ВсОШ, 2011/12, региональный этап, 10 класс, теоретический тур

Сравните объём воды, вытесняемый плавающим льдом с шариком, с объёмом воды и шарика после таяния льда: разность этих объёмов даёт изменение уровня.

1) \(V_{\text{п}} = hS\left(1 - \dfrac{\rho_{\text{в}}}{2\rho_{\text{л}}}\right)\);  2) понизится;  3) \(\Delta h = \dfrac{h}{2}\left(1 - \dfrac{\rho_{\text{в}}}{\rho_{\text{ш}}}\right)\).

Объём, вытесняемый льдом с полостью, равен \(hS = V_{\text{п}} + V_{\text{л}} = V_{\text{п}} + \dfrac{m_{\text{л}}}{\rho_{\text{л}}}\), где \(V_{\text{л}}\) — объём льда, \(m_{\text{л}}\) — его масса. По закону Архимеда \((m_{\text{л}} + m_{\text{ш}})g = \rho_{\text{в}} g V\); учитывая, что \(m_{\text{ш}} = m_{\text{л}} = m\), получаем \(2m = \rho_{\text{в}} hS\). Отсюда \[V_{\text{п}} = hS - \frac{m}{\rho_{\text{л}}} = hS\left(1 - \frac{\rho_{\text{в}}}{2\rho_{\text{л}}}\right).\] После таяния льда вода и шарик вытесняют объём \(m/\rho_{\text{в}} + m/\rho_{\text{ш}}\), а плавающий лёд вытеснял \((m_{\text{л}}+m_{\text{ш}})/\rho_{\text{в}}\). Так как \(\rho_{\text{в}} < \rho_{\text{ш}}\), первый объём больше второго и уровень воды понизится. Разность этих объёмов равна \(S\Delta h\): \[\frac{m_{\text{ш}}}{\rho_{\text{в}}} - \frac{m_{\text{ш}}}{\rho_{\text{ш}}} = S\,\Delta h,\] откуда с учётом \(2m = \rho_{\text{в}} hS\): \[\Delta h = \frac{m}{S}\left(\frac{1}{\rho_{\text{в}}} - \frac{1}{\rho_{\text{ш}}}\right) = \frac{h}{2}\left(1 - \frac{\rho_{\text{в}}}{\rho_{\text{ш}}}\right).\]

В точке максимальной высоты вертикальная составляющая скорости равна нулю, а горизонтальная сохраняется. Запишите связь пройденного пути по горизонтали с \(\tau\) и с горизонтальной скоростью.

\(\tau_1 = 2{,}0\) с, \(\tau_2 = 1{,}5\) с.

Горизонтальная составляющая скорости камня \(v_x = \sqrt{v_0^2 - (g\tau)^2}\). Перемещение по горизонтали \(L = \tau v_x = \tau\sqrt{v_0^2 - (g\tau)^2}\). Это уравнение можно преобразовать к биквадратному: \[\tau^4 - \left(\frac{v_0}{g}\right)^2\tau^2 + \left(\frac{L}{g}\right)^2 = 0,\] корни которого: \(\tau_1 = 2{,}0\) с, \(\tau_2 = 1{,}5\) с.

Мощность двигателя при равномерном движении уходит на сопротивление воздуха. На повороте добавьте центростремительное ускорение и найдите полную силу трения, которая для этого нужна.

1) \(\mu \geqslant 0{,}07\);  2) \(\mu \geqslant 0{,}19\).

Вся мощность двигателя идёт на преодоление сопротивления воздуха \(F_{\text{c}}\), откуда \(F_{\text{c}} = P/v\). Движет автомобиль действующая на колёса со стороны дороги сила трения \(F_{\text{тр}}\). При равномерном движении \(F_{\text{тр}} = F_{\text{c}}\), откуда для коэффициента трения получаем \[\mu \geqslant \frac{F_{\text{тр}}}{mg} = \frac{F_{\text{c}}}{mg} = \frac{P}{mgv} \approx 0{,}07.\]

Во втором случае автомобиль под действием тех же сил трения о дорогу и сопротивления воздуха движется с ускорением \(a = v^2/R\) (см. рис. 10). Из второго закона Ньютона \(m\vec a = \vec F_{\text{тр}} + \vec F_{\text{c}}\) получаем \(F_{\text{тр}} = \sqrt{F_{\text{c}}^2 + (ma)^2} = \sqrt{(P/v)^2 + (mv^2/R)^2}\) и \[\mu \geqslant \frac{F_{\text{тр}}}{mg} = \frac{\sqrt{(P/v)^2 + (mv^2/R)^2}}{mg} \approx 0{,}19.\]

Выразите коэффициент пропорциональности через номинальные напряжение и мощность каждой лампы, затем используйте закон сложения напряжений в последовательной цепи.

\(U_1 \approx 181\) В.

По условию для лампы \(U = kI^{5/3}\). В номинальном режиме \(U_{\text{н}} = k(P_{\text{н}}/U_{\text{н}})^{5/3}\), откуда \(k = \dfrac{U_{\text{н}}^{8/3}}{P_{\text{н}}^{5/3}}\). Для ламп с \(U_0 = 220\) В: \(k_1 = \dfrac{U_0^{8/3}}{P_1^{5/3}}\), \(k_2 = \dfrac{U_0^{8/3}}{P_2^{5/3}}\).

Отношение напряжений на лампах при последовательном соединении: \[\frac{U_2}{U_1} = \frac{k_2 I^{5/3}}{k_1 I^{5/3}} = \frac{k_2}{k_1} = \left(\frac{P_1}{P_2}\right)^{5/3} = \left(\frac{40}{100}\right)^{5/3} = 0{,}4^{5/3} \approx 0{,}22.\] Кроме того \(U_1 + U_2 = U_0 = 220\) В. Из этих двух уравнений находим: \[U_1 = \frac{U_0}{1 + (P_1/P_2)^{5/3}} = \frac{220}{1{,}22} \approx 181~\text{В}.\]

Изменение внутренней энергии газа в обоих процессах одинаково, значит, разность теплот равна работе газа в первом процессе. Работа равна площади под графиком в координатах \(PV\).

Водород (\(\mu = 2\) г/моль).

Изменения внутренней энергии газа в двух процессах одинаковы, следовательно, заданная в условии разность теплот равна работе газа в первом процессе. Эта работа равна площади под графиком процесса в координатах \(PV\) (рис. 11), которую проще всего найти как разность площадей двух треугольников: \[A = \frac12 P_2V_2 - \frac12 P_1V_1 = \frac12(\nu RT_2 - \nu RT_1) = \frac12\frac{m}{\mu}R\,\Delta T.\] Отсюда находим молярную массу газа: \[\mu = m\frac{R\,\Delta T}{2A} = 100~\text{г}\cdot\frac{8{,}31\cdot 4}{2\cdot 831} = 2~\text{г}.\] Искомый газ — водород.