зад 1 Формула Эйлера
Используя предложенное оборудование, определите для разных углов \(\varphi\) отношение натяжения нити \(T\) справа от скрепки к натяжению \(T_0\) слева от неё (рис. 3). Обозначьте это отношение символом \(y\) (\(y = T/T_0\)). Проведите серию измерений и постройте график зависимости \(y(\varphi)\), выразив \(\varphi\) в радианах. Подумайте, в каких координатах график будет наиболее удобен для определения коэффициента трения \(\mu\) между нитью и скрепкой. Найдите \(\mu\). Оцените погрешность измерения.
Теоретическая подсказка: при «охвате» скрепки (круглой проволоки) нитью на угол \(\varphi\) силы натяжения нити по разные стороны скрепки отличаются в \(e^{\mu\varphi}\) раз (формула Эйлера), где \(\mu\) — коэффициент трения.
Экспериментальная подсказка: К краю стола прикрепите лист формата А3 так, чтобы он принял вертикальное положение. Груз можно привязать к скрепке с помощью другой нити. На краю стола вблизи углов листа прикрепите скотчем выступающие за край стола большие скрепки (или толстые куски проволоки или трубки, например, для коктейлей). На них крепится нить такой длины, чтобы скрепка, висящая на ней, оставалась «в пределах листа». Нить впоследствии можно укорачивать, наматывая её на скрепки (трубочки/проволочки). Для данной длины нити существует два устойчивых положения подвижной скрепки (слева и справа). Измерения для этих положений можно усреднить. Возможны и другие способы проведения эксперимента. Например, можно прикрепить нить к одной скрепке, а положение другого конца нити регулировать рукой.
Оборудование. Нить длиной \(1{,}5\)–\(2\) м, одна маленькая скрепка, две большие скрепки или толстые куски проволоки или трубки, например, для коктейлей, шоколадка «Алёнка» массой \(15\) г (грузик), скотч и ножницы (по требованию), транспортир с делениями в 1°, лист А3, миллиметровая бумага для построения графиков.
▶ПодсказкаСкрыть
Удобнее всего логарифмировать \(y\): тогда \(\ln y\) будет линейной функцией \(\varphi\), а наклон прямой даёт \(\mu\).
▶ОтветСкрыть
\(\mu = 0{,}22 \pm 0{,}01\).
▶РешениеСкрыть
Из условия равновесия (равенства проекций сил на горизонтальную ось \(x\)) получим: \[T_1 \cos\alpha_1 = T_2 \cos\alpha_2.\] И, используя формулу Эйлера \(T_1 = T_2 e^{\mu\theta}\), объединив эти формулы, получим связь коэффициента трения и углов (\(\theta\) в решении — угол охвата \(\varphi\)): \[\mu = \ln\dfrac{\cos\alpha_1}{\cos\alpha_2} \cdot \theta^{-1}.\]
Экспериментальные данные:
Получившееся значение \(\mu = 0{,}22 \pm 0{,}01\).
Выполним контрольный эксперимент: натянем нить так, чтобы она под весом скрепки с грузом практически не провисала. Тогда \(\mu \approx \tan\alpha\).
зад 2 Частично упругий удар
Изучите столкновение монет, одна из которых до удара покоилась (мишень). Предложите способ, в результате которого монете-ядру каждый раз сообщается примерно одинаковая кинетическая энергия. Опишите его. В последующем, этим способом запускайте монету-ядро.
1. Найдите долю энергии, которая теряется при центральном ударе (удар частично упругий). Для этого выведите теоретическую формулу для \(\Delta E/E_0\), где \(E_0\) — энергия налетающей монеты, \(\Delta E\) — потеря энергии при ударе.
Примечание: удар монет называется центральным, если после него монеты движутся вдоль прямой, по которой двигалась монета-ядро.
Занесите ваши экспериментальные данные в таблицу 1 (должно быть исследовано не менее 10 столкновений).
2. Найдите отношение кинетических энергий монет после нецентрального удара. Заполните таблицу 2.
Здесь \(E_1\) и \(E_2\) — кинетические энергии монеты-ядра и монеты-мишени в относительных единицах, \(F = \dfrac{E_1 \sin^2\varphi_1}{E_2 \sin^2\varphi_2}\).
3. Найдите угол \(\beta\) «разлёта» монет при условии, что после удара им достаются примерно одинаковые доли первоначальной кинетической энергии (рис. 4). Проведите не менее 10 измерений. Запишите полученные значения углов \(\beta\). Результат усредните.
Оборудование. Две одинаковые монеты (желательно большого диаметра, например, 50 копеек), лист бумаги А3, скотч и ножницы (по требованию), деревянная линейка 30–40 см, транспортир, кусок ткани (ловушка для монет).
Линейка выполняет две функции: она используется для «щелчков» по монете, лежащей на краю стола и немного выступающей за край стола, и для измерений расстояний.
▶ПодсказкаСкрыть
Чтобы монета-ядро получала каждый раз одну и ту же энергию, удобно отпускать линейку каждый раз из одного и того же положения с одним и тем же отклонением.
▶ОтветСкрыть
1) \(\dfrac{\Delta E}{E_0} = \dfrac{2k}{1 + 2k + k^2}\), где \(k = \sqrt{L_1/L_2}\) (здесь \(L_1\), \(L_2\) — длины тормозных путей монет); среднее значение \(L_1/L_2 = 32{,}0 \cdot 10^{-3}\).
▶РешениеСкрыть
1. Закон сохранения энергии: \[\dfrac{m v_0^2}{2} = \dfrac{m v_1^2}{2} + \dfrac{m v_2^2}{2} + \Delta E,\] где \(v_0\) — скорость налетающей монеты, \(v_1\) — её скорость после столкновения, \(v_2\) — скорость монеты-мишени. Закон сохранения импульса: \(m v_0 = m v_1 + m v_2\). Их совместное решение даёт: \[\Delta E = m v_1 v_2.\] Введём обозначение: \[k = \dfrac{v_1}{v_2} = \sqrt{\dfrac{E_1}{E_2}}.\] Из этих соотношений находим: \[\dfrac{\Delta E}{E_0} = \dfrac{2k}{1 + 2k + k^2}.\] После соударения монет их кинетические энергии будут уменьшаться за счёт сил трения. В результате \(E_1 = \mu m g L_1\), где \(\mu\) — коэффициент трения, \(L_1\) — длина тормозного пути первой монеты. Аналогичное выражение справедливо и для второй монеты. Отсюда \(k = \sqrt{L_1/L_2}\).
Экспериментальные данные:
Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2012/13, региональный этап, 11 класс, экспериментальный тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.