ВсОШ, 2014/15, региональный этап, 9 класс, экспериментальный тур

Подсказка

Выразите удельное сопротивление через сопротивление, плотность меди, диаметр и массу проволоки, исключив длину. Массу измеряйте методом неравноплечных весов.

Ответ

\(\rho = \dfrac{R\,D\,(\pi d^2/4)^2}{m}\), где \(R\) — сопротивление проволоки, \(D\) — плотность меди, \(d\) — диаметр проволоки, \(m\) — её масса.

Решение

Указания организаторам: в работе используется медная лакированная проволока диаметром \(d = 0{,}15\text{ мм}\) длиной 10–12 м.

Возможное решение: 1. Зачищаем концы медной лакированной проволоки наждачной бумагой. 2. Мультиметром (в режиме омметра) измеряем сопротивление \(R\) проволоки с учётом ненулевого начального показания прибора (сопротивления при закороченных концах мультиметра). 3. Определяем массу \(m\) проволоки методом неравноплечных весов, используя в качестве рычага соломинку. Длины плеч измеряем линейкой. 4. Диаметр \(d\) проволоки измеряем методом рядов, используя для намотки стержень шариковой авторучки.

Теория. Масса проволоки \[m = DL\,\frac{\pi d^2}{4},\] где \(D\) — плотность меди, \(L\) — длина проволоки, \(d\) — диаметр проволоки. Сопротивление проволоки равно \[R = \frac{\rho L}{\pi d^2/4},\] где \(\rho\) — удельное сопротивление меди. Исключая из этих выражений длину \(L\), получаем \[\rho = \frac{R\,D\,(\pi d^2/4)^2}{m}.\]

Подсказка

При малых \(h\) одно из слагаемых в формуле доминирует; сравните периоды для двух малых значений \(h\). Затем постройте график в координатах, где зависимость линейна.

Ответ

\(\alpha = 1\), \(\beta = 1\); \(A = \dfrac{\pi^2 l^2}{3g}\), \(B = \dfrac{\pi^2}{g}\) (теоретические значения, \(l\) — длина стержня); \(h_0 = \sqrt{A/B}\).

Решение

Возможное решение. 1. Снимаем зависимость \(T(h)\).

2. Заметим, что при малых \(h\) \(\alpha, \beta \ge 1\), и слагаемое \(Bh^\beta\) мало по сравнению с \(A/h^\alpha\), т.е. \(T^2 \approx A/h^\alpha\). Возьмём два малых значения \(h_1\) и \(h_2\); тогда \((T_1/T_2)^2 = (h_2/h_1)^\alpha\), отсюда находим \(\alpha = 1\).

3. Преобразуем формулу: \(T^2 h = A + B h^{\beta+1}\). Выберем функции \(\varphi(T, h) = T^2h\), \(f(h) = h^{\beta+1}\). Угловой наклон графика \(\varphi(f)\) численно равен \(B\), а координата пересечения графика с осью \(f\) численно равна \(A\). В условии сказано, что \(\beta\) — натуральное число. Предположим, \(\beta = 1\), и построим график в координатах \(\varphi(f)\). Линейность графика подтверждает, что \(\beta = 1\). Из графика находим \(A\) и \(B\). Теоретические значения коэффициентов равны соответственно \(A = \dfrac{\pi^2 l^2}{3g}\) и \(B = \dfrac{\pi^2}{g}\), где \(l\) — длина стержня.

4. Практически невозможно измерить \(h_0\) непосредственно, т.к. вблизи \(h_0\) период слабо зависит от \(h\). Действительно, \[T^2 = \frac{A}{h} + Bh = \frac{(\sqrt{A} - \sqrt{B}\,h)^2}{h} + 2\sqrt{AB},\] поэтому минимальное значение периода достигается при \[h_0 = \sqrt{\frac{A}{B}}.\]