ВсОШ, 2012/13, региональный этап, 10 класс, теоретический тур

Подсказка

Изменение уровня воды определяется объёмом воды, вытесненной погружённой частью цилиндра и «шайбой» воды между его стенками и стаканом. Постройте зависимость \(V_{\text{в}}(V_{\text{н}})\) и используйте её линейный участок.

Ответ

а) \(\rho \approx 400\) кг/м\(^3\);  б) \(D/d \approx 1{,}58\);  в) \(V_0 = 100\) мл.

Решение

Пусть \(h_0\) — начальный уровень воды в стакане (в единицах длины), \(h_{\text{н}}\) — уровень нижнего торца цилиндра, \(h_{\text{в}}\) — уровень воды в стакане (все уровни отсчитываются от дна стакана) (рис. 14). Объём воды, вытесненной цилиндром из области ниже \(h_0\), образовал водяную «шайбу» толщиной \((h_{\text{в}} - h_0)\) с внешним сечением \(S_1\) и внутренним сечением \(S_2\): \[(h_0 - h_{\text{н}}) S_2 = (h_{\text{в}} - h_0)(S_1 - S_2).\] Учитывая, что высоты \(h_{\text{н}}\), \(h_0\), \(h_{\text{в}}\) связаны со значениями объёмов, отсчитываемыми по шкале мерного стакана \(V_{\text{н}}\), \(V_0\), \(V_{\text{в}}\) соотношениями \(V_{\text{н}} = S_1 h_{\text{н}}\), \(V_0 = S_1 h_0\), \(V_{\text{в}} = S_1 h_{\text{в}}\), получаем из предыдущего соотношения зависимость \(V_{\text{в}}(V_{\text{н}})\) в виде: \[V_{\text{в}} = \dfrac{S_1}{S_1 - S_2} V_0 - \dfrac{S_2}{S_1 - S_2} V_{\text{н}}.\] График этой зависимости, построенный по данным эксперимента, представлен на рис. 15.

Из графика видно, что при \(V_{\text{в}} = 150\) мл уровень воды перестаёт изменяться. При этом уровне цилиндр полностью погрузился в воду. Этот момент наступил при \(V_{\text{н}} = 25\) мл, то есть высоте цилиндра соответствует \(L = 150 - 25 = 125\) ед. шкалы стакана. Из условия задачи следует, что в начальном состоянии, при свободном плавании цилиндра, высоте его погружённой в воду части \(L_0\) соответствует \(V_{0\text{в}} - V_{0\text{н}} = 120 - 70 = 50\) ед. шкалы стакана. Отсюда находим плотность дерева: \[\rho_{\text{д}} = \rho_{\text{в}} \dfrac{L_0}{L} = 400~\text{кг/м}^3.\] Из (4) следует, что угловой коэффициент наклона зависимости \(V_{\text{в}}(V_{\text{н}})\) равен: \[\dfrac{\Delta V_{\text{в}}}{\Delta V_{\text{н}}} = -\dfrac{S_2}{S_1 - S_2} = -\dfrac{1}{\frac{S_1}{S_2} - 1} = -\dfrac{2}{3}.\] Численное значение взято из графика. Следовательно, \(\dfrac{S_1}{S_2} = 2{,}5\) и \(\dfrac{D}{d} = \sqrt{\dfrac{S_1}{S_2}} \approx 1{,}58\).

Объём воды в стакане найдём из графика. Уровень \(V_0\) установится в тот момент, когда стержень будет полностью вынут из воды. Из (4) видно, что при \(V_{\text{н}} = V_0\) также \(V_{\text{в}}\) становится равным \(V_0\). Пунктирный график функции \(V_{\text{в}} = V_{\text{н}}\) пересекает график зависимости в точке \(V_0 = 100\) мл.

Подсказка

Показания весов складываются из двух частей: веса уже лежащей на чаше части цепочки и силы, передаваемой чаше при остановке падающих звеньев. Рассмотрите каждую часть отдельно.

Ответ

\(m = 100\) г;  \(L = 1{,}2\) м;  \(t_1 = 0{,}49\) с.

Решение

Заметим, что показания весов пропорциональны силе, с которой цепочка действует на чашу. По третьему закону Ньютона такая же сила действует со стороны чаши на цепочку. Выведем зависимость силы реакции опоры от времени. Эта сила включает в себя две составляющие: динамическую (от тормозящих до полной остановки фрагментов цепочки) и статическую (от той части цепочки, которая уже лежит неподвижно на чаше весов). Зависимость скорости от времени \(v = gt\), выпавшей длины от времени \(h = \dfrac{gt^2}{2}\).

Статическая часть силы реакции \[F_{\text{ст}} = \dfrac{m\,gt^2}{L\,2}\,g = \dfrac{mg^2t^2}{2L}.\] Для нахождения динамической составляющей рассмотрим изменение импульса малого фрагмента цепочки \(\Delta m\), скорость которого уменьшается до нуля. Для него второй закон Ньютона в импульсной форме имеет вид: \[(v - 0)\Delta m = F_{\text{дин}} \Delta t,\] где \(\Delta m = m\dfrac{v\Delta t}{L}\), откуда динамическая сила \(F_{\text{дин}}\) равна: \[F_{\text{дин}} = \dfrac{mv^2}{L} = \dfrac{mg^2t^2}{L}.\] Полная сила \[F = F_{\text{ст}} + F_{\text{дин}} = \dfrac{3mg^2t^2}{2L}\] является монотонно возрастающей функцией времени \(t\). Заметим, что время падения цепочки \(t_1 = \sqrt{\dfrac{2L}{g}}\). К моменту времени \(t_1\) сила реакции достигает максимального значения \(F_{\max} = 3mg\). После прекращения падения на чашу весов будет действовать только статическая сила, и весы покажут вес покоящейся цепочки, равный по модулю \(mg\).

Из таблицы видно, что в третьем измерении вес цепочки уменьшился, это означает, что падение к этому моменту прекратилось и масса цепочки 100 г. Во втором и первом измерении на чашу упала не вся цепочка (показания весов меньше 300 г). Следовательно, падение длилось дольше 0,4 с, но не более 0,6 с. Сила реакции при втором измерении (можно и по первому измерению) равна удвоенной силе тяжести \[2mg = \dfrac{3mg^2t_2^2}{2L},\] откуда \[L = \dfrac{3}{4} g t_2^2 = 1{,}2~\text{м}, \quad t_1 = \sqrt{\dfrac{2L}{g}} = 0{,}49~\text{с}.\]

Подсказка

Температура постоянна, поэтому для воздуха в шарике выполняется закон Бойля–Мариотта. Тонуть шарик начнёт тогда, когда средняя плотность шарика станет равна плотности воды.

Ответ

\(h \approx 2793\) м \(\approx 2800\) м.

Решение

Начальный объём шарика \[V_0 = \dfrac{4}{3}\pi r^3 = 7{,}238~\text{л} \approx 7{,}24~\text{л}.\] Масса воздуха в шарике \[m = \dfrac{p_0 V_0 \mu}{RT} = 10{,}94~\text{г}.\] Полная масса шарика \[M = M_{\text{об}} + m = 30{,}94~\text{г} \approx 31~\text{г}.\] На критической глубине \(h\) сила Архимеда равна силе тяжести: \(Mg = \rho g V\), давление \(p = p_{\text{атм}} + \rho g h\). Температура постоянная, поэтому выполняется равенство: \[p_0 V_0 = (p_{\text{атм}} + \rho g h) V = (p_{\text{атм}} + \rho g h)\dfrac{M}{\rho} = Mgh + p_{\text{атм}}\dfrac{M}{\rho}.\] Выражаем \(h\): \[h = \dfrac{p_0 V_0}{gM} - \dfrac{p_{\text{атм}}}{\rho g} = 2793~\text{м} \approx 2800~\text{м}.\]

Ответ

\(t_2 = 83\,^\circ\)C;  \(N = 4{,}46\) кВт.

Решение

При стационарном течении количество вещества \(\nu\), ежесекундно поступающего на вход, равно числу ежесекундно выходящего. Из уравнения состояния идеального газа имеем: \[\nu = \dfrac{p_1 \pi D_1^2 v}{4 R T_1} = \dfrac{p_2 \pi D_2^2 v}{4 R T_2}.\] Отсюда \[T_2 = T_1 \dfrac{p_2 D_2^2}{p_1 D_1^2} = 356~\text{К}, \quad t_2 = 83\,^\circ\text{C}.\] Работа тепловой пушки идёт на увеличение внутренней энергии на \(\Delta U = \dfrac{5}{2}R(T_2 - T_1)\) и на работу \(A = R(T_2 - T_1)\) во входном и выходном сечении воздуховода (в расчёте на один моль). Кинетическая энергия воздуха остаётся неизменной. Поэтому мощность \[N = \dfrac{7}{2}\nu R(T_2 - T_1) = \dfrac{7\pi v}{2 \cdot 4}\left(p_2 D_2^2 - p_1 D_1^2\right) = 4{,}46~\text{кВт}.\]

Подсказка

Так как сопротивления амперметров малы, сначала считайте их идеальными проводниками и найдите общее сопротивление цепи; затем распределите токи по ветвям и разберите узлы \(A\), \(B\), \(C\).

Ответ

\(A_1\): \(0{,}1\) мА;  \(A_2\): \(0{,}3\) мА;  \(A_3\): \(0{,}2\) мА (по модулю).

Решение

Сопротивление \(r \ll R\), поэтому рассмотрим амперметры как идеальные проводники. Тогда общее сопротивление цепи (рис. 16) равно

\[R_{\text{общ}} = \dfrac{R_3}{3} + \left(\dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} + \dfrac{1}{R_4}\right)^{-1} = \dfrac{11}{7}~\text{кОм}.\] Сила общего тока \(I = \dfrac{U}{R_{\text{общ}}} = 2{,}1\) мА.

Силы токов \(I_1\), \(I_2\), \(I_3\) одинаковы, так как резисторы одинаковы и соединены параллельно: \[I_1 = I_2 = I_3 = \dfrac{I}{3} = 0{,}7~\text{мА}.\] Из закона Ома при постоянном \(U\) следует, что \(I \sim \dfrac{1}{R}\). Сила тока \(I_6\), текущего через \(R_4\), минимальна. Тогда: \[I_5 = 2I_6, \quad I_4 = 4I_6.\] Сила тока, текущего через батарейку: \[I = I_4 + I_5 + I_6 = 7I_6,\] откуда \[I_6 = \dfrac{1}{7}I = 0{,}3~\text{мА}, \quad I_5 = \dfrac{2}{7}I = 0{,}6~\text{мА}, \quad I_4 = \dfrac{4}{7}I = 1{,}2~\text{мА}.\] Для токов в контуре \(ABC\), состоящем из амперметров, верно равенство: \[i_{AB} + i_{BC} + i_{CA} = 0.\] Сумма токов в узле \(B\) равна нулю (закон сохранения заряда): \[i_{AB} + I_2 = i_{BC} + I_5.\] Аналогично для узла \(C\): \[i_{BC} + I_3 = i_{CA} + I_6.\] Из этих уравнений находим токи через амперметры: \[i_{AB} = -\dfrac{1}{7}I = -0{,}3~\text{мА}, \quad i_{BC} = \dfrac{1}{21}I = 0{,}1~\text{мА}, \quad i_{CA} = \dfrac{2}{21}I = 0{,}2~\text{мА}.\]