ВсОШ, 2014/15, региональный этап, 11 класс, теоретический тур

Запишите второй закон Ньютона для бруска и для доски. Затем закон сохранения энергии для системы «брусок + доска»: работа внешней силы идёт на кинетическую энергию и на тепло.

\(a = \dfrac{Q}{ML}\).

Пусть \(m\) — масса бруска, \(a\) — искомое ускорение доски, \(ka\) — ускорение бруска (\(k > 1\)), \(F\) — величина постоянной силы, действующей на брусок, \(F_{\text{тр}}\) — величина силы трения. Запишем второй закон Ньютона для бруска и доски в проекции на горизонтальную ось: \[F - F_{\text{тр}} = mka, \qquad F_{\text{тр}} = Ma.\] Если за \(t\) обозначить время движения бруска от одного края доски до другого, то в лабораторной системе отсчёта путь, пройденный бруском, равен \(L_m = kat^2/2\), а путь, пройденный доской, равен \(L_M = at^2/2\). Разность этих путей есть длина доски: \(L = L_m - L_M\).

Работа силы, приложенной к бруску, равна \[A = F\,L_m = (mka + Ma)\,L_m.\] Закон сохранения энергии для системы «брусок + доска»: \[A = \frac{m}{2}(kat)^2 + \frac{M}{2}(at)^2 + Q = mkaL_m + MaL_M + Q.\] С учётом выражения для работы после сокращения получаем \[Q = Ma\,(L_m - L_M) = MaL, \quad \text{откуда} \quad a = \frac{Q}{ML}.\]

Альтернативное решение. Количество теплоты, выделившейся при трении, равно произведению силы трения на относительное перемещение трущихся тел: \(Q = F_{\text{тр}}L\), откуда \(F_{\text{тр}} = Q/L\). Ускорение доски \(a = F_{\text{тр}}/M\), следовательно, \(a = \dfrac{Q}{LM}\).

Шарик движется по окружности: запишите второй закон Ньютона вдоль нити для угла \(\varphi\) от вертикали и закон сохранения энергии для скорости.

\(a = g\); ситуация возможна при \(60^\circ \le \alpha < 90^\circ\).

Обозначим массу шарика \(m\), а длину нити \(l\). Шарик в любой момент движется по окружности радиуса \(l\), поэтому амплитуда колебаний не должна превышать \(90^\circ\). Рассмотрим момент, когда нить составляет угол \(\varphi\) с вертикалью. Второй закон Ньютона для шарика в проекции на ось, параллельную нити: \[m\frac{v^2}{l} = T - mg\cos\varphi.\] Из закона сохранения энергии \[\frac{mv^2}{2} = mgl(\cos\varphi - \cos\alpha), \quad \text{откуда} \quad mv^2 = 2mgl(\cos\varphi - \cos\alpha).\] Подставив это в предыдущее уравнение, получим \[T = mg\,(3\cos\varphi - 2\cos\alpha).\] Видно, что сила натяжения минимальна при \(\varphi = \alpha\) и равна \(T_{\min} = mg\cos\alpha\). При таком \(\varphi\), что \(\cos\varphi = 2\cos\alpha\), \(T = 4T_{\min} = 2mg\cos\varphi\). В этот момент нормальное ускорение шарика равно \[a_n = \frac{T - mg\cos\varphi}{m} = g\cos\varphi,\] а тангенциальное ускорение \(a_\tau = g\sin\varphi\). Полное ускорение \[a = g\sqrt{\cos^2\varphi + \sin^2\varphi} = g.\] Сила натяжения может в 4 раза превышать минимальную, если существует угол \(\varphi\), такой что \(\cos\varphi = 2\cos\alpha\). Так как \(\cos\varphi \le 1\), то \(2\cos\alpha \le 1\), откуда \(\alpha \ge 60^\circ\). Значит, описанная ситуация возможна при \(60^\circ \le \alpha < 90^\circ\).

Сначала проверьте, достаточно ли напряжения \(U_0\), чтобы открыть диод. Затем используйте закон сохранения заряда и закон сохранения энергии.

При \(U_D \ge U_0/2\) (диод не открывается): 1) \(U_1 = U_2 = U_0/2\), \(U_3 = 0\); 2) \(Q = \dfrac{CU_0^2}{4}\); 3) \(Q_D = 0\); 4) \(Q_R = \dfrac{CU_0^2}{4}\). При \(U_D < U_0/2\): 1) \(U_1 = U_2 = \dfrac{U_0 + U_D}{3}\), \(U_3 = \dfrac{U_0 - 2U_D}{3}\); 2) \(Q = \dfrac{C(U_0^2 - U_D^2)}{3}\); 3) \(Q_D = \dfrac{C\,U_D(U_0 - 2U_D)}{3}\); 4) \(Q_R = \dfrac{C(U_0^2 - U_0U_D + U_D^2)}{3}\).

Нужно рассмотреть два случая. При малых напряжениях \(U_0\) правый конденсатор вообще не заряжается, так как напряжение на среднем конденсаторе не превзойдёт напряжение открытия диода \(U_D\). Если диод не открывается, то первоначальный заряд левого конденсатора делится поровну между двумя конденсаторами (конденсаторы пронумерованы слева направо): \(U_1 = U_2 = U_0/2\), \(U_3 = 0\). Этот случай реализуется при \(U_D \ge U_0/2\). Выделившееся в цепи количество теплоты найдём из закона сохранения энергии: \[Q = \frac{CU_0^2}{2} - 2\cdot\frac{C(U_0/2)^2}{2} = \frac{CU_0^2}{4}.\] Поскольку ток через диод не тёк, всё тепло выделилось на резисторе.

Теперь рассмотрим случай \(U_D < U_0/2\). При зарядке правого конденсатора напряжение на нём \(U_3\) будет меньше напряжения на среднем \(U_2\) на величину \(U_D\). Напряжения на левом и среднем конденсаторах к окончанию перезарядки равны: \(U_1 = U_2 = U\), \(U_3 = U - U_D\). Закон сохранения заряда: \[CU_0 = 2CU + C(U - U_D), \quad \text{откуда} \quad U = \frac{U_0 + U_D}{3}.\] Общее количество теплоты, выделившееся к концу процесса в схеме, равно разности начальной и конечной энергий конденсаторов: \[Q = \frac{CU_0^2}{2} - CU^2 - \frac{C(U - U_D)^2}{2} = \frac{C(U_0^2 - U_D^2)}{3}.\] Напряжение на третьем конденсаторе \(U_3 = U - U_D = \dfrac{U_0 - 2U_D}{3}\). Тепло, выделившееся на диоде, \(Q_D = q_D U_D\), где \(q_D = CU_3\) — заряд правого конденсатора к концу процесса перезарядки. Таким образом, \[Q_D = \frac{C\,U_D\,(U_0 - 2U_D)}{3}.\] Остальное тепло выделится на резисторе: \[Q_R = Q - Q_D = \frac{C\,(U_0^2 - U_0U_D + U_D^2)}{3}.\]

\(\eta = 18\%\).

График процесса состоит из четырёх прямых, каждую из которых можно задать уравнением вида \[y + nx = c,\] где \(y = \ln(p/p_0)\), \(x = \ln(V/V_0)\), \(c\) — некоторая константа. Для участков \(AB\) и \(CD\) \(n = 1\), а для участков \(BC\) и \(AD\) \(n = 4/3\). Потенцируя это выражение, получим \(pV^n = c_1\), где \(c_1 = p_0V_0^n e^{c}\).

Участки \(AB\) и \(CD\) описываются уравнением \(pV = \text{const}\), т.е. являются изотермами, а участки \(BC\) и \(AD\) — уравнением \(pV^{4/3} = \text{const}\), т.е. адиабатами (газ многоатомный). Значит, исследуемый процесс есть цикл Карно, его КПД \[\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1},\] где \(T_1\) — температура верхней изотермы, а \(T_2\) — нижней. Из уравнения состояния идеального газа следует, что \[\frac{T_2}{T_1} = \frac{p_DV_D}{p_BV_B} = \frac{p_D}{p_B} = e^{-0{,}2} \approx 0{,}82,\] откуда \(\eta = 18\%\).

Растяжение резинки максимально, когда скорость её изменения равна нулю; выразите это условие через скорости брусков. После того как резинка провиснет, энергия упругой деформации полностью вернулась в кинетическую энергию брусков.

1) \(v_3 = V\dfrac{m_3(m_1+m_2)}{D}\), \(v_1 = V\dfrac{2m_2m_3}{D}\), \(v_2 = V\dfrac{2m_1m_3}{D}\), где \(D = 4m_1m_2 + m_1m_3 + m_2m_3\); 2) \(v_1 = V\dfrac{4m_2m_3}{D}\), \(v_2 = V\dfrac{4m_1m_3}{D}\), \(v_3 = V\dfrac{m_1m_3 + m_2m_3 - 4m_1m_2}{D}\); 3) \(v_3 = \dfrac{9}{17}\text{ м/с}\).

1. Пусть \(T\) — сила натяжения резинки; тогда сила, действующая со стороны блока на брусок 3, равна \(2T\). Ускорения брусков обозначим \(a_1\), \(a_2\) и \(a_3\). По второму закону Ньютона \[m_1a_1 = T, \qquad m_2a_2 = T, \qquad m_3a_3 = 2T.\] Тогда то же отношение справедливо для изменения импульсов (с учётом направлений): \[m_1v_1 = m_2v_2 = \frac{m_3\,(V - v_3)}{2}.\] Скорость изменения длины резинки \(dL/dt = 2v_3 - (v_1 + v_2)\) при наибольшем растяжении обращается в ноль, т.е. \(v_1 + v_2 = 2v_3\). Откуда \[v_3 = V\frac{m_3(m_1+m_2)}{D}, \qquad v_1 = V\frac{2m_2m_3}{D}, \qquad v_2 = V\frac{2m_1m_3}{D}, \qquad D = 4m_1m_2 + m_1m_3 + m_2m_3.\]

2. Соотношение \(m_1v_1 = m_2v_2 = m_3(V - v_3)/2\) остаётся в силе. Когда резинка снова возвращается в ненатянутое состояние, по закону сохранения энергии \[\frac{m_1v_1^2}{2} + \frac{m_2v_2^2}{2} + \frac{m_3v_3^2}{2} = \frac{m_3V^2}{2}.\] Откуда \[v_3 = V\frac{m_1m_3 + m_2m_3 - 4m_1m_2}{D}, \qquad v_1 = V\frac{4m_2m_3}{D}, \qquad v_2 = V\frac{4m_1m_3}{D}.\]

3. Подставляя числовые значения в формулу из первого пункта, находим \[v_3 = \frac{9}{17}\text{ м/с}.\]