ВсОШ, 2011/12, заключительный этап, 9 класс, экспериментальный тур

Подсказка

Сначала проверьте, какие пары выводов дают свечение при разных положениях переключателя, помня, что светодиод пропускает ток только в одном направлении. Затем найдите, как соединены выводы между собой.

Решение

1. Поскольку в «чёрном ящике» находятся батарейки, начнём анализ цепи без подключения внешнего источника.

а) Замыкаем между собой выводы «К» и «Б». В положении (1) переключателя загорается светодиод А. В других положениях переключателя светодиоды не горят. Возможный фрагмент схемы приведён на рис. 5.

б) Замыкаем между собой выводы «Б» и «С». В положении (2) переключателя загорается светодиод Б. В других положениях переключателя светодиоды не горят. Возможный фрагмент схемы приведён на рис. 6.

в) Проверяем, соединены ли точки «X» и «Y». Для этого подключаем положительный вывод батарейки к выводу «С», а отрицательный — к «К». Загораются оба светодиода. Следовательно, выводы «X» и «Y» замкнуты накоротко.

г) Для проверки замкнём накоротко выводы «К» и «С». При всех положениях ключа светодиоды не горят. Отсюда получаем схему «чёрного ящика» (рис. 7).

2. Для снятия вольт-амперной характеристики соберём схему (рис. 8). Сила тока \(I\) через диод равна силе тока \(I_A\) через амперметр. Напряжение на диоде вычисляем по формуле \[U = \frac{U_V}{2} - I_A R,\] где \(U_V\) — напряжение на вольтметре. Для увеличения точности проводим измерения три раза и строим график \(I(U)\). Пример ВАХ светодиода приведён на рис. 9.

Подсказка

При равномерном движении шарика сумма сил равна нулю: учтите силу тяжести и архимедову силу. Затем проверьте, какая из зависимостей даёт прямую, проходящую через ноль.

Ответ

1) лучше описывает первая формула, \(F_c = A\eta d v\) (прямая, проходящая через ноль, получается только на графике \(t^{-1}(d^2)\));  2) \(\rho_0 = \dfrac{\rho - \rho_{\text{ж}}}{\alpha\,t_{\text{ср}}\,d_0^2} + \rho_{\text{ж}}\).

Решение

1. При установившемся падении шарика в жидкости сила сопротивления уравновешивается силой тяжести и архимедовой силой: \[mg = F_c + F_A, \qquad m = \frac{\pi d^3}{6}.\] Если сила сопротивления задаётся формулой \(F_c = A\eta d v\), то \[\frac{\pi(\rho - \rho_{\text{ж}})g d^3}{6} = A\eta d v,\] отсюда \[v = (\rho - \rho_{\text{ж}})K_1 d^2, \qquad K_1 = \frac{\pi g}{6A\eta},\] где \(K_1\) — некоторая константа, зависящая только от свойств жидкости.

Аналогично для случая \(F_c = B\rho_{\text{ж}} d^2 v^2\): \[\frac{\pi(\rho - \rho_{\text{ж}})g d^3}{6} = B\rho_{\text{ж}} d^2 v^2, \qquad v^2 = K_2(\rho - \rho_{\text{ж}})d, \qquad K_2 = \frac{\pi g}{6B\rho_{\text{ж}}}.\]

Чтобы выведенные соотношения выполнялись, нужно убедиться, что установилось равномерное движение. Для этого зафиксируем резинками два одинаковых расстояния и сравним время прохождения шарика.

Измеряем время \(t\) движения шарика с постоянной скоростью. При этом шарик проходит расстояние \(x\), которое зафиксируем при помощи резинок. Тогда скорость движения шарика \(v = x/t\).

Построим на графиках зависимости \(t^{-1}(d^2)\) и \(t^{-2}(d)\). Для шариков каждого диаметра проведём не менее трёх измерений. Прямую линию, проходящую через ноль, получаем только на первом графике, это означает, что верна формула \(F_c = A\eta d v\).

2. Проведём несколько измерений для шариков из неизвестного материала и получим среднее значение \(t_{\text{ср}}\). Значение \(\alpha = \dfrac{(\rho - \rho_{\text{ж}})K_1}{x}\) определим как угловой коэффициент наклона прямой на графике \(t^{-1}(d^2)\) для свинцовых шариков. Получим \[\frac{1}{t_{\text{ср}}} = \frac{(\rho_0 - \rho_{\text{ж}})K_1 d_0^2}{x},\] откуда \[\rho_0 = \frac{\rho - \rho_{\text{ж}}}{\alpha\,t_{\text{ср}}\,d_0^2} + \rho_{\text{ж}}.\]