ВсОШ, 2014/15, региональный этап, 11 класс, экспериментальный тур

Подсказка

Запишите закон теплообмена для малого интервала времени и выразите \(\alpha\) через производную \(\Delta T/\Delta t\), которую найдите по графику \(T_{\text{в}}(t)\).

Ответ

Среднее значение \(\alpha \approx 0{,}25\text{ Дж/(град·с)}\); при \(T_{\text{в}} \le 80\,^\circ\text{C}\) \(\alpha\) постоянна с точностью 16–20%, т.е. предположение справедливо.

Решение

Пусть количество теплоты, отдаваемое водой и стаканом за время \(\Delta t\), равно \(Q\), а содержимое стакана при температуре \(T_{\text{в}}\) за это время остыло на \(\Delta T\) градусов. Тогда, согласно условию задачи, \[(C_{\text{в}}M_{\text{в}} + C_{\text{с}}M_{\text{с}})\,\Delta T = \alpha\,(T_{\text{в}} - T_{\text{к}})\,\Delta t.\] Обозначим \(C_0 = C_{\text{в}}M_{\text{в}} + C_{\text{с}}M_{\text{с}}\). При подстановке численных значений из условия получаем \(C_0 = 443\text{ Дж/град}\). Тогда \[\alpha = \frac{C_0}{T_{\text{в}} - T_{\text{к}}}\cdot\frac{\Delta T}{\Delta t}.\] Здесь \(\Delta T/\Delta t\) — производная функции \(T_{\text{в}}(t)\). Её находят по экспериментальным данным: строят график \(T_{\text{в}}(t)\) и определяют тангенс угла наклона касательной в точке, соответствующей заданному значению \(T_{\text{в}}\). Повторив операцию при разных \(T_{\text{в}}\), по формуле вычисляют \(\alpha\) для различных значений \(T_{\text{в}}\).

В официальном решении результаты приведены для восьми значений \(T_{\text{в}}\): при \(T_{\text{в}} = 77\,^\circ\text{C}\) \(\alpha = 0{,}29\), при \(65\,^\circ\text{C}\) — \(0{,}27\), при \(60\,^\circ\text{C}\) — \(0{,}26\), при \(55\,^\circ\text{C}\) — \(0{,}24\), при \(50\,^\circ\text{C}\) — \(0{,}22\), при \(45\,^\circ\text{C}\) — \(0{,}22\), при \(40\,^\circ\text{C}\) — \(0{,}24\), при \(36\,^\circ\text{C}\) — \(0{,}25\) (все \(\alpha\) в \(\text{Дж/(град·с)}\)).

Если считать, что среднее значение \(\alpha = 0{,}25\text{ Дж/(град·с)}\), то максимальное отклонение \(\alpha\) от этого значения (при \(T_{\text{в}} = 77\,^\circ\text{C}\)) составляет 16%. Таким образом, \(\alpha\) вплоть до \(80\,^\circ\text{C}\) остаётся величиной постоянной с точностью 16–20%. Значительную роль в ручной обработке играет субъективный фактор (построение графика и проведение касательной зависят от аккуратности исполнителя).

Подсказка

Угол наклона, при котором брусок начинает скользить, связан с коэффициентами трения на обоих концах бруска. Запишите условия равновесия (силы и моменты) в граничном случае для обеих полосок и выразите разность коэффициентов через углы.

Ответ

1) Да, различие заметно: при наждачной полоске у нижнего края критический угол заметно больше; 2) \(\mu_2 - \mu_1 = \dfrac{2L(x_2 - x_1)}{H(x_2 + x_1)}\), где \(x_1\), \(x_2\) — расстояния от бруска до вершины угла в двух случаях; 3) по критериям организаторов ориентир для \(\Delta\mu\) — от \(0{,}45\) до \(0{,}51\) (попадание в 10%).

Решение

1. а) Для определения угла наклона плоскости ставим брусок на миллиметровую бумагу и измеряем по ней расстояние \(x\) от бруска до вершины угла, образуемого пластиной с горизонталью; тогда \(\operatorname{tg}\alpha = h/x\), где \(h\) — высота бруска (постоянная величина). При фиксированной высоте наклон однозначно задаётся значением \(x\).

б) Если выполнить предложенные действия, обнаружится, что при наждачной полоске у нижнего угла бруска угол наклона плоскости, приводящий к проскальзыванию, заметно больше, чем в случае, когда она сверху.

2. а) Рассмотрим начало проскальзывания бруска. Обозначим коэффициенты трения у верхней и нижней полоски \(\mu_1\) и \(\mu_2\), продольный и поперечный размеры бруска \(H\) и \(L\), массу бруска \(m\), ускорение свободного падения \(g\). (Считаем, что \(\mu_2\) относится к наждачной бумаге, а \(\mu_1\) — к гладкой поверхности изоляционной ленты.) Введём силы нормального давления \(N_1\) и \(N_2\) в точках 1 и 2 (верхняя и нижняя полоски). В граничном случае силы трения равны \(\mu_1N_1\) и \(\mu_2N_2\).

Из равновесия сил по нормали к пластине, вдоль неё и из равенства моментов сил относительно центра масс (или средней точки нижней грани): \[N_1 + N_2 = mg\cos\alpha, \qquad \mu_1N_1 + \mu_2N_2 = mg\sin\alpha, \qquad (N_2 - N_1)\frac{L}{2} = (\mu_1N_1 + \mu_2N_2)\frac{H}{2}.\] Отсюда \(N_1 = \dfrac{mg}{2}\left(\cos\alpha - \dfrac{H}{L}\sin\alpha\right)\) и \(N_2 = \dfrac{mg}{2}\left(\cos\alpha + \dfrac{H}{L}\sin\alpha\right)\). Подставив их во второе уравнение, получим соотношение, связывающее коэффициенты трения с критическим углом: \[(\mu_1 + \mu_2) + (\mu_2 - \mu_1)\frac{H}{L}\operatorname{tg}\alpha = 2\operatorname{tg}\alpha.\] При полоске с \(\mu_1\) ниже, обозначив критический угол \(\beta\), получим \[(\mu_1 + \mu_2) - (\mu_2 - \mu_1)\frac{H}{L}\operatorname{tg}\beta = 2\operatorname{tg}\beta.\] Отсюда находим \[\mu_1 + \mu_2 = \operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta,\] а для искомой разности коэффициентов трения \[\mu_2 - \mu_1 = \frac{2L\,(\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta)}{H\,(\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta)}.\]

б) \(H\) и \(L\) измеряются с помощью миллиметровой бумаги. Тангенсы углов выражаются через \(h\) и \(x\): если расстояния от бруска до вершины угла в двух случаях равны \(x_1\) и \(x_2\), то \(\operatorname{tg}\alpha = h/x_1\), \(\operatorname{tg}\beta = h/x_2\). Тогда \[\mu_2 - \mu_1 = \frac{2L\,(x_2 - x_1)}{H\,(x_2 + x_1)},\] в это выражение \(h\) не входит: для нахождения разности коэффициентов трения достаточно определить лишь \(x_1\) и \(x_2\).

3. а) Измерения \(L\) и \(H\) достаточно просты и проводятся с ошибкой не больше 0,5 мм; для \(H\) относительная погрешность не больше 2%. Достаточно однократного аккуратного измерения.

б) Измерения расстояния \(x\) менее надёжны: трудно уловить момент начала проскальзывания, и брусок может зацепиться за локальный дефект поверхности бумаги, покрывающей наклонную плоскость. Поэтому сначала грубо определяем \(x\) с избытком и недостатком, постепенно сужая границы. Влияние локальных дефектов можно устранить, помещая брусок на разные места плоскости или слегка постукивая по ней. При таких предосторожностях границы сужаются до 1–2 мм; при \(x_2 - x_1 \approx 20\text{–}30\) мм это даёт относительную погрешность меньше 10%. Троекратное попадание в этот диапазон означает, что воспроизводимость измерений достаточна.

в) Основной вклад в погрешность определения \(\mu_2 - \mu_1\) вносит погрешность \((x_1 - x_2)\). Организаторам целесообразно провести независимые измерения коэффициентов трения \(\mu_2\) и \(\mu_1\) по отдельности: у составителей такие измерения согласовывались лучше, чем 10%.