ВсОШ, 2011/12, заключительный этап, 10 класс, теоретический тур

Подсказка

Перейдите в систему отсчёта платформы и найдите ускорение тела относительно неё через геометрию нити: точка нити на выступе движется по окружности вокруг блока.

Ответ

\(F = m\left(\dfrac{v^2\tg^3\alpha + \mu g h}{h(\cos\alpha + \mu\sin\alpha)} - \dfrac{v^2}{h}\tg^3\alpha\right)\).

Решение

Будем решать задачу в системе отсчёта, связанной с платформой (рис. 22).

Здесь стенка удаляется от платформы с постоянной скоростью \(v\), а тело движется по платформе со скоростью \(v_a = v/\cos\alpha\), так как проекция скорости точки \(A\) на отрезок нити \(AO\) равна \(v\).

Определим ускорение, с которым движется тело по платформе. Относительно точки \(O\) точка \(A\) движется по окружности радиуса \(l = h/\sin\alpha\) со скоростью \(v'_A = v_A \cdot \sin\alpha = v \cdot \tg\alpha\). Центростремительное ускорение точки \(A\) направлено вдоль \(AO\) к точке \(O\) и равно \(a_n = v^2\tg^2\alpha/l\). Полное ускорение точки \(A\) направлено горизонтально и равно \[a = \frac{a_n}{\cos\alpha} = \frac{v^2\tg^2\alpha}{l\cos\alpha} = \frac{v^2}{h}\tg^3\alpha.\]

Теперь рассмотрим действующие на тело силы. В проекции на горизонтальную ось \[ma = T\cos\alpha - \mu N,\] на вертикальную \[N + T\sin\alpha - mg = 0.\] Отсюда \[N = mg - T\sin\alpha, \qquad T = \frac{m(a + \mu g)}{\cos\alpha + \mu\sin\alpha}, \qquad N = \frac{m(g\cos\alpha - a\sin\alpha)}{\cos\alpha + \mu\sin\alpha}.\] Отметим сразу, что движение по платформе без отрыва от неё возможно только при \(\alpha \leqslant \arctg(a/g)\).

Сила, которую необходимо прикладывать к платформе: \[F = \mu N + T(1 - \cos\alpha).\] Подставляя \(N\) и \(T\), получаем: \[F = m\left(\frac{a + \mu g}{\cos\alpha + \mu\sin\alpha} - a\right) = m\left(\frac{v^2\tg^3\alpha + \mu g h}{h(\cos\alpha + \mu\sin\alpha)} - \frac{v^2}{h}\tg^3\alpha\right).\]

Подсказка

Выделите малый участок ртути как вращающийся элемент и найдите разность давлений на его концах. Затем используйте постоянство температуры воздуха в трубке.

Ответ

\(\omega = \dfrac{n}{R}\sqrt{\dfrac{2p_0(n-1)}{\rho}}\).

Решение

Выделим небольшой участок ртути длиной \(\Delta l\), находящийся на расстоянии \(l\) от оси вращения (рис. 23). Масса этого участка \(\Delta m = \rho\,\Delta l\,S\), где \(S\) — площадь поперечного сечения трубки. Пусть \(p_1\) — давление ртути на правой границе участка, \(p_2\) — на левой, \(\Delta p = p_2 - p_1\). Рассматриваемый участок движется с центростремительным ускорением \(a = \omega^2 l\). По второму закону Ньютона: \[\Delta m\,\omega^2 l = (p_2 - p_1) S = \Delta p\, S, \qquad \text{откуда} \qquad \Delta p = \rho\omega^2 l\,\Delta l.\]

На рис. 24 представлен график зависимости \(\Delta p/\Delta l\) от расстояния до оси вращения \(l\). Изменение давления при перемещении от \(l = 0\) до \(l = r\) есть площадь треугольника под этим графиком: \[p(r) - p(0) = \frac{1}{2}\rho\omega^2 r^2.\]

Давление воздуха после раскручивания \(p = np_0\). Поскольку температура воздуха сохраняется, то \(pr = p_0R\), где \(r\) — новое расстояние от центра вращения до границы воздуха со ртутью. Подставив эти условия в уравнение, получим: \[(n - 1)p_0 = \frac{1}{2}\rho\omega^2\frac{R^2}{n^2}, \qquad \text{откуда} \qquad \omega = \frac{n}{R}\sqrt{\frac{2p_0(n - 1)}{\rho}}.\]

Подсказка

Запишите уравнение процесса \(p(V)\) и подставьте его в уравнение состояния. Тогда температура окажется квадратичной функцией объёма, и её монотонность определяется положением вершины параболы.

Ответ

Температура монотонна при \(V_1 < V_2 \leqslant \dfrac{5}{4}V_1\) (температура убывает) и при \(V_2 \geqslant \dfrac{3}{2}V_1\) (температура возрастает).

Решение

Уравнение линейного процесса: \[p = p_1 - (V - V_1)\beta,\] где \(\beta\) — модуль углового коэффициента наклона прямой. Из условия \(p(V_2) = 0{,}75\,p_1\) находим \[\beta = \frac{p_1}{4(V_2 - V_1)}.\] Поэтому \[p = p_1 - \frac{p_1}{4}\,\frac{V - V_1}{V_2 - V_1}.\] Из уравнения Менделеева — Клапейрона \[pV = \left(p_1 - \frac{p_1}{4}\,\frac{V - V_1}{V_2 - V_1}\right)V = RT\] видно, что температура зависит от объёма как \[T = k(4V_2 - 3V_1 - V)V,\] где коэффициент пропорциональности \(k = \dfrac{p_1}{4(V_2 - V_1)}\). Это парабола (рис. 25) с вершиной \(b = (4V_2 - 3V_1)/2\). По условию температура должна меняться монотонно. Возможны два случая: возрастание или убывание температуры в течение всего процесса.

Рассмотрим случай, когда температура возрастает. Это означает, что объёмы \(V_1\) и \(V_2\) принадлежат отрезку \([0; b]\): \[\frac{4V_2 - 3V_1}{2} \geqslant V_2 > V_1 \geqslant 0, \qquad V_2 \geqslant \frac{3V_1}{2}.\] При убывании температуры объёмы \(V_1\) и \(V_2\) принадлежат отрезку \([b; 2b]\): \[\frac{4V_2 - 3V_1}{2} \leqslant V_1 < V_2 \leqslant 4V_2 - 3V_1, \qquad V_1 < V_2 \leqslant \frac{5V_1}{4}.\]

Подсказка

Чтобы стороны оставались параллельными, проекции ускорений частиц на перпендикуляр к стороне должны совпадать. Запишите для этого закон Кулона и второй закон Ньютона для каждой пары частиц.

Ответ

\(m_1 : m_2 : m_3 = R_1^3 : R_2^3 : R_3^3\).

Решение

В любой момент времени отношение расстояний между частицами \(r_1 : r_2 : r_3\) остаётся равным отношению исходных расстояний \(R_1 : R_2 : R_3\), поскольку конфигурации частиц являются подобными треугольниками. По этой же причине углы \(\alpha_1\), \(\alpha_2\), \(\alpha_3\) при вершинах \(m_1\), \(m_2\), \(m_3\) остаются неизменными (рис. 26).

Рассмотрим две сходственные стороны треугольников, например \(R_3\) и \(r_3\). Проведём к ним перпендикуляр \(ON\). Стороны параллельны, если проекции скоростей и ускорений частиц \(m_1\) и \(m_2\) на \(ON\) равны, это обусловлено тем, что частицы с массами \(m_1\) и \(m_2\) взаимодействуют лишь с зарядом частицы массой \(m_3\). Исходя из закона Кулона и второго закона Ньютона, можно получить выражения для ускорений и их проекций: \[a_{1\perp} = \frac{kq^2 \sin\alpha_1}{m_1 r_2^2} = a_{2\perp} = \frac{kq^2 \sin\alpha_2}{m_2 r_1^2}.\] Высота \(h\) треугольника, опущенная на сторону \(r_3\), равна \(h = r_2\sin\alpha_1 = r_1\sin\alpha_2\). Поэтому из предшествующего равенства следует \[\frac{1}{m_1 r_2^3} = \frac{1}{m_2 r_1^3},\] откуда \(m_1 : m_2 = r_1^3 : r_2^3\).

Аналогичным образом найдём отношение масс \(m_2 : m_3 = r_2^3 : r_3^3\). Следовательно, \(m_1 : m_2 : m_3 = r_1^3 : r_2^3 : r_3^3\). В начальный момент \(r_i = R_i\), поэтому \(m_1 : m_2 : m_3 = R_1^3 : R_2^3 : R_3^3\).

Подсказка

Выразите токи и напряжения на нелинейном элементе через напряжение источника \(U\) и показание амперметра \(I\). Если на отдельном участке эти связи линейны, для построения достаточно двух точек.

Ответ

\(I_\text{э} = 2U_\text{э}\) А при \(0 \leqslant U_\text{э} \leqslant 2\) В; \(I_\text{э} = 4\) А при \(2 \leqslant U_\text{э} \leqslant 6\) В.

Решение

Определим силу тока и напряжение на элементе при силе тока \(I\) через амперметр и напряжении \(U_{AB} = U\) на входе цепи. Пусть \(U_{DB} = U_3\), \(U_{CB} = U_1\), \(U_{AD} = U_2 = U - U_3\), \(U_{CD} = IR\) (рис. 27).

Тогда для суммы токов в узле \(D\): \(I + I_2 - I_3 = 0\), откуда \[\frac{U - U_3}{R} + I = \frac{U_3}{R}, \qquad U_3 = \frac{U + IR}{2}.\] Сила тока через элемент с учётом этого: \[I_\text{э} = I + I_1 = I + \frac{U_1}{R} = I + \frac{IR + U_3}{R} = \frac{5}{2}I + \frac{U}{2R}.\] Напряжение на элементе: \[U_\text{э} = U - IR - U_3 = \frac{U - 3IR}{2}.\] Рассмотрим участок зависимости \(I(U)\) в диапазоне напряжений от \(U = 0\) В до \(U = 5{,}5\) В. Так как на этом участке сила тока нелинейного элемента линейно зависит от напряжения и связи выше линейны, то график \(I_\text{э}(U_\text{э})\) — прямая. Для её построения достаточно двух точек: \(U = 0\) В, \(I_\text{э} = 0\) А, \(U_\text{э} = 0\) В; и \(U = 5{,}5\) В, \(I_\text{э} = 4\) А, \(U_\text{э} = 2\) В. Аналогично для участка от \(U = 5{,}5\) В до \(U = 10{,}5\) В. Сила тока не зависит от напряжения вплоть до \(U_\text{э} = 6\) В. Окончательно зависимость \(I_\text{э}(U_\text{э})\) выглядит так (рис. 28):