ВсОШ, 2014/15, региональный этап, 10 класс, теоретический тур

Свяжите удлинения пружин через блок и нить и выразите силу через смещение свободного конца нити. Работа равна площади под графиком силы.

\(A \approx 7\cdot 10^{-2}\text{ Дж}\).

Из-за блока сила, растягивающая верхнюю пружину, вдвое больше. Тогда по закону Гука деформации верхней и нижней пружин одинаковы: \(F = kx\), \(2F = 2kx\). Пусть при смещении свободного конца на \(x\) вниз растяжение верхней пружины увеличивается на \(y\). При этом блок опустится вниз на \(y\). Растяжение нижней пружины тоже равно \(y\). Поскольку нить нерастяжима, \(x = 3y\).

Внешняя сила сначала равна \(F = kx\), в конце \(F_1 = k(x+y) = \dfrac{4}{3}kx = \dfrac{4}{3}F\) и линейно зависит от смещения. Работу этой силы найдём как площадь под графиком \(F(y)\): \[A = \frac{F+F_1}{2}\,x = \frac{7}{6}\,Fx = 7\cdot 10^{-2}\text{ Дж}.\]

Работы процессов \(1-2-4-1\) и \(2-3-4-2\) складываются, потому что общий участок \(2-4\) проходится в противоположных направлениях. Остальное — закон сохранения энергии для цикла \(1-2-4-1\) и определение КПД.

\(\eta = 36\%\).

В процессе \(1-2-4-1\) на участке \(1-2\) к газу подводят количество теплоты \(Q_1\), а на участке \(2-4\) газ отдаёт количество теплоты \(Q\). В процессе \(2-3-4-2\) на участке \(4-2\) к газу подводят количество теплоты \(Q\), а на участке \(3-4\) газ отдаёт количество теплоты \(Q_2\). В процессе \(1-2-3-4-1\) на участке \(1-2\) к газу подводят количество теплоты \(Q_1\), а на участке \(3-4\) газ отдаёт количество теплоты \(Q_2\). В процессах \(1-2-4-1\) и \(2-3-4-2\) газ проходит один и тот же участок \(2-4\), но в разных направлениях, поэтому в одном цикле на этом участке совершается положительная работа, а в другом такая же по величине, но отрицательная. Отсюда следует, что \(A = A_1 + A_2\).

По определению коэффициента полезного действия \[\eta_1 = \frac{A_1}{Q_1}, \qquad \eta_2 = \frac{A_2}{Q}.\] Поскольку \(\eta_1 = \eta_2\), то \(Q = \dfrac{A_2}{A_1}\,Q_1\). По закону сохранения энергии для цикла \(1-2-4-1\) имеем \(A_1 = Q_1 - Q\), откуда \[Q_1 = \frac{A_1^2}{A_1 - A_2}.\] Зная работу \(A\) и количество теплоты \(Q_1\), находим искомый КПД: \[\eta = \frac{A}{Q_1} = \frac{A_1^2 - A_2^2}{A_1^2} = 36\%.\]

Сначала проверьте, не выходит ли воздух из пробирки при подъёме: сравните объём воздуха с объёмом пробирки. Если воздух выходит, то после подъёма в пробирке остаётся воздух при атмосферном давлении.

\(T \approx 252\text{ K}\) (\(\approx -21\,^\circ\text{C}\)).

Пусть \(S\) — площадь внутреннего сечения пробирки. Проверим, не выходит ли часть воздуха из пробирки при её (почти полном) извлечении из ртути. В конечном состоянии объём воздуха не может превышать объёма пробирки (иначе часть воздуха выйдет), а давление не может превышать атмосферного (оно равно атмосферному, если пробирка заполнена в конечном положении целиком, и меньше атмосферного, если в ней есть жидкость). Таким образом, по закону Бойля—Мариотта должно выполняться условие \[p_{\text{нач}}V_{\text{нач}} = p_{\text{кон}}V_{\text{кон}} \le p_0 V_{\text{пробирки}},\] т.е. \((p_0 + \rho g(l-h))(l-h) - p_0 l \le 0\). Это условие не выполняется. Поэтому за время подъёма часть воздуха из пробирки выходит. После подъёма пробирка будет целиком заполнена воздухом при атмосферном давлении. Запишем уравнение состояния для воздуха в этом случае, где \(H = \dfrac{p_0}{\rho g} = 760\text{ мм}\): \[p_0 V_0 = \rho g H \cdot lS = \nu R T_0.\] После изменения температуры уравнение состояния примет вид: \[\rho g (H-h)\cdot(l-h)S = \nu R T.\] Поделив второе уравнение на первое, получим \[T = T_0\,\frac{(H-h)(l-h)}{Hl} \approx 252\text{ K} \approx -21\,^\circ\text{C}.\] Если не учесть выход воздуха из пробирки, получается неправильный ответ \(T = T_0\,\dfrac{H-h}{H+(l-h)} \approx 202\text{ K} = -71\,^\circ\text{C}\). Заметим, что температура плавления ртути \(-38{,}8\,^\circ\text{C}\), поэтому такая ситуация вряд ли реализуется.

\(V = \dfrac{U(\rho_1 - \rho_2)}{2(\rho_1 + \rho_2)}\).

Сопротивление проводника длиной \(L\) и площадью поперечного сечения \(S\), удельное сопротивление которого линейно меняется с расстоянием от \(\rho_l\) до \(\rho_r\), можно найти по формуле \(R = \dfrac{\rho_l + \rho_r}{2}\cdot\dfrac{L}{S}\). Для нахождения показания вольтметра мысленно разобьём каждый проводник посередине на два последовательно соединённых (рис. 16). Применим для них эту формулу; для верхнего проводника получим \[\frac{R_1}{R_2} = \frac{\rho_2 + (\rho_1+\rho_2)/2}{\rho_1 + (\rho_1+\rho_2)/2} = \frac{\rho_1 + 3\rho_2}{3\rho_1 + \rho_2}.\]

Поскольку при последовательном соединении проводников напряжение на них падает пропорционально сопротивлению, падение напряжения на резисторе \(R_2\) равно \[V_2 = U\,\frac{R_2}{R_1+R_2} = U\,\frac{3\rho_1+\rho_2}{4(\rho_1+\rho_2)},\] аналогично \[V_4 = U\,\frac{R_4}{R_3+R_4} = U\,\frac{\rho_1+3\rho_2}{4(\rho_1+\rho_2)}.\] Падение напряжения на резисторе \(R_2\) равно сумме падений напряжений на резисторе \(R_4\) и вольтметре: \(V_2 = V_4 + V\), откуда \[V = V_2 - V_4 = \frac{U(\rho_1-\rho_2)}{2(\rho_1+\rho_2)}.\]

При ударе гладких шайб сила направлена вдоль линии центров. Запишите законы сохранения импульса и энергии, а угол между линией центров и осью \(x\) свяжите с прицельным параметром.

\(d = \sqrt{2}\,R\) (при \(\alpha = 45^\circ\)).

Поскольку шайбы гладкие, при столкновении действующие между ними силы направлены вдоль прямой, соединяющей центры шайб (рис. 17). Обозначим \(\vec v\) — скорость второй шайбы после столкновения. Поскольку шайбы одинаковы, их массы равны. По закону сохранения импульса скорость первой шайбы после столкновения будет равна \(\vec v_0 - \vec v\). Поскольку удар абсолютно упругий, кинетическая энергия сохраняется: \[v_0^2 = (\vec v_0 - \vec v)^2 + v^2 = v_0^2 - 2v_0 v\cos\alpha + 2v^2, \quad \text{откуда} \quad v = v_0\cos\alpha.\]

Проекция скорости второй шайбы на ось \(y\) равна \[v\sin\alpha = v_0\cos\alpha\sin\alpha = \frac{v_0}{2}\sin 2\alpha.\] Проекция максимальна при \(\alpha = 45^\circ\), и в этом случае \(d = \sqrt{2}\,R\).