ВсОШ, 2012/13, заключительный этап, 9 класс, теоретический тур

Подсказка

Перейдите в систему отсчёта одной из частиц: относительная скорость и относительное ускорение, и вторая частица начнёт движение с постоянным ускорением по параболе, как тело, брошенное под углом.

Ответ

\(L \approx 500\) м;  \(v_{\text{отн(мин)}} = 5v\sin 2\alpha \approx 48\) м/с, где \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{3}{4}\).

Решение

Перейдём в систему отсчёта, связанную с одной из частиц (например, первой). Воспользуемся законом сложения скоростей и ускорений. Так как скорости частиц всё время остаются перпендикулярными (как и ускорения), то мы можем воспользоваться теоремой Пифагора. В итоге получим, что вторая частица начинает движение со скоростью \(5v\) и ускорением \(5a\) (рис. 16). Пусть вторая частица двигалась вдоль оси \(OX\). В новой системе отсчёта угол \(\alpha\) между осью \(OX\) и начальной скоростью (и начальным ускорением) найдём из условия перпендикулярности скоростей (и ускорения) частиц в старой системе отсчёта: \(\operatorname{tg}\alpha = 3/4\), \(\alpha = 36{,}87^{\circ}\).

По аналогии с задачей о дальности полёта тела, брошенного под углом \(2\alpha\) к вертикали, получим: \[L = \frac{(5v)^2\sin 4\alpha}{5a} = \frac{5v^2\sin 4\alpha}{a} \approx 500~\text{м}.\] Относительная скорость станет минимальной в тот момент, когда вектор скорости окажется перпендикулярным вектору ускорения. Таким образом, \[v_{\text{отн(мин)}} = 5v\sin 2\alpha \approx 48~\text{м/с}.\]

Подсказка

Тепловой поток через лёд и воду одинаков, поэтому отношение их длин определяется отношением разностей температур и коэффициентов теплопроводности. Затем используйте сохранение массы воды и льда.

Ответ

\(L_2 = 88\) см;  \(L_3 \approx 88{,}9\) см.

Решение

Пусть в первом случае столб воды имеет длину \(L_{\text{в}}\), а столб льда \(L_{\text{л}}\). Тогда: \[L_{\text{в}} + L_{\text{л}} = L_2 . \qquad (1)\] Так как масса содержимого между поршнями постоянна: \[L_{\text{в}}\rho_{\text{в}} + L_{\text{л}}\rho_{\text{л}} = L_1\rho_{\text{в}} . \qquad (2)\] Поскольку тепловые потоки через лёд и воду равны, то: \[\frac{kS(t_2 - t_0)}{L_{\text{в}}} = \frac{4kS(t_0 - t_1)}{L_{\text{л}}}, \qquad \text{где } t_0 = 0\,^{\circ}\text{C} . \qquad (3)\] Из уравнения (3) с учётом заданных температур находим, что \(L_{\text{л}} = 10L_{\text{в}}\). Из уравнений (1) и (2) получим: \(L_{\text{в}} = 8\) см и \(L_2 = 11L_{\text{в}} = 88\) см.

Тепловой поток \(P\) через каждое сечение одинаков: \[P = \frac{kS(t'_2 - t'_1)}{\Delta L} ,\] где \(t'_1\), \(t'_2\) — температуры слева и справа от фрагмента цилиндра длиной \(\Delta L\). Отсюда \(t'_2 - t'_1 = \dfrac{P\,\Delta L}{kS}\), то есть \(\Delta t \sim \Delta L\). Это означает, что температура льда и воды от поршня до границы раздела изменяется по линейному закону, поэтому можно считать, что соответствующие части системы имеют среднюю температуру (лёд \(t_{\text{л}} = -20\,^{\circ}\text{C}\), вода \(t_{\text{в}} = 8\,^{\circ}\text{C}\)).

После того как систему теплоизолировали, между поршнями устанавливается тепловое равновесие с некоторой температурой. При охлаждении воды до температуры плавления выделится количество теплоты \[Q_1 = L_{\text{в}}S\rho_{\text{в}}c_{\text{в}}t_{\text{в}} = 33\,600\,L_{\text{в}}S\rho_{\text{в}} .\] Для нагревания льда до температуры плавления потребуется количество теплоты \[Q_2 = 10L_{\text{в}}S\cdot 0{,}9\rho_{\text{в}}\,c_{\text{л}}\,(0 - t_{\text{л}}) = 378\,000\,L_{\text{в}}S\rho_{\text{в}} .\] Следовательно, вода точно охладится до \(0\,^{\circ}\text{C}\) и начнёт замерзать. При замерзании выделится количество теплоты \[Q_3 = \lambda L_{\text{в}}S\rho_{\text{в}} = 330\,000\,L_{\text{в}}S\rho_{\text{в}} .\] Этого тепла не хватит, чтобы нагреть лёд до температуры плавления. Следовательно, вся вода замерзнет. Тогда: \[L_3 = \frac{10}{9}L_1 \approx 88{,}9~\text{см}.\]

Подсказка

Кольцо отрывается, когда сила реакции плоскости обращается в ноль. Запишите закон сохранения энергии и второй закон Ньютона для бусинки в проекции на радиус.

Ответ

\(\dfrac{m}{M} \geqslant \dfrac{3}{2}\).

Решение

В силу симметрии системы при движении бусинок кольцо не будет смещаться по горизонтали. Для отрыва кольца от плоскости необходимо, чтобы \(N_1 = 0\) (рис. 17). Это возможно, если силы реакции со стороны бусинок на кольцо \(N\) направлены от центра. К этому моменту времени каждая из бусинок сместится от вертикали на угол \(\alpha\) (рис. 18). Тогда по второму закону Ньютона для каждой из них будет справедливо соотношение: \[\frac{mv^2}{R} = N + mg\cos\alpha ,\] где \(N\) — сила, действующая на бусинку со стороны кольца.

Согласно закону сохранения энергии верно равенство: \[\frac{mv^2}{2} = mgR(1 - \cos\alpha) .\] Решая совместно эти уравнения, получим: \[N = mg(2 - 3\cos\alpha) .\] Для момента отрыва кольца: \[2N\cos\alpha = Mg .\] Из полученного выражения можно найти отношение \(m/M\): \[\frac{m}{M} = \frac{1}{2(2\cos\alpha - 3\cos^2\alpha)} .\] В знаменателе квадратичная зависимость с максимумом при \(\cos\alpha = 1/3\), при этом \(m/M = 3/2\). Следовательно, отрыв происходит при \[\frac{m}{M} \geqslant \frac{3}{2} .\]

Подсказка

Сначала найдите силу натяжения нити, удерживающей висящую льдинку, из условия равновесия. Затем сравните силу давления на дно стакана до и после плавления, учитывая изменение массы содержимого.

Ответ

1) уровень воды в стакане увеличивается;  2) \(S = 20\) см\(^2\);  3) \(0 < T < 0{,}15\) Н.

Решение

Расставим силы натяжения нитей (рис. 19). Заметим, что из условия равновесия висящей льдинки \[T = mg . \qquad (4)\] По мере уменьшения её массы пропорционально будет уменьшаться сила натяжения всех нитей в системе. Поэтому сила натяжения нити, удерживающей \(6m\), изменяется от \(0\) до \(2mg\).

Изменение уровня воды в стакане можно связать с изменением внешней силы, действующей на систему со стороны штатива.

Найдём силу, действующую на дно стакана со стороны содержимого, двумя разными способами, с учётом того, что масса системы (льда, воды, блоков, нитей) при этом не изменяется:

1. Как силу, обратную действующей по третьему закону Ньютона на содержимое со стороны дна, найденную из условия равновесия содержимого: \[8T + F_{\text{на дно}} = m_{\text{системы}}\,g ,\] что с учётом уравнения (4) даст: \[8mg + F_{\text{на дно}} = m_{\text{системы}}\,g .\]

2. Как сумму реальных сил, с которыми содержимое действует на дно: \[F_{\text{на дно}} = \rho g h S ,\] где \(F_{\text{на дно}}\) — сила гидростатического давления (дна ничто не касается). После сообщения льдинке количества теплоты \(Q\) её масса уменьшается на \(\Delta m = Q/\lambda\). Уравнения для новой силы, действующей на дно, примут вид: \[8(m - \Delta m)g + F^*_{\text{на дно}} = m_{\text{системы}}\,g , \qquad F^*_{\text{на дно}} = \rho g S(h + \Delta h_1) .\] Приравнивая уравнения по массе всего содержимого, получим: \[\rho g S\,\Delta h_1 = 8\,\Delta m \qquad (5)\] или \(\rho g S\Delta h_1 = 8Q/\lambda\), откуда находим площадь дна стакана: \[S = \frac{8Q}{\Delta h_1\,\rho\,\lambda} = 20~\text{см}^2 .\] Заметим, что знак \(\Delta h_1\) положительный, следовательно, уровень поднимается. Из уравнения (5) видно, что высота уровня будет линейно увеличиваться по мере уменьшения массы висящей льдинки. После полного плавления система уравнений для силы на дно примет вид: \[F^{**}_{\text{на дно}} = m_{\text{системы}}\,g , \qquad F^{**}_{\text{на дно}} = \rho g S(h + \Delta h_2) .\] Откуда \(\rho S\Delta h_2 = 8m\), и диапазон изменения силы натяжения нити, прикреплённой к \(6m\), составляет \(0 < T < \dfrac{\rho g S\Delta h_2}{4}\), или \[0 < T < 0{,}15~\text{Н} .\]

Подсказка

Ток через амперметр \(\text{A}_1\) равен нулю при \(x = 0{,}2\) м: в этом положении мост уравновешен. Далее используйте, что сопротивление однородного проводника пропорционально его длине.

Ответ

1) \(R_1 : R_2 = 1 : 4\);  2) график — горизонтальная прямая \(I_0 = U_0/R_3 \approx 3{,}6\) мкА;  3) \(R_1 = 0{,}2\) кОм, \(R_2 = 0{,}8\) кОм, \(U_0 = 3{,}6\) В.

Решение

1. Из графика следует, что при \(x = 0{,}2\) м ток через амперметр \(\text{A}_1\) не идёт. Поскольку сопротивление однородного проводника постоянной площади пропорционально длине, отношение сопротивлений \(r_1 : r_2 = 1 : 4\) (рис. 20). При этом токи через резисторы \(R_1\) и \(R_2\) равны, и отношение напряжений \(U_1\) и \(U_2\) на сопротивлениях \(R_1\) и \(R_2\) составляет \(U_1 : U_2 = R_1 : R_2\). Аналогично из совпадения токов через резисторы \(r_1\) и \(r_2\) находим \(U_1 : U_2 = r_1 : r_2\). Отсюда: \[\frac{R_1}{R_2} = \frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{4} .\]

2. Общее сопротивление параллельно соединённых резисторов \(R_1\) и \(r_1\) не превосходит \(r_1\), а параллельно соединённых резисторов \(R_2\) и \(r_2\) — не превосходит \(r_2\). Следовательно, цепь, состоящая из четырёх резисторов \(R_1\), \(r_1\), \(R_2\) и \(r_2\), не может иметь сопротивление больше \(r_1 + r_2 = 1\) кОм. Поэтому общее сопротивление всей цепи с учётом сопротивления \(R_3\) будет лежать в интервале от \(1\) МОм до \(1{,}001\) МОм.

Таким образом, с точностью не более \(0{,}1\,\%\) сила тока через источник напряжения будет равна \(I_0 = U_0/R_3\) на протяжении всего опыта — график Глюка для показания амперметра \(\text{A}_2\) был бы на глаз неотличим от горизонтальной прямой.

3. Когда амперметр находится в положении 1 и через него проходит ток \(I_1 = |I_A| = 2\) мкА, напряжение на реостате \(r\) составляет \((I_0 - I_1)r\), а напряжение на резисторе \(R_2\) равно \(I_1R_2\). Отсюда \((I_0 - I_1)r = I_1R_2\).

Когда амперметр находится в положении 2 и через него проходит ток \(I_2 = |I_A| = 3\) мкА, напряжение на резисторе \(R_1\) равно \(I_2R_1\). Отсюда \((I_0 - I_2)r = I_2R_1\).

Разделив полученные соотношения друг на друга и использовав свойство \(R_2/R_1 = 4\), находим: \((I_0 - I_1) : (I_0 - I_2) = 4I_1 : I_2\). Таким образом, \(I_0 = 3{,}6\) мкА, откуда с учётом предыдущих соотношений следует: \[R_1 = 0{,}2~\text{кОм}, \qquad R_2 = 0{,}8~\text{кОм}, \qquad U_0 = I_0R_3 = 3{,}6~\text{В} .\]