ВсОШ, 2013/14, региональный этап, 10 класс, теоретический тур

Подсказка

Запишите второй закон Ньютона для каждого груза и учтите, что нить нерастяжима: связь между скоростями грузов получается из геометрии смещений блоков.

Ответ

\(a_1 = g\,\dfrac{m_1 - m_2\sin\alpha}{m_1 + m_2\sin^2\alpha}\);  \(a_2 = -g\sin\alpha\,\dfrac{m_1 - m_2\sin\alpha}{m_1 + m_2\sin^2\alpha}\).

Решение

Так как нить и блоки лёгкие, натяжение верёвки \(T\) всюду одинаково. Для груза №1 запишем в проекции на вертикальную ось, направленную вниз, второй закон Ньютона: \[m_1 a_1 = m_1 g - 2T\sin\alpha.\] Для груза №2 второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось даст: \[m_2 a_2 = m_2 g - 2T.\]

Поскольку нить нерастяжимая, малое смещение по вертикали \(\Delta y_1\) груза №1 (рис. 16) и малое смещение по вертикали \(\Delta y_2\) груза №2 (рис. 17) связаны соотношением: \[2\Delta y_1\sin\alpha + 2\Delta y_2 = 0.\]

Рассматривая эти смещения за малый промежуток времени \(\Delta t\), получаем выражение, связывающее скорости грузов: \[v_1\sin\alpha + v_2 = 0.\] Найдём связь между малыми изменениями скоростей: \[\Delta(v_1\sin\alpha) + \Delta v_2 = \Delta v_1\sin\alpha + v_1\Delta(\sin\alpha) + \Delta v_2 = 0.\] Так как в начальный момент времени скорости грузов равны нулю, то эти изменения скоростей связаны соотношением: \[\Delta v_1\sin\alpha + \Delta v_2 = 0.\] Отсюда следует такая же связь между ускорениями грузов: \[a_1\sin\alpha + a_2 = 0.\] Решая полученную систему уравнений, находим: \[a_1 = g\,\dfrac{m_1 - m_2\sin\alpha}{m_1 + m_2\sin^2\alpha}, \qquad a_2 = -g\sin\alpha\,\dfrac{m_1 - m_2\sin\alpha}{m_1 + m_2\sin^2\alpha}.\]

Подсказка

Скорость максимальна там, где равнодействующая сила равна нулю. Работа силы трения при линейном росте силы — это площадь треугольника.

Ответ

\(v = \sqrt{\dfrac{gH}{2}}\).

Решение

Если груз находится в точке \(x\), то проекция равнодействующей силы на ось \(x\) равна: \[F_x = mg\sin\varphi - \alpha x\,mg\cos\varphi,\] где \(\varphi\) — угол наклона плоскости. Скорость будет максимальной, когда \(F_x = 0\); в этот момент координата груза равна \(x_0 = \dfrac{\operatorname{tg}\varphi}{\alpha}\).

При перемещении груза на расстояние \(L\) сила трения линейно возрастает от нуля до некоторого максимального значения \(\alpha L\cdot mg\cos\varphi\). Тогда модуль работы силы трения можно найти как произведение силы \((\alpha L\,mg\cos\varphi)/2\) на пройденный путь \(L\). Полный путь до остановки \(L = H/\sin\varphi\).

Потенциальная энергия груза идёт на работу силы трения: \[mgH = \frac{\alpha L^2 mg\cos\varphi}{2} = \frac{\alpha H^2 mg\cos\varphi}{2\sin^2\varphi} = mg\,\frac{H^2}{2x_0\sin\varphi}.\] Откуда получаем, что \(x_0 = H/(2\sin\varphi)\).

Запишем закон сохранения энергии при перемещении из точки \(x = 0\) в точку \(x = x_0\): \[\frac{mgH}{2} = \frac{mv^2}{2} + \frac12\,mgx_0\sin\varphi = \frac{mv^2}{2} + \frac{mgH}{4}.\] Откуда \[v = \sqrt{\dfrac{gH}{2}}.\]

Альтернативное решение. Построим график (рис. 19) проекции равнодействующей силы на ось \(X\) от перемещения \(x\). Работа равнодействующей силы равна нулю, так как кинетическая энергия в конце и в начале одинакова и равна нулю. Из этого следует, что работа по разгону тела (соответствует площади треугольника над осью \(x\)) равна по модулю работе по торможению тела (площадь треугольника под осью \(x\)). Эти треугольники равны, поэтому график пересекает ось \(x\) в точке \(L/2\). Работа равнодействующей силы по разгону тела (верхний треугольник) равна изменению кинетической энергии \(mv^2/2\). Площадь верхнего треугольника есть половина площади прямоугольника. Площадь прямоугольника численно равна работе силы тяжести при опускании груза на \(H/2\). Отсюда получаем равенство \(mv^2/2 = mgH/4\), из которого получается ответ.

Подсказка

Выразите теплоту, подведённую на изобаре, через \(A_{31}\) и КПД, а работу на адиабате найдите через изменение внутренней энергии.

Ответ

\(\dfrac35 A_{31} < A_{23} \leqslant A_{31}\).

Решение

В данном цикле теплота подводится на участке (1, 2), отводится на (3, 1). Тогда КПД равен \[\eta = 1 - \frac{Q_{31}}{Q_{12}}.\] Поскольку на изотерме изменение внутренней энергии равно нулю, то \(Q_{31} = A_{31}\). Получим выражение для \(Q_{12}\): \[Q_{12} = \frac{Q_{31}}{1-\eta} = \frac{A_{31}}{1-\eta}.\] Воспользуемся первым началом термодинамики и тем, что газ идеальный одноатомный: \[Q_{12} = A_{12} + \Delta U_{12} = p\Delta V_{12} + \frac32\,\nu R\Delta T_{12} = \frac53\,\Delta U_{12}.\] Процесс (2, 3) адиабатический (теплота не подводится, работа совершается за счёт уменьшения внутренней энергии), и изменение внутренней энергии в цикле равно нулю, поэтому: \[A_{23} = -\Delta U_{23} = \Delta U_{12} + \Delta U_{31} = \Delta U_{12} + 0 = \Delta U_{12}.\] Выражаем работу при адиабатическом расширении \(A_{23}\) через работу на изотерме \(A_{31}\) и КПД \(\eta\): \[A_{23} = \Delta U_{12} = \frac35\,Q_{12} = \frac35(1-\eta)A_{31}.\]

КПД принимает значения \(\eta \in (0;\,0{,}4]\), поэтому работа при адиабатическом расширении принимает значения: \[\frac35 A_{31} < A_{23} \leqslant A_{31}.\]

Подсказка

Количество изломов ВАХ показывает, сколько диодов включено последовательно. Наклон участка до открытия диода даёт сопротивление резисторов, включённых до диода.

Ответ

Схема: последовательно соединены диод, участок из резистора \(R_1\) и диода, включённых параллельно, и резистор \(R_2\); \(R_1 = 20\text{ Ом}\), \(R_2 = 10\text{ Ом}\).

Решение

Поскольку на ВАХ присутствуют два излома, то в цепи два диода включены последовательно. Так как ток через ЧЯ начинает течь при достижении напряжения \(0{,}5\) В, следует считать, что к одному из диодов параллельно не подключены резисторы. Для удобства дальнейшего анализа перерисуем ВАХ чёрного ящика, исключив из неё участок с одиночным диодом. Получим характеристику, изображённую на рис. 22. Так как теперь ВАХ содержит излом, а сила тока линейно зависит от напряжения, мы можем сделать вывод, что в цепи есть резистор, включённый параллельно диоду (схема на рис. 23) или диоду с последовательно соединённым с ним резистором (схема на рис. 24).

Вторая схема не соответствует фрагменту цепи ЧЯ, так как излом ВАХ происходит при напряжении большем, чем напряжение открытия \(U_0 = 0{,}5\) В. Таким образом, остаётся проанализировать первую схему.

Пока диод закрыт, сила тока в цепи пропорциональна напряжению, а коэффициент пропорциональности найдём, взяв напряжение и силу тока для точки излома ВАХ: \[R_{1,2} = R_1 + R_2 = \frac{750\text{ мВ}}{25\text{ мА}} = 30\text{ Ом}.\] В момент открытия диода напряжение на нём, а значит и на резисторе \(R_1\), будет равно \(U_0 = 0{,}5\) В. Значит: \[R_1 = \frac{500\text{ мВ}}{25\text{ мА}} = 20\text{ Ом}.\]

Сопротивление резистора \(R_2 = R_{1,2} - R_2 = 10\text{ Ом}\). Изобразим цепь ЧЯ и укажем на ней значения сопротивлений резисторов (рис. 25).

Подсказка

Сравните растяжения пружин до и после перерезания нити \(AB\): пружины сначала соединены последовательно, затем параллельно.

Ответ

\(\Delta E = -\dfrac{(mg)^2}{4k}\), потенциальная энергия системы уменьшается.

Решение

В начальный момент (до перерезания нити \(AB\)) кинетическая энергия системы была равна нулю. После того, как нить \(AB\) перерезали, и колебания прекратились, кинетическая энергия вновь оказалась равной нулю. Потенциальная же энергия, связанная с деформацией пружин и с взаимодействием груза с Землёй, изменилась. Потенциальная энергия двух пружин, каждая из которых растянута силой \(mg\) на величину \(\Delta x_1 = \dfrac{mg}{k}\), равна \[E_{п,1} = 2\cdot\frac{k\,\Delta x_1^2}{2} = \frac{(mg)^2}{k}.\] После перерезания нити \(AB\) пружины оказались соединёнными параллельно. Груз приподнялся. Теперь каждая из пружин растянута на вдвое меньшую длину: \[\Delta x_2 = \frac{mg}{2k}.\] Потенциальная энергия пружин после перерезания нити: \[E_{п,2} = 2\cdot\frac{k\,\Delta x_2^2}{2} = \frac{(mg)^2}{4k}.\] После перерезания нити груз поднимется на высоту \[\Delta h = \Delta x_1 - \Delta x_2 = \frac{mg}{2k}.\] Изменение потенциальной энергии груза в поле тяжести равно \[\Delta E_т = mg\,\Delta h = \frac{(mg)^2}{2k}.\] В итоге потенциальная энергия системы изменится на: \[\Delta E = E_{п,2} - E_{п,1} + \Delta E_т = -\frac{(mg)^2}{4k}.\] Знак минус говорит о том, что потенциальная энергия уменьшится.