ВсОШ, 2012/13, заключительный этап, 9 класс, экспериментальный тур

Подсказка

Коэффициент \(k\) можно найти по высотам подскоков шарика, а можно по времени между ударами: скорость после каждого отскока уменьшается в \(k\) раз, и шарик падает и подскакивает, пока не остановится.

Ответ

1) \(k \approx 0{,}8\)–\(0{,}9\);  3) \(n \approx 0{,}50\)–\(0{,}65\).

Решение

1. Найдём коэффициент восстановления \(k\).

Первый способ. Положим доску горизонтально, а рядом вертикально установим линейку. Отметим высоту \(h_1\) порядка \(30\) см, с которой будем бросать шарик. Замечаем, на какую высоту \(h_2\) подскочил шарик. Устанавливаем на эту высоту лапку и бросаем ещё раз, изменяем положение лапки, если шарик поднялся чуть выше или оказался ниже. Снова бросаем шарик. Повторяем, пока не убедимся, что шарик подскакивает именно на эту высоту. Измеряем высоту \(h_2\): \[mgh_1 = \frac{mv_1^2}{2}, \qquad mgh_2 = \frac{mv_2^2}{2}, \qquad \text{откуда} \qquad k = \frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{h_2}{h_1}} .\]

Второй способ. Отпустим шарик с высоты \(h\) и секундомером измерим время \(t\) до полной остановки шарика (прекращение звука ударов). Время первого падения шарика \(t_0 = \sqrt{2h/g}\); после удара энергия шарика уменьшится в \(k^2\) раз, и шарик поднимется до высоты \(k^2h\). На это уйдёт время \(k\sqrt{2h/g}\), столько же времени уйдёт на падение, то есть \(t_1 = 2k\sqrt{2h/g}\), \(t_2 = 2k^2\sqrt{2h/g}\) и так далее. Таким образом, времена между ударами образуют геометрическую прогрессию со знаменателем \(k\). Полное время до остановки: \[t = \sqrt{\frac{2h}{g}}\,\frac{1+k}{1-k}, \qquad \text{откуда} \qquad k = \frac{t\sqrt{g/2h} - 1}{t\sqrt{g/2h} + 1} .\] Оба способа дают одинаковое (в пределах погрешностей) значение для \(k\), лежащее в диапазоне \(0{,}8\)–\(0{,}9\).

2. Выведем зависимость \(L\) от \(h\). Шарик падает на плоскость под углом \(\alpha\) к нормали со скоростью \[v_0 = \sqrt{2gH} . \qquad (1)\] Проекция скорости после отскока на перпендикуляр к плоскости равна \(kv_0\cos\alpha\), а на плоскость — \(nv_0\sin\alpha = nv_0\dfrac{h}{l}\), где \(l\) — длина доски. Второй удар о плоскость произойдёт через время \(t_{\text{н}}\): \[t_{\text{н}} = \frac{2kv_0\cos\alpha}{g\cos\alpha} = \frac{2kv_0}{g} .\] Найдём \(L\): \[L = (nv_0\sin\alpha)\,t_{\text{н}} + \frac{g\,t_{\text{н}}^2\sin\alpha}{2} = \left(\frac{2knv_0^2}{g} + \frac{2k^2v_0^2}{g}\right)\sin\alpha .\] Подставляя \(v_0\) из (1), получим: \[L = 4Hk(n+k)\sin\alpha = 4Hk(n+k)\,\frac{h}{l} .\] Снимаем зависимость \(L\) от \(h\). При каждом измерении делаем \(5\)–\(8\) бросков, чтобы исключить ошибку. Полученные точки заносим в таблицу и строим график. График — прямая линия.

3. По графику находим коэффициент наклона \(c = L/\sin\alpha\): \[c = 4Hk(n+k), \qquad \text{откуда} \qquad n = \frac{c}{4Hk} - k .\] В наших экспериментах \(n\) лежит в диапазоне \(0{,}50\)–\(0{,}65\).

Подсказка

Плотность можно сравнить по весу вытесненной жидкости (гидростатическое взвешивание), а показатель преломления — по отношению синусов углов, которое для луча через кювету пропорционально отношению двух отрезков на листе.

Ответ

\(\dfrac{\rho_1}{\rho_2} = 1{,}25 \pm 0{,}03\), \(\dfrac{n_1}{n_2} = 1{,}08 \pm 0{,}05\); предположение не подтверждается, гипотеза не верна.

Решение

Для определения отношения плотностей жидкостей воспользуемся методом гидростатического взвешивания. Поместим стаканчик с первой жидкостью на весы. Для повышения точности обнулим их показания (кнопка «tare»). Полностью погрузим в жидкость шарик на ниточке, не касаясь им дна и стенок стакана. В соответствии с уравнениями статики и третьим законом Ньютона весы покажут массу жидкости в объёме шарика \(m_1 = V\rho_1\). Повторим процедуру со второй жидкостью, предварительно высушив шарик салфеткой, получим \(m_2 = V\rho_2\). Отношение плотностей жидкостей равно отношению масс.

Для определения отношения показателей преломления проведём на листе бумаги серединные линии и построим окружность достаточно большого радиуса. Установим на лист кювету и лазер (рис. 7).

Для такого хода луча \(x/y = n\), где \(n\) — показатель преломления жидкости в кювете. При постоянном \(x\) проводим измерения для первой и второй жидкости, получаем результаты \(y_1\) и \(y_2\) соответственно. Тогда отношение показателей преломления \(n_1/n_2 = y_2/y_1\).

По результатам измерений отношение плотностей равно \(\rho_1/\rho_2 = 1{,}25 \pm 0{,}03\), в то время как отношение показателей преломления \(n_1/n_2 = 1{,}08 \pm 0{,}05\). С учётом погрешностей измерений можно сделать однозначный вывод, что гипотеза не верна.