зад 1 Шестиугольник в сером ящике
Определите значения сопротивлений каждого из резисторов, содержащихся в «сером» ящике. Поясните ход ваших измерений, приведите электрические схемы этих измерений и расчётные формулы. Результаты измерений занесите в таблицу.
Внимание! Вскрывать серые ящики запрещается.
Оборудование. Мультиметр, «серый» ящик с электрической цепью из резисторов, соединённых в многоугольник с шестью углами (рис. 2). От каждого из углов наружу из ящика сделан вывод тонким проводом (выводы пронумерованы).
▶ПодсказкаСкрыть
Соедините выводы попарно (например, 1 и 4): в схеме останется треугольник из трёх резисторов, и его сопротивления выражаются через три измеренных величины.
▶РешениеСкрыть
Измерив омметром сопротивления между соседними выводами (\(R_{12}\) между выводами 1–2, …, \(R_{61}\) между выводами 6–1), можно заметить, что \(R_{12} \ll R_{23}, \dots, R_{61}\), значит, можно пренебречь влиянием остальной схемы и считать, что \(R_{12} = R_2 = 0\) (с точностью в несколько Ом).
Зная сопротивления \(R_{12}, \dots, R_{61}\), можно рассчитать все искомые сопротивления \(R_1, \dots, R_6\), однако для этого придётся численно решать систему из шести уравнений. Рациональнее упростить схему, соединив некоторые выводы между собой. Например, можно действовать таким образом:
Соединим выводы 1 и 4 и будем исследовать треугольник из резисторов \(R_1\), \(R_5\), \(R_6\).
Соединим выводы 1 и 6 (рис. 5) и измерим сопротивление между выводами 5 и 6 \(r_a = \left(R_6^{-1} + R_5^{-1}\right)^{-1}\).
Аналогично измерим сопротивление \(r_b = \left(R_5^{-1} + R_1^{-1}\right)^{-1}\) (рис. 6) и сопротивление \(r_c = \left(R_1^{-1} + R_6^{-1}\right)^{-1}\) (рис. 7).
Выразим неизвестные значения \(R_1\), \(R_5\) и \(R_6\) через известные \(r_a\), \(r_b\) и \(r_c\): \[R_6^{-1} + R_5^{-1} = r_a^{-1} = a, \quad R_5^{-1} + R_1^{-1} = r_b^{-1} = b, \quad R_1^{-1} + R_6^{-1} = r_c^{-1} = c;\] откуда \[R_1 = \dfrac{2}{b + c - a}, \quad R_5 = \dfrac{2}{a + b - c}, \quad R_6 = \dfrac{2}{c + a - b}.\] Осталось найти сопротивления \(R_3\) и \(R_4\), что можно легко сделать, соединив каждое из них параллельно с резистором известного ненулевого сопротивления. Полученные значения сопротивлений находятся в следующем отношении: \[R_1 : R_2 : R_3 : R_4 : R_5 : R_6 = 1 : 0 : 1 : 2 : 1 : 2.\] Приведённое решение является лишь одним из многих возможных.
зад 2 Воздухоплавание
Надуйте воздушный шарик так, чтобы его «периметр» \(P\) стал примерно равен указанному организаторами. Отпустите шарик без начальной скорости с высоты \(H \approx 2\) м (\(H\) — расстояние от зажима шарика до пола). Измерьте время падения и «периметр» \(P\) шарика. «Периметр» \(P\) шарика измеряйте лентой вдоль границ максимального сечения, перпендикулярного направлению движения шарика при его падении. Повторите опыт не менее трёх раз. Результаты усредните и занесите в таблицу 1. Проделайте аналогичные опыты для разных \(P\) (не менее 10 значений).
Время падения шарика зависит от «периметра»: \(t \sim P^{\alpha}\), где \(\alpha\) может принимать одно из двух значений: 1; 2. Найдите \(\alpha\). Для этого постройте 2 графика зависимости времени падения \(t\) шарика от его «периметра» \(P\): \(t(P)\), \(t(P^2)\). Выбор \(\alpha\) делайте, анализируя графики.
Оборудование. Резиновый воздушный шарик, три канцелярские скрепки, измерительная лента длиной 1 м, нить длиной \(2{,}5\) м, секундомер, миллиметровая бумага для построения графиков.
▶ПодсказкаСкрыть
Для степенной зависимости \(t \sim P^{\alpha}\) прологарифмируйте обе величины: \(\lg t = \alpha \lg P + \text{const}\). Какой из графиков после спрямления пересекает ось времени в окрестности \(t_0 = \sqrt{2H/g}\)?
▶РешениеСкрыть
Привязываем к одному концу нити скрепку и от неё отмеряем вдоль нити 2 м. К другому концу нити привязываем скрепку. Мы получили эталон длины. Надуваем шарик до \(P_{\max}\). Проводим точное измерение периметра. Проводим три броска, измеряя соответствующее время падения. Бросаем без начальной скорости. Результаты усредняем и заносим в таблицу.
Немного сдуваем шарик и повторяем эксперимент три раза. Вновь усредняем полученные значения и заносим их в таблицу. Проводим ещё восемь серий измерений при разных значениях \(P\).
Строим два графика: \(t(P)\) и \(t(P^2)\). Результаты наших измерений:
Примечание 1. При построении графика в логарифмическом масштабе \(\alpha = 1{,}3\), то есть ближе к 1, чем к 2, но результат может зависеть от формы шарика. Мы рекомендуем провести самостоятельные измерения.
Примечание 2. Спрямлённые графики должны пересекать ось времени в окрестности точки \(t_0 = \sqrt{2H/g} \approx 0{,}6\) с. При отклонении от этой точки больше, чем на 30 %, оценка уменьшается вдвое.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2012/13, региональный этап, 10 класс, экспериментальный тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.