ВсОШ, 2012/13, заключительный этап, 11 класс, экспериментальный тур

Подсказка

Линейка выглядит неподвижной, если её частота колебаний кратна частоте мерцаний стробоскопа. Меняйте частоту стробоскопа и ищите первое «замирание» линейки. Для второго пункта удобно логарифмировать \(\omega(l)\).

Ответ

1) стробоскопический метод: подбирается частота вспышек, при которой колебания линейки кажутся замершими, и эта частота равна частоте колебаний линейки;  2) см. таблицу в решении;  3) \(p=-2\);  4) \(m=\dfrac{1}{2}\), \(n=-\dfrac{1}{2}\), \(q=0\), \(s=1\);  5) \(E_{\text{пл}}\approx 3\cdot 10^{9}\,\text{Па}\).

Решение

Введение. Закрепим линейку на краю стола, используя зажим. Возбудим колебания, отклоняя линейку в поперечном направлении, и направим перпендикулярно плоскости колебания луч стробоскопа. Предположим, что конец линейки совершает гармонические колебания с частотой \(\omega_л\), а стробоскоп мерцает с частотой \(\omega_с\), то есть мы видим линейку только в моменты времени \(t_n = n\,(2\pi/\omega_с)\). Координата конца линейки в моменты, когда мы её видим, \(x_n = x_0 \cos\bigl(2\pi n(\omega_л/\omega_с) + \varphi_0\bigr)\). Линейка «замрёт», если частота колебания линейки будет кратна частоте стробоскопа, то есть \(\omega_л = k\omega_с\), \(k = 1, 2, \dots\). Причём чем ближе \(\omega_л\) к частоте, кратной \(\omega_с\), тем медленнее колеблется изображение линейки в свете стробоскопа. Уменьшая \(\omega_с\) с заведомо большой частоты, мы увидим, как колебания изображения линейки замедляются и, подобрав такую \(\omega_с\), при которой линейка «замрёт» в первый раз, найдём \(\omega_л = \omega_с\).

1. Снимем зависимость \(\nu(l)\):

2. Построим график зависимости \(\ln\omega(\ln l)\), из углового коэффициента \(k \approx -2\) найдём, что \(p = -2\).

3. От ширины линейки частота колебаний не зависит, то есть \(q = 0\). Тогда, решая методом размерностей \(\omega = \beta E^m \rho^n l^p h^s\), получим: \(m = \dfrac{1}{2}\), \(n = -\dfrac{1}{2}\), \(s = 1\).

4. Теперь, когда мы знаем вид зависимости частоты от остальных параметров, можно найти модуль Юнга материала пластмассовой линейки. Для этого нам нужно знать отношение плотностей стали и пластмассы, которое можно найти, зная геометрические размеры и отношение масс линеек. Последнее находится с помощью уравновешивания линеек на краю стола и правила моментов (рис. 12). Положение центра масс металлической линейки находится на расстоянии \(164\) мм от её края. Положение опоры (края стола) при уравновешивании линеек находится на расстоянии \(126\) мм. Таким образом, \(m_{\text{ст}}/m_{\text{пл}} = 63/19\). Геометрические размеры линеек, измеренные другой линейкой: \(l_{\text{ст}} = 330\) мм, \(l_{\text{пл}} = 313\) мм, \(b_{\text{ст}} = 30\) мм, \(b_{\text{пл}} = 25\) мм.

Измерив частоту колебаний при длине свободной части пластмассовой линейки, например, \(160\) мм, получаем значение \(1130\) мин\(^{-1}\). В итоге получаем: \[E_{\text{пл}} = E_{\text{ст}} \left(\frac{\omega_{\text{пл}}(l_0)}{\omega_{\text{ст}}(l_0)}\right)^{2} \left(\frac{h_{\text{ст}}}{h_{\text{пл}}}\right)^{2} \frac{m_{\text{пл}}\, l_{\text{ст}}\, h_{\text{ст}}\, b_{\text{ст}}}{m_{\text{ст}}\, l_{\text{пл}}\, h_{\text{пл}}\, b_{\text{пл}}} = 2{,}1\cdot 10^{11}\left(\frac{1130}{1850}\right)^{2}\left(\frac{1}{2{,}1}\right)^{2}\frac{19\cdot 330\cdot 1\cdot 30}{63\cdot 313\cdot 2{,}1\cdot 25} \approx 3\cdot 10^{9}\,\text{Па}.\] Более точным решением может быть снятие зависимости \(\omega(l)\) для пластмассовой линейки, построение двух графиков \(\omega(1/l^2)\) и вычисление отношения двух угловых коэффициентов. Для оценки погрешности модуля Юнга считаем, что \(\Delta\omega = 10\) мин\(^{-1}\), погрешность измерения любой длины линейкой \(\Delta l = 1\) мм, такое же значение имеет погрешность определения положения опоры при измерениях, необходимых для определения отношения масс линеек. Из вышесказанного следует, что основной вклад в погрешность внесут измерения: 1) ширины линеек (\(\approx 4\%\)), 2) разности положений опор (\(\approx 3\%\)), а также указанная в условии погрешность определения толщины (\(\approx 20\%\), т.к. в окончательный ответ толщина входит в третьей степени). Окончательно погрешность результата \(\approx 30\%\).

Подсказка

Ток короткого замыкания находится из закона Ома для полной цепи по двум измерениям ЭДС и напряжения на резисторе \(r\). Разряд удобно вести через амперметр на пределе «10 А»; тепло считайте как сумму тепла, запасённого в системе, и тепловых потерь, которые находятся по площади под кривой нагрева.

Ответ

1) \(I_{0,\text{кз}}\approx 10\,\text{А}\), \(R_0 \approx 0{,}16\,\text{Ом}\);  2) \(q \approx 1{,}07\,\text{А}\cdot\text{ч}\);  3) \(Q_0 \approx 4{,}1\,\text{кДж}\);  4) \(Q_1 \approx 3{,}8\,\text{кДж}\), в пределах погрешности \(Q_1 = Q_0\).

Решение

1. Подключим амперметр в режиме вольтметра к батарейке и найдём её начальную ЭДС \(\mathcal{E}_0 = 1{,}62 \pm 0{,}01\) В. Затем измерим напряжение на выданном резисторе, ненадолго подключив его к батарейке: \(U_0 = 1{,}40 \pm 0{,}01\) В. Таким образом, зная сопротивление резистора \(r = 1{,}0\) Ом, можно вычислить \(I_{0,\text{кз}}\) и \(R_0\): \[R_0 = \frac{\mathcal{E}_0 - U_0}{U_0}\, r = 0{,}16\,\text{Ом}, \qquad I_{0,\text{кз}} = \frac{\mathcal{E}_0}{R_0} = \frac{\mathcal{E}_0 U_0}{(\mathcal{E}_0 - U_0)\, r} = 10\,\text{А}.\] Оценим погрешности: \[\left(\frac{\Delta R_0}{R_0}\right)^2 \approx \left(\frac{\Delta(\mathcal{E}_0 - U_0)}{\mathcal{E}_0 - U_0}\right)^2 + \left(\frac{\Delta r}{r}\right)^2 = 0{,}09^2 + 0{,}05^2, \qquad \left(\frac{\Delta I_0}{I_0}\right)^2 \approx \left(\frac{\Delta R_0}{R_0}\right)^2 .\] Отсюда \(R_0 = 0{,}16 \pm 0{,}02\) Ом, \(I_{0,\text{кз}} = 10 \pm 1\) А.

2. Поскольку в условии спрашивалось минимальное постоянное сопротивление, а таким сопротивлением обладает амперметр на пределе «10 А», разряжать батарейку нужно через него. Положим батарейку в калориметр, нальём небольшое количество воды \(V = 20\) мл, чтобы залить батарейку полностью. Опустим также в воду термопару, чтобы следить за изменением температуры. Наконец, запустим секундомер, замкнём батарейку на амперметр и будем следить за показаниями трёх приборов, включая мультиметр с термопарой.

Полученные значения \(I(\tau)\) и \(t(\tau)\) занесём в таблицу и построим на графиках (рис. 13 и 14). Здесь и далее \(\tau\) — время, а \(t\) — температура в \(^{\circ}\)С. Батарейка разряжается достаточно долго: будем записывать измерения в течение \(20\)–\(30\) мин. Также заметим, что в начале имеет смысл записывать показания тока как можно чаще, а примерно через \(10\) мин достаточно одного измерения в минуту.

Так как \(I = dq/d\tau\), то протёкший заряд \(q_1\) будет равен площади под графиком \(I(\tau)\): \[q_1 = S_1 = 1{,}00\,\text{А}\cdot\text{ч}.\] Поскольку в конце измерений ток уменьшается слабо, но при этом не является нулевым, то требуется оценить оставшееся время \(\tau'\), необходимое для полной разрядки батарейки, и заряд \(q'\), который при этом выделится. Для этого заметим, что в течение последних \(20\) мин ток спадал линейно, поэтому линейная аппроксимация даст нам хорошую оценку этих величин: \[\tau' = \frac{I'}{k} = \frac{0{,}24\,\text{А}}{0{,}39\,\text{А/ч}} \approx 0{,}6\,\text{часа}, \qquad q' = \frac{1}{2}\tau' I' = 0{,}07\,\text{А}\cdot\text{ч}.\] Таким образом, малость этой величины по сравнению с \(q_1\) позволяет нам действительно обрывать измерения на \(30\) минутах. Погрешность определения \(q_1\) найдём из графика. Первые \(\tau_1 \approx 10\) мин ток менялся быстро, поэтому ошибка определения тока составляла порядка \(\Delta I_1 = 0{,}05\) А. Затем, когда показания амперметра менялись не так резко, погрешность определения тока \(\Delta I_2 = 0{,}01\) А. Также у нас есть погрешность определения площади под графиком. Другими словами: \[\Delta q_1 = \Delta q = \Delta I_1\tau_1 + \Delta I_2(\tau_\Sigma - \tau_1) + \Delta S_1 \approx 0{,}05\,\text{А}\cdot\text{ч}.\] Окончательно: \[q = q_1 + q' = 1{,}07 \pm 0{,}05\,\text{А}\cdot\text{ч}.\]

3. Теплоёмкость всей системы: \[C_0 = C + c_{\text{в}}\rho V = 145 \pm 4\,\text{Дж}.\] Поэтому, когда система нагрелась к концу эксперимента на \(\Delta t_1 = 20 \pm 2\,^{\circ}\text{C}\), запасённое тепло по сравнению с начальным состоянием: \[Q_{\text{з}} = C_0\,\Delta t_1 = 2{,}9 \pm 0{,}3\,\text{кДж}.\] Построим график температуры от времени. Из графика видно, что сначала температура увеличивалась, а потом вышла на плато: тепловые потери сравнялись с выделяемой на батарейке мощностью.

Оценим тепловые потери из закона \(P = \alpha (t - t_{\text{к}})\), где \(P\) — мощность тепловых потерь, \(t\) — температура воды в калориметре, \(t_{\text{к}}\) — комнатная температура, \(\alpha\) — коэффициент теплопотерь, который в течение одного эксперимента можно считать постоянным. Поскольку \(P = dQ/d\tau\), то тепловые потери \(Q_{\text{п}}\): \[Q_{\text{п}} = \int P\,d\tau = \alpha \int (t - t_{\text{к}})\,d\tau .\] Последний интеграл есть не что иное, как площадь \(S_2\) между графиком нагрева и прямой, соответствующей комнатной температуре.

Чтобы определить коэффициент \(\alpha\), разомкнём цепь и измерим кривую остывания \(t_{\text{ост}}(\tau)\). Так как \(t_{\text{ост}} = t_{\text{к}} + (t_0 - t_{\text{к}})\,e^{-\alpha\tau/C_0}\), то, построив график \(\ln(t_{\text{ост}} - t_{\text{к}})\) от времени, определим угловой коэффициент и вычислим \(\alpha = 0{,}04 \pm 0{,}01\) Вт/\(^{\circ}\)С. Полное тепло, выделившееся в батарейке, найдём как сумму: \[Q_0 = Q_{\text{з}} + Q_{\text{п}} = 4{,}1 \pm 0{,}7\,\text{кДж}.\]

4. Поскольку сопротивлением амперметра при разрядке можно пренебречь, то практически вся работа батарейки \(A\) переходит в джоулево тепло \(Q_1\): \[Q_1 = A = \mathcal{E}_{\text{ср}}\, q = 1{,}07\,\text{Вт}\cdot\text{ч} = 3{,}8 \pm 0{,}5\,\text{кДж}.\] Видно, что в пределах погрешности \(Q_1 = Q_0\).