ВсОШ, 2012/13, региональный этап, 9 класс, экспериментальный тур

Подсказка

Сопротивление между любыми двумя выводами равно сумме сопротивлений двух соответствующих резисторов. Сколько независимых измерений нужно, чтобы составить разрешимую систему?

Ответ

\(R_1 = 0\) Ом, \(R_2 = R_3 = 500\) Ом, \(R_4 = R_6 = 1000\) Ом, \(R_5 = 1500\) Ом.

Решение

Перебираем попарно все возможные выводы омметром (достаточно шести различных комбинаций). Так как количество независимых уравнений не меньше количества неизвестных, а система линейна, она разрешима. Сопротивление между выводами \(i\) и \(j\) равно \(R_i + R_j\). Система разбивается на две независимые подсистемы по три уравнения: выводы 1, 2, 3 и выводы 4, 5, 6. Для первой подсистемы измерены \[R_{12} = 500~\text{Ом}, \qquad R_{13} = 500~\text{Ом}, \qquad R_{23} = 1000~\text{Ом}.\] Отсюда \(R_1 = 0\), \(R_2 = R_3 = 500\) Ом. Аналогично, для второй подсистемы \(R_4 = R_6 = 1000\) Ом, \(R_5 = 1500\) Ом.

Второе решение: измерив сопротивления между выводами 1 и 2, 2 и 3, 1 и 3 и вывода 1 с остальными, можно получить те же значения. Измерение \(R_{23} = 2R_2\) (при \(R_2 = R_3\)) и соотношение \(R_{12} + R_{13} = R_{23}\) дают \(R_1 = 0\), после чего остальные резисторы находятся измерениями относительно вывода 1.

Подсказка

Период муаровых полос связан с периодами решёток: сколько полос одной решётки укладывается между соседними совпадениями? Для угла повернувшихся полос подумайте, как связаны угловой коэффициент и геометрия решёток.

Ответ

а) \(\lambda/d_1 \approx 20{,}5\); б) \(d_2/d_1 \approx 1{,}05\); в) \(\Delta d/d_1 \approx 0{,}05\); г) \(C = 14\) рад\(^{-1}\); д) \(\operatorname{tg}\varphi = \dfrac{\lambda a}{d}\).

Решение

Периоды решёток по измерениям: \(d_1 \approx 1{,}94\) мм и \(d_2 \approx 2{,}04\) мм, разница \(0{,}1\) мм.

1. Для определения \(\lambda/d_1\) достаточно посчитать количество маленьких белых полос (или чёрных) от одного минимума яркости до другого. Если посчитать это число для трёх–четырёх больших максимумов, можно получить довольно точное значение \(\lambda/d_1 \approx 20{,}5\).

2. Период интенсивности сетки Муара вычисляется по формуле \[\lambda = d_1\,\frac{d_2}{\Delta d},\] которая может быть получена из соображения, что каждый раз толстая полоса наслаивается на \(\Delta d\) на следующую маленькую полосу. Таким образом, минимум яркости будет тогда, когда большая полоса закроет маленькую точно также, то есть через \(d_1/\Delta d\) толстых полос. Ширина толстой полосы, в свою очередь, \(d_2\), откуда и получаем формулу для периода. Считая \(\Delta d = d_2 - d_1\), получим \[\frac{d_2}{d_1} = \frac{1}{1 - \dfrac{d_1}{\lambda}} \approx \left(1 + \frac{d_1}{\lambda}\right).\] Отношение это, однако, может быть получено путём простого совмещения тонких и толстых полос и подсчётом их количества на одну и ту же единицу длины. Реальное значение \(d_2/d_1 \approx 1{,}05\).

3. Чтобы найти \(\Delta d\), можно воспользоваться формулами \[\frac{\Delta d}{d_1} = \frac{d_2}{d_1} - 1 \quad\text{и}\quad \frac{d_2}{d_1} = \frac{\lambda}{\lambda - d_1},\] откуда \[\frac{\Delta d}{d_1} = \frac{\lambda}{\lambda - d_1} - 1 = \frac{d_1}{\lambda - d_1}.\] Численное значение \(\Delta d/d_1 \approx 0{,}05\).

4. Выстроим листы ровно, так чтобы сетка Муара была перпендикулярна длинам листов. Сдвинем их вдоль так, чтобы край полосы (или центр) приходился на нашу точку, которую мы проткнем булавкой. Таким образом, при повороте, сдвигая транспортир ЗА приклеенный лист, с одной стороны, можно померить малый угол \(\alpha\) по границе листа, а с другой — большой угол \(\varphi\) по границе (или центру) выбранной полосы. Отметим, что на самом деле, так как лист с мультифорой двигался — а значит, двигался и транспортир, то угол, который мы получаем при прямых измерениях, — \(\varphi - \alpha\). Снимаем данные и строим график, значение углового коэффициента которого \(C = 14\) рад\(^{-1}\).

Из теории \[\operatorname{tg}\varphi = \frac{\lambda a}{d}.\]