зад 1 Стадион
Пусть из полоски бумаги свёрнуто кольцо. Известно, что если положить на кольцо лёгкую площадку, на которую подействовать силой \(F\) (рис. 3), то кольцо принимает форму «стадиона». В некотором диапазоне деформаций выполняется формула: \[F = kE^{\alpha}h^{\beta}b^{\gamma}d^{\delta}, \qquad (1)\] где \(b\) — ширина полоски, \(d\) — толщина бумаги, \(k\) — безразмерная константа, \(E\) — модуль Юнга бумаги, \(h\) — размер, указанный на рисунке. Под модулем Юнга \(E\) подразумевается коэффициент в законе Гука \(E\dfrac{\Delta l}{l} = \dfrac{f}{S}\), где \(\dfrac{\Delta l}{l}\) — относительная деформация, \(f\) — сила, вызывающая деформацию, \(S\) — площадь поперечного сечения.
Сверните кольцо из полоски бумаги (шириной \(b = 9{,}5\) см).
Снимите зависимость \(h\) от \(F\).
Определите диапазон \(h\), в котором выполняется формула (1).
В этом диапазоне найдите коэффициенты \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), \(\delta\).
Оборудование. Три цветные полоски бумаги для изготовления колец, 15 листов бумаги А4, деревянная линейка, нитки, миллиметровая бумага, скотч и ножницы (по требованию).
▶ПодсказкаСкрыть
Размерности величин в формуле (1) дают два соотношения для показателей. Остальные показатели найдите по зависимости \(h\) от \(F\) в логарифмическом масштабе.
▶ОтветСкрыть
\(\alpha = 1\), \(\beta \approx -2{,}2 \pm 0{,}2\) (по графику; при \(\beta \approx -2\) получается \(\delta = 3\)), \(\gamma = 1\), \(\delta = 3\); диапазон \(h\): \(15\) мм \(\leqslant h \leqslant 35\) мм.
▶РешениеСкрыть
1. Методом размерностей находим \(\alpha\): \([F] = \text{Н}\), \([E] = \dfrac{\text{Н}}{\text{м}^2}\), \([h] = [b] = [d] = \text{м}\). Тогда \[\text{Н} = \frac{\text{Н}^{\alpha}}{\text{м}^{2\alpha}\cdot\text{м}^{\beta+\gamma+\delta}}, \qquad \text{отсюда} \quad \alpha = 1.\]
2. Из физических соображений: если увеличить силу вдвое (\(F_1 = 2F\)) и приложить её к двум одинаковым цилиндрам (\(b_1 = 2b\)), то \(h\) не изменится. Получаем, что \(\gamma = 1\).
3. Склеиваем цилиндр при помощи скотча. Нагружаем цилиндр при помощи бумаги и измеряем силу в весах одного листа бумаги. Измеряем зависимость \(F\) от \(h\).
Здесь \(\Delta h\) — отклонение от начального положения при снятии груза. При больших нагрузках бумага деформируется необратимо, поэтому закон Гука не выполняется, следовательно формула (1) не верна. При очень маленьких деформациях \(h \approx h_0\), а \(F \approx 0\), что не соответствует формуле (1).
По графику (рис. 8) в координатах \(\ln n\) от \(\ln h\) (где \(n\) — сила в листах бумаги):
\(\beta = -2{,}2 \pm 0{,}2\). Линейный участок, то есть диапазон \(h\), в котором выполняется формула (1): \(h \in [15~\text{мм};\, 35~\text{мм}]\).
4. Коэффициент \(\delta\) определён методом размерностей из \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\): если \(\beta \approx -2\), \(\alpha = 1\), \(\gamma = 1\), то \(\delta = 3\).
зад 2 Заряд батарейки
Оборудование. Новая батарейка AA, мультиметр, резистор сопротивлением \(r = 1{,}0\) Ом, секундомер, вода в стаканчике, миллиметровая бумага.
Определите ток короткого замыкания \(I_{0,\text{кз}}\) и внутреннее сопротивление \(R_0\) новой (не бывшей в употреблении) батарейки.
Найдите заряд \(q\) (в А\(\cdot\)час), который отдаст батарейка при полной разрядке на постоянном сопротивлении нагрузки.
Вам может быть выдана новая батарейка взамен старой, но только один раз.
ВНИМАНИЕ. В некоторых случаях при разрядке батарейка может сильно греться, поэтому проводите длительные измерения, поместив батарейку в контейнер с водой.
Примечание. Во время длительного разряда батарейки даже кратковременное изменение сопротивления нагрузки может значительно изменить характер последующего разряда из-за эффекта восстановления ЭДС. При начальных токах разрядки батарейки менее 2 А вам может не хватить времени для определения заряда \(q\).
Если измеряемая мультиметром величина превышает предел измерения, а на дисплее нет символа «зашкаливания» (рис. 4), то показаниям прибора можно доверять. Для измерения токов используйте режим «10A», и входные гнёзда «COM» и «10ADC», иначе прибор может сгореть.
▶ПодсказкаСкрыть
Сначала измерьте ЭДС батарейки. Сопротивление соединительных проводов нужно учесть отдельно: найдите его по отношению напряжений на резисторе \(r\). Ток короткого замыкания считайте по закону Ома для полной цепи, а не по показанию прибора.
▶ОтветСкрыть
\(I_{0,\text{кз}} = 13{,}5\) А, \(R_0 = 0{,}12\) Ом; \(q = 1{,}25 \pm 0{,}25\) А\(\cdot\)ч.
▶РешениеСкрыть
1. Измерим вольтметром ЭДС новой батарейки \(\mathcal{E} = 1{,}62\) В.
2. Замкнём провода, припаянные к батарейке, на резистор \(r = 1\) Ом, предварительно присоединив вольтметр к одному конкретному проводу, припаянному к батарейке (рис. 9). В той же схеме измеряем напряжение на резисторе \(r\). Получаем сопротивление провода из отношения напряжений: \(U_1 = 14{,}7\) мВ, \(U_2 = 980\) мВ, \(r_1 = 15\) мОм. Аналогичным способом находим сопротивление второго провода: \(r_2 = 15\) мОм.
3. Замыкаем батарейку накоротко, предварительно подсоединив вольтметр к одному из проводков (рис. 10). Получаем ток \(I = U/r_1\). У новой батарейки \(\mathcal{E} - (r_0 + r_1 + r_2)I = 0\), где \(r_0\) — внутреннее сопротивление батарейки. Получаем \(U = 162\) мВ, \(I = 10{,}8\) А, \(r_0 = 0{,}12\) Ом. Измеренный ток не является током короткого замыкания. Ток короткого замыкания считаем по формуле \(\mathcal{E}/r_0 = 13{,}5\) А.
4. Предыдущие измерения делались за пренебрежимо малое время. Замыкание на 1 Ом, хотя и даёт правильный результат, не является разумным, так как измерения могут занять слишком много времени, примерно 1,5 часа. Для измерения с замыканием на амперметр достаточно 40 минут.
Последний участок графика (рис. 11) экстраполируется линейной зависимостью или же экспонентой. Посчитав площадь под графиком, найдём протекший заряд:
\(q = 1{,}25 \pm 0{,}25\) А\(\cdot\)ч.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2012/13, заключительный этап, 10 класс, экспериментальный тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.