зад 1 Цепная линия
Цепной линией называют кривую, образуемую подвешенной за концы однородной массивной нитью. Пусть погонная плотность нити (масса единицы длины нити) \(\mu\), а её натяжение в нижней точке \(T_0\). Величина \(\lambda = T_0/\mu g\) является параметром, определяющим форму цепной линии. Если начало координат поместить в низшей точке цепной линии, то её можно задать уравнением: \[y = \lambda\left(\operatorname{ch}\dfrac{x}{\lambda} - 1\right) = \lambda\left[\dfrac12\left(e^{x/\lambda} + e^{-x/\lambda}\right) - 1\right].\]
От Вас не требуется вывод зависимости вертикальной координаты \(y\) точки нити от горизонтальной координаты \(x\). Вам следует разобраться в связи \(y\) и \(s\), где \(s\) — длина отрезка нити, отсчитываемая от низшей точки. Теоретическую зависимость Вы должны проверить, проведя измерения с цепочкой из скрепок.
Теоретическая часть:
Пусть натяжение нити в нижней точке равно \(T_0\). Для малого отрезка нити длиной \(\Delta s\) получите выражение для разницы сил натяжения \(\Delta T\) на его концах, выразив его через \(\mu\), и разность высот \(\Delta y\) концов отрезка.
Получите выражение для натяжения \(T\) нити на высоте \(y\) относительно нижней точки при заданном \(T_0\)?
Докажите, что если верхняя точка нити длины \(s\) возвышается над низшей точкой на высоту \(y\) (рис. 3), то \[\lambda = \dfrac{T_0}{\mu g} = \dfrac{s^2 - y^2}{2y}.\]
Экспериментальная часть:
Соберите из выданных вам скрепок цепочку. Подвесьте склеенный лист бумаги и цепочку на бруске так, чтобы максимальный провис \(H\) составлял \((0{,}3 \div 0{,}5)L\), где \(L\) — расстояние между точками подвеса цепочки. Укажите выбранное вами значение \(H/L\), число скрепок \(n\) и длину \(l\) скрепки (расстояние между точками соприкосновения её с соседними скрепками).
Отметьте фломастером на листе бумаги положения последовательных точек соприкосновения скрепок, начав с низшей точки (считайте её нулевой). Определите высоты этих точек, и результаты измерений занесите в таблицу.
Для каждой точки рассчитайте по измеренным высотам \(y_i\) и номеру \(n_i\) значения параметра \(\lambda\).
Укажите номера скрепок, для которых проявляется заметное отличие реальной цепочки от идеальной (заметное отличие параметра \(\lambda\) от его среднего значения).
Вычислите среднее значение \(\lambda\).
Вычислите среднее отклонение от среднего значения \(\lambda\).
Найдите отношение натяжения в нижней точке к весу одной скрепки: \(\tau = \dfrac{T_0}{mg}\).
Указание: на выданном вам листе отметьте и пронумеруйте точки сцепления скрепок, подпишите рядом их высоты, а результаты измерений и их обработки представьте в таблице. Лист подпишите. По окончании тура вложите его в тетрадь с отчетом о проделанной работе и сдайте вместе с нею.
Оборудование: 30–40 скрепок, лист бумаги формата А2, пенополиуретановый плинтус или деревянный брусок длиной 70–100 см (для крепления бумаги и цепочки: он кладётся на край стола, а цепочка и бумага свисают ниже столешницы), фломастер, 4 «силовые» металлопластиковые кнопки, линейка длиной 40 см.
▶ПодсказкаСкрыть
Натяжение в любой точке цепочки складывается из натяжения в низшей точке и веса участка от низшей точки; сравните выражение для \(T\) с законом сохранения горизонтальной и вертикальной компонент натяжения в точке на высоте \(y\).
▶ОтветСкрыть
\(H/L = 0{,}56\), \(n = 42\) скрепки, \(l = 25{,}9\) мм; \(\lambda_{\text{ср}} = 165\) мм, \((\Delta\lambda)_{\text{ср}} = 6\) мм, \(\tau_{\text{ср}} = 6{,}33\), \(\varepsilon_\tau = 4\,\%\). Первые две нижние скрепки (№ 1 и № 2) в среднее не включены.
▶РешениеСкрыть
1. Для малого отрезка нити длиной \(\Delta s\) с углом наклона \(\alpha\) к горизонтали разница сил натяжения на концах \(\Delta\vec T = -\mu\vec g\,\Delta s\), а изменение величины силы натяжения равно проекции вектора \(\Delta\vec T\) на направление вектора \(\vec T\): \[\Delta T = |\Delta\vec T|\sin\alpha = \mu g\,\Delta s\sin\alpha = \mu g\,\Delta y.\] 2. На высоте \(y\) натяжение нити \(T = T_0 + \mu g y\).
3. Рассмотрим отрезок нити от нижней нулевой точки до точки, находящейся на высоте \(y\) при длине отрезка \(s\). Пусть \(T\) — натяжение в этой точке, а \(T_x\) и \(T_y\) его проекции на горизонталь и вертикаль. Запишем условие равновесия нити в проекциях на горизонталь и вертикаль: \(T_x = T_0\) и \(T_y = \mu g s\). Отсюда \[T^2 = T_0^2 + (\mu g s)^2.\] После подстановки \(T = T_0 + \mu g y\) в это уравнение находим \[\lambda = \dfrac{T_0}{\mu g} = \dfrac{s^2 - y^2}{2y}.\]
4. Отметим \(H/L\), число скрепок \(n\). Для повышения точности длину одной скрепки \(l\) измеряем по длине натянутого отрезка цепочки из 30–40 скрепок.
5. Если цепочка скрепок подвешена на небольшом расстоянии от миллиметровой бумаги, то положение точек соприкосновения можно отметить с точностью \(0{,}5\)–\(1\) мм.
6. Рассчитываем \(\lambda\) по формуле: \[\lambda = \dfrac{(n_i l)^2 - y_i^2}{2y_i}.\] Результаты эксперимента приведены в таблице (см. ниже), в которой для первых двух скрепок (выделены) значения \(\lambda\) заметно отличаются от теоретических и в среднее не включены.
Разброс для \(\lambda\) сопоставим с тем, что следует из погрешности измерения \(y\) (\(2\,\%\)) и «сдвига» на 1 и 2 скрепки. Вывод: цепочка скрепок в целом адекватно моделирует цепную линию, за исключением ближней окрестности нижней точки.
зад 2 Закон деформации кольца. Скорость звука
Необходимые сведения. Скорость звука в твёрдом теле можно рассчитать по формуле \(c = \sqrt{E/\rho}\), где \(E\) — модуль Юнга, \(\rho\) — плотность вещества. Модуль Юнга характеризует упругие свойства вещества, определяя жёсткость различных систем и конструкций. Например, относительная деформация \(\varepsilon\) стержня сечением \(S\) под действием растягивающей (или сжимающей) силы \(F\) равна \[\varepsilon = \dfrac{\Delta l}{l} = \dfrac{F}{SE}.\] Эту формулу можно принять в качестве определения модуля Юнга.
Относительное изменение диаметра \(D\) кольца шириной \(h\) и толщиной стенки \(\delta\) под действием двух сосредоточенных сил \(F\), действующих вдоль диаметра (рис. 4), при небольших деформациях \(x\) можно найти по формуле: \[\varepsilon = \dfrac{x}{D} = \beta F^m E^n D^p h^q \delta^i,\] где \(m, n, p, q, i\) — некоторые целые числа, а \(\beta\) — безразмерный коэффициент.
Задание.
Руководствуясь соображениями размерностей, известными физическими законами и проведя необходимые измерения, определите показатели степеней \(m, n, p, q, i\) в законе деформации кольца (1). Запишите полученный закон деформации кольца.
По известной скорости звука \(c_0 = 5240\) м/с в алюминии (плотность \(\rho_{\text{Al}} = 2{,}70\) г/см\(^3\)) определите скорость звука \(c\) в полиэтилентерефталате (\(\rho_{\text{ПЭТ}} = 1{,}39\) г/см\(^3\)).
Оборудование: тонкостенное алюминиевое кольцо известной массы (указана на внутренней стороне кольца), два тонкостенных кольца из полиэтилентерефталата (ПЭТ) одинаковой ширины и разных диаметров (масса колец также указана на их внутренней стороне), нить, линейка, миллиметровая бумага, скотч и ножницы (по требованию).
▶ПодсказкаСкрыть
Из размерностей и закона Гука получите показатели \(m\), \(n\) и \(q\); показатель \(p\) найдите, сравнивая деформации двух колец из ПЭТ разного диаметра при одинаковой силе.
▶ОтветСкрыть
\(m = 1\), \(n = -1\), \(p = 2\), \(q = -1\), \(i = -3\): закон деформации \(\varepsilon = \dfrac{x}{D} = \beta\,\dfrac{FD^2}{Eh\delta^3}\); \(c = 1450\) м/с.
▶РешениеСкрыть
Закон деформации колец. Проанализируем уравнение (1). По закону Гука малые деформации пропорциональны силе: \(\varepsilon \sim F\), поэтому \(m = 1\). Увеличение ширины кольца в два раза (при прочих равных параметрах кольца) можно представить как два кольца, расположенных рядом. Следовательно, для сохранения относительной деформации потребуется в два раза большая сила. Учитывая, что \(m = 1\), получаем \(\varepsilon \sim F/h\), \(q = -1\).
Размерность модуля Юнга \([E] = \text{ Н/м}^2 = \text{ кг/(м·с}^2\text{)}\). Для исключения размерности массы и времени (которые присутствуют в силе \(F\) и модуле Юнга \(E\)) следует считать, что \(\varepsilon \sim F/E\), поэтому \(n = -1\).
Поскольку \(\varepsilon\) — безразмерная величина, должно выполняться равенство: \[m - n + p + q + i = 0.\] С учётом найденных ранее коэффициентов получим: \(p + i = -1\).
Для определения показателя степени \(p\) проведём эксперимент с двумя кольцами из ПЭТ. Измерим ширину \(h\) и длину окружности \(L = \pi D\) полиэтилентерефталатовых колец. Зная массу \(m\) и плотность \(\rho\) этих материалов, вычислим толщину колец \(\delta = m/(\rho L h)\). Получим, что \(\delta_2 \approx \delta_1\).
Сложим кольца в виде «восьмёрки» и стянем их ниткой. Деформирующая сила для обоих колец будет одинакова. Измеряем абсолютные деформации диаметров колец \(x_1\), \(x_2\) в этом случае. По условию ширина колец \(h\) одинакова, поэтому для нахождения \(p\) используем уравнение: \[\dfrac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1} = \left(\dfrac{D_2}{D_1}\right)^p = \left(\dfrac{L_2}{L_1}\right)^p.\] В нашем случае получилось уравнение \(1{,}5^p = 2{,}3\). Его корнем является число \(p \approx 2{,}05\). Так как по условию \(p\) — целое число, то примем \(p = 2\). Показатель степени \(i\) находим из уравнения: \(i = -p - 1 = -3\). Закон деформации кольца имеет вид: \[\varepsilon = \dfrac{x}{D} = \beta\,\dfrac{FD^2}{Eh\delta^3}.\] Для справки, точная формула имеет вид (Ландау, Лифшиц, т. VII, «Теория упругости»): \[\varepsilon = \dfrac{x}{D} = \dfrac{3\pi^2 - 24}{8\pi}\,\dfrac{FD^2}{Eh\delta^3}.\]
2. Скорость звука. Деформацию кольца \(x\) выражаем через скорость звука \(c\) и массу кольца \(m\): \[c = \sqrt{\dfrac{E}{\rho}} = \dfrac{D^2}{\delta}\sqrt{\dfrac{\pi\beta F}{m x}}.\] Если кольца деформировать одной и той же силой, то для отношения скоростей звука получаем: \[c = c_0\left(\dfrac{D}{D_0}\right)^2\dfrac{\delta_0}{\delta}\sqrt{\dfrac{m_0 x_0}{m x}}.\] Деформируем кольца одинаковой силой (для этого достаточно расположить их в виде восьмёрки и стянуть одной и той же нитью). Измеряем их деформации (\(x\) — для кольца из полиэтилентерефталата и \(x_0\) — для кольца из алюминия). По полученным данным находим скорость звука в полиэтилентерефталате: \(c = 1450\) м/с.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2013/14, региональный этап, 11 класс, экспериментальный тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.