительный этап, 11 класс, экспериментальный тур

Подсказка

Период колебаний груза на пружине зависит от его массы с учётом эффективной массы самой пружины. Сравните периоды для гайки и для гайки с пластилином. Для объёма нужен масштаб: его можно получить из периода математического маятника известной длины.

Ответ

\(\rho \approx 1{,}25\) г/см\(^3\).

Решение

1. Определение массы пластилина. Подвешиваем на пружине груз известной массы \(m_0\) и определяем период колебаний \(T_0\). Затем подвешиваем на пружине груз с пластилином и определяем период колебаний \(T\). По формуле для периода колебаний груза на пружине \[T = 2\pi\sqrt{\frac{m + m_0 + \frac{1}{3}M}{k}},\] откуда находим \[m = \left(\frac{T^2}{T_0^2} - 1\right) m_0.\]

2. Определение объёма куска пластилина. В предложенном оборудовании нет масштабной линейки. Необходимый масштаб можно установить, измеряя период колебаний математического маятника \(T_{\text{мат}} = 2\pi\sqrt{l/g}\).

Кусок пластилина превращаем в шар (возможно более аккуратно). Обматываем шар несколько раз (\(N\)) ниткой по диаметральному сечению. Обозначим длину нитки \(l\). Подвешиваем груз на нитке длиной \(l\) и измеряем период колебаний \(T_{\text{мат}}\) математического маятника. Опыт нужно повторить несколько раз, обматывая шар ниткой по различным сечениям и определяя затем среднее значение \(l\). Радиус шара вычисляем по формуле \[R = \frac{l}{2\pi N},\] а объём шара — по формуле \(V = \dfrac{4}{3}\pi R^3\).

3. Определение плотности пластилина: \(\rho = \dfrac{m}{V}\). Численно \(\rho \approx 1{,}25\) г/см\(^3\).

Подсказка

Как меняется расстояние между максимумами на экране при изменении расстояния от трубки до экрана? Какой наклон прямой даёт период решётки?

Ответ

2) угол между штрихами решёток близок к \(70^\circ\);  3) решётка \(R_1\) — 50 штрихов/мм, решётка \(R_2\) — 150 штрихов/мм;  4) \(D = 0{,}2 + 12\cdot\dfrac{\lambda}{d_2}\) см.

Решение

Закрепим лазерную указку и трубку на подставках. Направим луч лазера в чёрный ящик со стороны прозрачного стекла. За ящиком расположим экран из миллиметровки. Первая дифракционная решётка \(R_1\) разлагает луч на несколько лучей. Каждый из полученных лучей разлагается на решётке \(R_2\), и на экране наблюдается двумерная дифракционная картина. Если же светить в ящик с другой стороны, на диафрагму (Д), находящуюся на решётке \(R_1\), одновременно попадает только один дифракционный максимум решётки \(R_2\). Этот луч затем дифрагирует на \(R_1\), и картина на экране получается одномерной. Она даёт возможность сразу определить направление штрихов решётки \(R_1\). Повернув ящик вместе с подставкой, но не вращая трубку вокруг оси симметрии, вновь получим на экране двумерную картину. Теперь можно определить направление штрихов решётки \(R_2\) и угол между штрихами решёток. В нашем случае он близок к \(70^\circ\).

Определим периоды и положения решёток. Для этого снимем зависимость расстояния между максимумами \(x\), соответствующими каждой из решёток, от расстояния \(L\) от конца трубки до экрана. В пределе малых углов и нормального падения \[\Delta x_{1,2} = \Delta n\cdot\frac{\lambda}{d}\,(L + L_{1,2}),\] где \(d\) — период дифракционной решётки, \(L_1\) и \(L_2\) — расстояния от одного края трубки до дифракционных решёток внутри, \(n\) — номер дифракционного максимума. Для определения искомых параметров достаточно 4 измерений. Для большей точности нужно располагать экран как можно дальше от трубки, используя всю длину стола, а также измерять расстояние между несколькими максимумами: \(\Delta n = 3\)–\(5\).

В собранной схеме ближайшая к лазеру решётка работает также и на отражённом свете. По дифракционной картине, образующейся позади лазера, можно провести аналогичные измерения.

Определим размер диафрагмы. Направим лазерный луч в чёрный ящик со стороны тёмного стекла. Можно подобрать такое положение указки, при котором картины не будет, но при смещении луча вправо или влево на 2 мм будут возникать разные прямые, соответствующие разным максимумам на \(R_2\). Зная, что расстояние между решётками равно 12 см, определим диаметр диафрагмы: \[D = 0{,}2 + 12\cdot\frac{\lambda}{d_2}~\text{см}.\] В ваших чёрных ящиках были использованы решётки 50 штрихов/мм (\(R_1\)) и 150 штрихов/мм (\(R_2\)).