ВсОШ, 2010/11, заключительный этап, 9 класс, теоретический тур

Подсказка

После отрыва от желоба тело движется как брошенное тело. Подумайте, как по горизонтальной и вертикальной частям пути найти время падения и скорость в точке \(O\), а затем высоту, с которой тело начинало движение.

Ответ

Расстояние от пола до точки \(M\): \(L = 5{,}3\) условных единиц (положение точки \(M\) — по построению на рисунке решения).

Решение

Проведём касательную в нижней точке желоба \(O\), а также горизонтальную линию через ту же точку. Из точки \(A\) проведём вертикальную линию, пересекающую касательную в точке \(B\) и горизонтальную линию — в точке \(C\) (рис. 16).

Движение тела по вертикали после отрыва от желоба описывается уравнением \[y = v_{oy}t + \dfrac{gt^2}{2},\] где \(v_{oy}\) — проекция скорости тела на вертикальную ось в момент отрыва от желоба, начало координат находится в точке \(O\), ось \(Y\) направлена вниз.

На рисунке отрезок \(CB\) равен расстоянию, которое тело прошло бы по вертикали за время падения \(t_0\), если бы не было ускорения свободного падения, а отрезок \(BA\) равен расстоянию, которое тело пролетело бы за то же время \(t_0\) при свободном падении без начальной скорости. Кроме того, отрезок \(OB\) равен пути, который тело, двигаясь с постоянной скоростью \(v_0\), прошло бы за время \(t_0\). Таким образом, \[AB = h = \dfrac{gt_0^2}{2}; \qquad OB = l = v_0t_0.\]

Исключив из этих соотношений время падения \(t_0\), получим: \[v_0^2 = \dfrac{gl^2}{2h}.\] Высоту \(H\) начальной точки над точкой \(O\) найдём из закона сохранения энергии: \[\dfrac{mv_0^2}{2} = mgH.\] Отсюда: \[H = \dfrac{l^2}{4h}.\] По рисунку находим: \(h = 1\), \(l^2 = (CB)^2 + (OC)^2 = (1{,}5)^2 + 3^2 = 11{,}25\); \[H = \dfrac{11{,}25}{4} \approx 2{,}8.\] Расстояние от точки \(M\) до пола равно \(L = 5{,}3\) условных единиц.

Подсказка

Какие величины сохраняются при взаимодействии шайбы с горкой на гладкой поверхности? Что следует из равенства модулей скоростей после спуска, если скорости направлены в разные стороны?

Ответ

1) \(M = 3m\), где \(m\) и \(M\) — массы шайбы и горки;  2) \(\dfrac{E_{\text{п,max}}}{E_{\text{к}0}} = \dfrac{3}{4}\).

Решение

1. Пусть \(m\) и \(M\) — массы шайбы и горки соответственно, \(v_0\) — начальная скорость шайбы, \(v_1\) и \(v_2\) — проекции скоростей шайбы и горки на направление \(\vec v_0\) после соскальзывания шайбы. Запишем законы сохранения импульса и энергии: \[mv_0 = mv_1 + Mv_2, \qquad \dfrac{mv_0^2}{2} = \dfrac{mv_1^2}{2} + \dfrac{Mv_2^2}{2}.\] Из этих уравнений следует: \[v_1 = \dfrac{m - M}{m + M}v_0, \qquad v_2 = \dfrac{2m}{m + M}v_0.\] Шайба и горка после соскальзывания шайбы движутся с одинаковыми по модулю скоростями в противоположных направлениях (\(v_2 = -v_1\)), следовательно, должно выполняться условие: \((m - M) = -2m\), откуда следует: \(M = 3m\).

2. Рассмотрим теперь момент времени, когда шайба достигла максимальной высоты \(H\). В этот момент скорости шайбы и горки одинаковы и равны \(v\). Запишем для этого момента законы сохранения импульса и энергии: \[mv_0 = (m + M)v, \qquad \dfrac{mv_0^2}{2} = mgH + \dfrac{m + M}{2}v^2.\] Решая совместно эти уравнения, получим: \[\dfrac{mv_0^2}{2}\left(1 - \dfrac{m}{m + M}\right) = mgH,\] откуда \[\dfrac{mgH}{mv_0^2/2} = \dfrac{M}{m + M} = \dfrac{3}{4}.\]

Подсказка

Запишите уравнение теплового баланса при каждом переносе бруска. Покажите, что разность температур воды в сосудах после цикла пропорциональна разности до цикла, и найдите коэффициент пропорциональности.

Ответ

1) \(n_{\min} = 8\);  2) \(t_0 = \dfrac{2t_1 + 3t_2}{5}\).

Решение

1. Рассмотрим процессы теплообмена в первом цикле: \[c_1t_1 + ct_2 = (c_1 + c)t'_1, \quad \text{откуда} \quad t'_1 = \dfrac{c_1t_1 + ct_2}{c_1 + c},\] \[c_2t_2 + ct'_1 = (c_2 + c)t'_2, \quad \text{откуда} \quad t'_2 = \dfrac{c_2t_2 + ct'_1}{c_2 + c}.\] Здесь \(t'_1\) и \(t'_2\) — температуры воды в сосудах по окончании первого цикла. \[\Delta t' = t'_2 - t'_1 = \dfrac{c_2(t_2 - t'_1)}{c_2 + c} = \dfrac{c_1c_2(t_2 - t_1)}{(c_1 + c)(c_2 + c)}.\] \[\Delta t' = A(t_2 - t_1), \qquad A = \dfrac{c_1c_2}{(c_1 + c)(c_2 + c)} < 1.\] Таким образом, за каждый цикл разность температур в сосудах уменьшается в \(1/A\) раз. При \(c_1 : c_2 : c = 4 : 5 : 1\) \[A = \dfrac{2}{3}, \qquad \dfrac{1}{A} = \dfrac{3}{2}, \qquad \left(\dfrac{1}{A}\right)^n \ge N.\] Подбором (на калькуляторе) легко получить: \(n_{\min} = 8\).

2. После большого числа циклов температуры бруска и воды в сосудах будут одинаковыми. Установившуюся температуру можно найти из условия теплового баланса: \[c_1t_1 + c_2t_2 + ct_2 = (c_1 + c_2 + c)t_0,\] откуда \[t_0 = \dfrac{2t_1 + 3t_2}{5}.\]

Подсказка

Подумайте, какие узлы куба имеют одинаковые потенциалы из соображений симметрии: резистор между такими узлами не пропускает тока и его можно удалить из схемы.

Ответ

1) \(I_{AB} = \dfrac{11}{3}\dfrac{U}{R}\), \(R_{AB} = \dfrac{3}{11}R\);  2) \(I_{\max} = \dfrac{2U}{R}\), ребро 1–5;  3) резисторы \(R_{87}\), \(R_{56}\), \(R_{43}\), \(P_{\max} = \dfrac{U^2}{R}\);  4) \(I_{AC} = \dfrac{11}{5}\dfrac{U}{R}\), \(R_{AC} = \dfrac{5}{11}R\).

Решение

1. Обратим внимание на то, что резистор \(R_{48}\) замкнут накоротко. Следовательно, по нему ток не течёт, и его можно удалить из схемы без нарушения распределения токов и напряжений во всех других рёбрах. При этом схема сильно упрощается и её можно изобразить в виде комбинации параллельно и последовательно соединённых резисторов (рис. 17).

Из приведённой эквивалентной схемы видно, что резисторы \(R_{87}\), \(R_{56}\) и \(R_{43}\) включены между узлами 1 и 7 параллельно. Также параллельно этим резисторам включена цепочка, состоящая из резисторов \(R_{12}\), \(R_{26}\) и \(R_{23}\). Сопротивление этой цепочки \(R'\) равно: \[R' = R + \dfrac{R \cdot R}{R + R} = \dfrac{3}{2}R.\] Таким образом, полное сопротивление \(R_{AB}\) определим из соотношения: \[\dfrac{1}{R_{AB}} = \dfrac{3}{R} + \dfrac{2}{3R} = \dfrac{11}{3R},\] откуда следует, что \[R_{AB} = \dfrac{3}{11}R; \qquad I_{AB} = \dfrac{U}{R_{AB}} = \dfrac{11}{3}\dfrac{U}{R}.\]

2. Из эквивалентной схемы видно, что сила тока будет максимальна в ребре 1–5. \[I_{\max} = I_{15} = I_{587} + I_{56} = \dfrac{U}{R} + \dfrac{U}{R} = \dfrac{2U}{R}.\]

3. Максимальная тепловая мощность будет выделяться на тех резисторах, в которых сила тока максимальна. Таких резисторов три: \(R_{87}\), \(R_{56}\) и \(R_{43}\). В каждом из них сила тока составляет \(I = \dfrac{U}{R}\), а мощность \(P_{\max} = \dfrac{U^2}{R}\).

4. При переносе контакта из узла 7 в узел 2 изменяются токи во всех резисторах. С помощью новой эквивалентной схемы можно получить: \[R_{AC} = \dfrac{5}{11}R; \qquad I_{AC} = \dfrac{11}{5}\dfrac{U}{R}.\]

Подсказка

Минимальная сила удержания заслонки равна \(F_0\) плюс вес столба воды над ней, делённый на площадь нижней трубы. Сравните приращения силы с приращениями объёма воды в каждой из труб.

Ответ

1) \(S_1 : S_2 = 3 : 1\);  2) \(L_1 : L_2 = 3 : 5\).

Решение

1. (Графический способ) Допустим, что после того, как в составной цилиндр налили \(V\) литров воды, высота столба воды оказалась равной \(h\). Минимальная сила, необходимая для удержания заслонки в прижатом состоянии, равна: \[F = F_0 + (\rho g S_1)\cdot h,\] где \(\rho\) — плотность воды, \(g\) — ускорение свободного падения.

Зависимости \(h(V)\) и \(F(V)\) для каждого из отрезков труб линейны. Для первой (нижней) трубы справедливо соотношение: \[\left(\dfrac{\Delta F}{\Delta V}\right)_1 = \rho g.\] Для второй (верхней) трубы справедливо соотношение: \[\left(\dfrac{\Delta F}{\Delta V}\right)_2 = \dfrac{\rho g S_1\Delta h}{S_2\Delta h} = \rho g\,\dfrac{S_1}{S_2}.\]

Построим график зависимости \(F(V)\) (рис. 18).

Из него находим, что отношение угловых коэффициентов \[\left(\dfrac{\Delta F}{\Delta V}\right)_2 : \left(\dfrac{\Delta F}{\Delta V}\right)_1 = \dfrac{S_1}{S_2} = 3,\] а отношение \[\dfrac{\Delta F_1}{\Delta F_2} = \dfrac{\rho g H_1}{\rho g H_2} = \dfrac{H_1}{H_2} = \dfrac{1{,}5}{2{,}5} = \dfrac{3}{5}.\]

2. (Аналитический способ) Рассмотрим ситуацию после наливания первой порции воды. По условию задачи \[S_1h_1 = V_0.\] Воспользуемся законом Паскаля: \[F_0 + \rho gh_1S_1 = 2F_0.\] Отсюда: \[F_0 = \rho gh_1S_1.\]

Теперь рассмотрим ситуацию после наливания второй порции воды. Судя по изменению давления на заслонку, можно предположить, что вода полностью заполнила нижнюю трубу и частично — верхнюю: \[H_1S_1 + h_2S_2 = 2V_0.\] Согласно закону Паскаля: \(F_0 + \rho g(H_1 + h_2)S_1 = 4F_0\). Отсюда: \[3F_0 = \rho g(H_1 + h_2)S_1.\]

Наконец, рассмотрим ситуацию после наливания третьей порции воды: \[2V_0 + \dfrac{V_0}{3} = H_1S_1 + H_2S_2.\] Согласно закону Паскаля: \(F_0 + \rho g(H_1 + H_2)S_1 = 5F_0\). Отсюда: \[4F_0 = \rho g(H_1 + H_2)S_1.\]

Решая полученную систему уравнений, найдём: \[S_1 : S_2 = 3 : 1, \qquad H_1 : H_2 = 3 : 5.\]