ВсОШ, 2013/14, региональный этап, 9 класс, экспериментальный тур

Подсказка

Подумайте, как связаны изменение уровня воды внутри пробирки и изменение глубины её погружения, и какие величины можно измерить независимо от плотности стекла.

Ответ

\(\rho = 2{,}15 \pm 0{,}12\) г/см\(^3\);  \(d/D = 0{,}85 \pm 0{,}03\).

Решение

Для того, чтобы пробирка плавала вертикально, нужно налить в неё некоторое количество воды. Та часть пробирки, для которой мы проводим измерения глубины погружения, должна быть цилиндрической. Для измерения требуемых уровней воды наклеим на пробирку с помощью скотча полоску миллиметровой бумаги, которая будет служить нам шкалой. Параметры \(x\) и \(y\) можно измерять относительно произвольного фиксированного уровня.

Пусть начальный объём воды в пробирке равен \(V_{1,0}\), а начальный объём вытесненной пробиркой воды равен \(V_{2,0}\). Тогда текущий объём воды в пробирке \(V_1\) равен \[V_1 = V_{1,0} + \dfrac{\pi d^2}{4}\,x,\] а текущий объём вытесненной пробиркой воды \(V_2\) равен \[V_2 = V_{2,0} + \dfrac{\pi D^2}{4}\,y.\] По закону Архимеда: \[(m + \rho_0 V_1)\,g = \rho_0 V_2\,g.\] Подставив выражения для \(V_1\) и \(V_2\) в закон Архимеда, получим: \[m + \rho_0\Bigl(V_{1,0} + \dfrac{\pi d^2}{4}\,x\Bigr) = \rho_0\Bigl(V_{2,0} + \dfrac{\pi D^2}{4}\,y\Bigr).\] Из этой формулы видно, что \(y\) линейно зависит от \(x\), то есть угловой коэффициент на графике равен \[k = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{d^2}{D^2}.\] В нашем случае \(k = 0{,}73 \pm 0{,}05\), откуда \[\dfrac{d}{D} = \sqrt{k} = 0{,}85 \pm 0{,}03.\]

Обмотав пробирку кусочком миллиметровой бумаги, определим периметр \(P = \pi D = 50{,}0 \pm 1{,}0\) мм. Тогда внешний диаметр \(D = 15{,}9 \pm 0{,}3\) мм. Внутренний диаметр пробирки можно измерить, долив в неё шприцем воду и измерив изменение уровня \(\Delta x\). Объём налитой воды \(\Delta V_1 = \dfrac14\pi d^2\,\Delta x\) нам известен, поскольку мы наливаем её шприцем. У нас получилось \(d = 14{,}0 \pm 0{,}7\) мм.

Объёмы \(V_1\) и \(V_2\) можно измерить непосредственно: воду в пробирку мы заливаем шприцем, а объём вытесненной воды найдём, погружая малую пробирку в большую на ту же глубину. Тогда масса пробирки \[m = \rho_0 (V_2 - V_1).\] Делаем это для 4–5 значений \(y\) и проводим усреднение: \(m = 16{,}1 \pm 0{,}3\) г.

С помощью большой пробирки и шприцев найдём внутренний \(V_{1,\max}\) и внешний объём \(V_{2,\max}\) исследуемой пробирки. Тогда объём стекла пробирки \(V = V_{2,\max} - V_{1,\max}\). Полученное нами значение: \(V = 7{,}5 \pm 0{,}3\) мл. Находим плотность стекла: \[\rho = \dfrac{m}{V} = 2{,}15 \pm 0{,}12~\text{г/см}^3.\]

Подсказка

Сравнивайте яркость ламп при разных парах выводов: по ней можно судить о том, сколько батареек включено между выводами.

Ответ

1) Яркости ламп одинаковы при подключении к двум парам выводов: лампы горят одинаково (сопротивления равны). 2) Верная схема — рис. 3 (с точностью до полярности батареек): к выводам \(A\) и \(B\) подключены по две батарейки, к \(C\) — одна. 3) Лампы \(A\) и \(B\) горят одинаково ярко, лампа \(C\) не горит.

Решение

1. Найдём такие выводы «серого» ящика, что при подключении двух ламп обе лампы светятся. Поскольку лампы соединены последовательно, то через них протекает ток одинаковой силы. Тогда одинаковая яркость свечения свидетельствует об одинаковой мощности и, следовательно, об одинаковом сопротивлении ламп. Достаточно проверки для двух разных пар ламп.

2. Для определения схемы в «сером» ящике наблюдаем за яркостью свечения ламп при их различном подсоединении к выводам серого ящика. При подсоединении двух ламп получаем следующие результаты: выводы \(A\) и \(B\): две лампы горят ярко; выводы \(A\) и \(C\): две лампы горят тускло; выводы \(B\) и \(C\): две лампы горят тускло.

Определим схему, перебрав все варианты, и исключим те, которые не подходят под проведённые измерения. Все остальные возможные варианты (полученные заменой полярности батареек) будут давать тот же результат при присоединении ламп, что и 6 вариантов, приведённых в таблице:

При подключении пар выводов, один из которых \(C\), лампы горят тускло, поэтому выводу \(C\) соответствует луч с одной батарейкой. При подключении выводов \(A\) и \(B\) — две батарейки, лампы горят ярко. Верная схема приведена на рис. 3. Луч с двумя батареями отличить от луча без батарей по характеру свечения нельзя, поэтому возможны две схемы (без учёта изменения полярностей).

3. При подсоединении трёх ламп к «серому» ящику: лампа \(A\) светится ярко, \(B\) — ярко, \(C\) — не светится. В этом случае, считая батареи идеальными, а сопротивления ламп одинаковыми, можно рассчитать схему и получить, что силы токов, текущих через выводы \(A\), \(B\) равны, а через вывод \(C\) ток не течёт. Этот результат можно получить качественными рассуждениями. Если мысленно отключить лампу \(C\), то напряжения на одинаковых лампах (подключённых к \(A\) и \(B\)) равны и равны э.д.с. одной батареи. Тогда, учитывая полярность третьей батареи, лампа \(C\) подсоединяется к контактам, исходное напряжение на которых нулевое. Поэтому она гореть не будет (даже независимо от её сопротивления), а лампы \(B\) и \(A\) будут гореть одинаково ярко.