ВсОШ, 2011/12, региональный этап, 9 класс, теоретический тур

Подсказка

Постройте для каждого из бегунов график номера этажа от времени: на каждом участке движения скорость постоянна, поэтому графики будут состоять из отрезков прямых.

Ответ

13-й этаж.

Решение

Построим график зависимости прохождения этажей Геной и Чебурашкой от времени, выраженного в условных единицах (будем считать, что время, затраченное на подъём и спуск Чебурашки на четвёртый этаж, равно 1 ед.). Для случая, когда Гена поднимется на 16 этаж, Чебурашка успеет 3 раза добежать до четвёртого этажа и вернуться обратно. Аналогично построим график для второго случая, когда Гена поднимается на шестой этаж и спускается обратно, а Чебурашка добегает до \(M\)-го этажа (\(M\) — номер искомого этажа), не забывая о том, что Чебурашка и Гена бегают с постоянными скоростями (рис. 6).

Получаем, что искомый этаж — 13-й.

Подсказка

Масса льда и воды не меняется, поэтому объём воды, получившейся из льда, связан с объёмом льда. Сравните понижение уровня воды с объёмом, который освободил растаявший лёд.

Ответ

1) \(V_\text{п} = Sh\dfrac{\rho_\text{в}}{\rho_\text{л}} - V\dfrac{\rho_\text{в} - \rho_\text{л}}{\rho_\text{л}}\);  2) \(T = \rho_\text{в} g S h\).

Решение

Допустим, что объём льда без учёта полости равен \(V_\text{л}\). По условию задачи \(V = V_\text{л} + V_\text{п}\).

Поскольку масса вещества не изменяется: \[V_\text{л} \rho_\text{л} = V_\text{в} \rho_\text{в},\] где \(V_\text{в}\) — объём воды, получившейся из расплавившегося льда.

После того, как весь лёд растаял, занимаемый им объём уменьшился на \[\Delta V = V_\text{л} - V_\text{в} = V_\text{л}\left(1 - \frac{\rho_\text{л}}{\rho_\text{в}}\right).\] Уровень понижения воды найдём из условия: \[S h = \Delta V + V_\text{п} = V_\text{л}\left(1 - \frac{\rho_\text{л}}{\rho_\text{в}}\right) + V_\text{п}.\] Выразим \(V_\text{п}\) и получим: \[V_\text{п} = Sh\left(\frac{\rho_\text{в}}{\rho_\text{л}}\right) - V\left(\frac{\rho_\text{в} - \rho_\text{л}}{\rho_\text{л}}\right).\]

Для определения натяжения нити воспользуемся вторым законом Ньютона: \[T = F_\text{А} - \rho_\text{л} V_\text{л} g.\] По закону Архимеда \(F_\text{А} = \rho_\text{в} V g\), объём льда \(V_\text{л} = V - V_\text{п}\), так что, подставляя найденный ранее объём \(V_\text{п}\) в формулу, получим: \[T = \rho_\text{в} g S h.\]

Подсказка

Через время \(\Delta t\) скорость камня стала горизонтальной. Найдите вертикальную составляющую начальной скорости и используйте то, что перемещение за \(\Delta t\) — это сумма проекций движения.

Ответ

\(S \approx 7{,}64\) м.

Решение

Проекция начальной скорости на горизонтальную ось: \(v_x = v_0 \cos 60^\circ = v_0/2\). Из курса геометрии известно, что катет, прилежащий к углу \(\varphi = 60^\circ\), вдвое меньше гипотенузы. Отсюда мы заключаем, что через время \(\Delta t\) скорость камня будет направлена горизонтально (рис. 7).

Проекция начальной скорости камня на вертикальную ось: \(v_y = v_0 \sin 60^\circ = g\Delta t = 10\) м/с. Воспользовавшись теоремой Пифагора, найдём: \[v_0 = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot g \Delta t.\] Проекция перемещения на горизонтальную ось: \[S_x = \frac{v_0}{2} \Delta t = \frac{g \Delta t^2}{\sqrt{3}}.\] Проекция перемещения на вертикальную ось: \[S_y = \frac{g \Delta t^2}{2}.\] Модуль перемещения: \[S = \sqrt{(S_x)^2 + (S_y)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{3}} \cdot g \Delta t^2 \approx 7{,}64 \text{ м}.\]

Подсказка

Разбейте каждое кольцо на две половины с одинаковым сопротивлением: тогда цепочка сведётся к последовательному соединению параллельных пар. Масса связывает длину проволоки с площадью её сечения.

Ответ

\(L \approx 31{,}8\) см.

Решение

При данных условиях место контакта можно считать точечным. Цепочку можно заменить эквивалентной схемой (рис. 8), где \(R_i\) — сопротивление половины \(i\)-го кольца.

Обозначим половину длины \(i\)-го кольца \(l_i\), а полную длину пошедшей на цепочку проволоки — \(l\). Полная длина проволоки — это сумма длин всех колец: \(l = 2(l_1 + l_2 + \ldots + l_N)\). Сопротивление \(i\)-го кольца можно найти по формуле \[r_i = \frac{R_i}{2} = \frac{\rho l_i}{2S},\] где \(S\) — площадь поперечного сечения проволоки. Масса цепочки \(m = dSl\). Сопротивление всей цепочки: \[R = (r_1 + r_2 + \ldots + r_N) = \frac{\rho}{2S}(l_1 + l_2 + \ldots + l_N) = \frac{\rho l}{4S}.\] Выражая \(S\) из формулы для массы цепочки, получаем: \[l^2 = \frac{4mR}{\rho d}.\] Длина цепочки \(L\) складывается из диаметров колец: \[L = \frac{2l_1}{\pi} + \frac{2l_2}{\pi} + \ldots + \frac{2l_N}{\pi} = \frac{l}{\pi} = \frac{2}{\pi}\sqrt{\frac{mR}{\rho d}} \approx 31{,}8 \text{ см}.\]

Подсказка

Для зеркал удобно пользоваться методом изображений: каждое зеркало даёт изображение источника, а изображение в угловой точке совпадает с изображением второго порядка.

Ответ

Да; площадь неосвещённой части стен \(S = 15\ \text{м}^2\).

Решение

Каждое из зеркал даёт по одному первичному изображению: \(S_1\) и \(S_2\). Эти изображения, в свою очередь, создают по одному вторичному изображению, которые совпадают. Обозначим это вторичное изображение как \(S_3\) (рис. 9).

Источник \(S_1\) освещает всю стену \(AC\) и часть стены \(CD\) длиной \(c\). Источник \(S_2\) освещает всю стену \(AB\) и часть стены \(BD\) длиной \(c\). Источник \(S_3\) освещает участок \(C_2D_1\) стены \(CD\). Соответственно, не будут освещёнными участки \(C_1C_2\), \(D_1D\) и \(DB_1\). Из подобия треугольников \(A_1S_3A_2\) и \(D_1S_3C_2\) найдём длину участка стены \(CD\), освещённого светом от мнимого источника \(S_3\): \[C_2D_1 = \frac{3}{2}(c + b).\] Таким образом, длина неосвещённого участка стен равна: \[x = (a + b) - 2c - C_2D_1 = a - \left(\frac{b + 7c}{2}\right) = 3{,}75 \text{ м}.\] Площадь неосвещённой части равна \(S = Hx = 15 \text{ м}^2\).