ВсОШ, 2014/15, региональный этап, 9 класс, теоретический тур

Подсказка

Удобно записать правила моментов относительно точек, лежащих на линиях действия сил натяжения верхних нитей: тогда в уравнения не войдут две неизвестные силы.

Ответ

Силы, действующие на планку: \(N_1 = \dfrac{5(M-m)g}{12}\) и \(N_2 = \dfrac{(M-m)g}{12}\); равновесие возможно при \(m \le M < 13m\).

Решение

Равновесие возможно, если существуют отличные от нуля силы реакции грузов и планки и силы натяжения нитей. Для нахождения сил натяжения рассмотрим только внешние силы, действующие на систему грузы+блоки+планка. Правила моментов относительно точек \(O_1\) и \(O_2\), лежащих на линиях действия сил натяжения верхних нитей (рис. 12), имеют вид: \[Mgx + 2T_2\cdot 6x = 2mg\cdot 3x + mg\cdot 7x \quad \text{(относительно }O_1\text{)},\] \[mgx + 2T_1\cdot 6x = 2mg\cdot 3x + Mg\cdot 7x \quad \text{(относительно }O_2\text{)}.\]

Откуда \[T_1 = \dfrac{5m+7M}{12}\,g, \qquad T_2 = \dfrac{13m-M}{12}\,g .\] Видно, что левая нить не провисает при любых массах \(M\), а правая натянута при \(M < 13m\). Запишем условия равновесия для каждого из грузов в отдельности: \[Mg = T_1 + N_1, \qquad mg = T_2 + N_2 .\] Откуда с учётом выражений для сил натяжения силы реакции равны: \(N_1 = 5(M-m)g/12\) и \(N_2 = (M-m)g/12\). Положительные значения сил реакции будут только при \(M > m\).

Окончательно, равновесие системы возможно для \(m \le M < 13m\).

Подсказка

При установившемся движении равнодействующая всех сил равна нулю. Сила сопротивления направлена против скорости, и её модуль зависит только от модуля скорости.

Ответ

\(v_3 = \sqrt[4]{v_2^4 + 2v_1^2v_2^2} \approx 5{,}19\) м/с.

Решение

По условию сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости: \(F_c = kv^2\). При свободном падении сила тяжести равна силе сопротивления: \[mg = kv_1^2, \quad \text{откуда} \quad k = \dfrac{mg}{v_1^2}.\] Обозначим силу тяги моторчика после ремонта \(F_\text{т}\). При вертикальном подъёме сила тяги равна сумме силы тяжести и силы сопротивления: \[F_\text{т} = mg + kv_2^2 = mg\left(1 + \dfrac{v_2^2}{v_1^2}\right).\] При горизонтальном полёте сила тяги компенсирует силу тяжести (вертикально) и силу сопротивления (горизонтально): \[F_\text{т}^2 = (mg)^2 + (kv_3^2)^2 = (mg)^2\left(1 + \dfrac{v_3^4}{v_1^4}\right).\] Исключая \(F_\text{т}\), получаем \[\left(1 + \dfrac{v_2^2}{v_1^2}\right)^2 = 1 + \dfrac{v_3^4}{v_1^4} \quad\Rightarrow\quad v_3 = \sqrt[4]{v_2^4 + 2v_1^2v_2^2} \approx 5{,}19~\text{м/с}.\]

Подсказка

Пронумеруйте амперметры и перерисуйте схему так, чтобы видеть, какие из них включены параллельно. Напряжения на параллельных участках одинаковы, а сопротивления амперметров одинаковы.

Ответ

\(I_{AB} = 28\) мА.

Решение

Пронумеруем амперметры слева направо (рис. 13) и изобразим эквивалентную схему (рис. 14). Поскольку все амперметры одинаковые, одинаковы и их внутренние сопротивления. Значит, \(I_1 = I_4 = I\), \(I_3 = I_1 + I_4 = 2I\). Обозначим внутреннее сопротивление амперметра \(r\), тогда напряжение источника равно \[U = I_1 r + I_3 r = 3Ir = I_2 r, \quad \text{откуда} \quad I_2 = 3I .\]

По условию \(I_0 = I_1 + I_2 + I_3 + I_4 = 7I\), откуда \(I = I_0/7 = 7\) мА. Искомая сила тока через перемычку \[I_{AB} = I_1 + I_2 = 4I = 28~\text{мА}.\]

Подсказка

Горизонтальная проекция скорости без сопротивления постоянна, а вертикальная меняется по закону \(v_y = v_{y0} - gt\). Запишите модуль скорости в моменты \(\tau\) и \(2\tau\).

Ответ

1) \(T \approx 2{,}21\) с;  2) \(S \approx 23{,}3\) м.

Решение

Пусть \(v_{x0}\) — проекция скорости камня в начальный момент на горизонтальную ось, а \(v_{y0}\) — на вертикальную. Если пренебречь сопротивлением воздуха, то проекция скорости на горизонтальную ось сохраняется, а проекция на вертикальную ось меняется по закону \(v_y(t) = v_{y0} - gt\). Модуль скорости в любой момент \[v(t) = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{v_{x0}^2 + (v_{y0} - gt)^2} .\] По условию \[\sqrt{v_{x0}^2 + (v_{y0} - g\tau)^2} = \alpha\sqrt{v_{x0}^2 + v_{y0}^2}, \qquad \sqrt{v_{x0}^2 + (v_{y0} - 2g\tau)^2} = \beta\sqrt{v_{x0}^2 + v_{y0}^2} .\] Решая эту систему, найдём \(v_{x0} \approx 10{,}53\) м/с и \(v_{y0} \approx 10{,}85\) м/с. Время полёта \[T = \dfrac{2v_{y0}}{g} \approx 2{,}21~\text{с},\] расстояние от места броска до места падения \[S = v_{x0}T \approx 23{,}3~\text{м}.\]

Подсказка

Световые лучи прямолинейны. Прямая через вершину тени и вершину предмета проходит через Солнце. Найдите на фото два таких предмета с их тенями.

Решение

Световые лучи распространяются прямолинейно. Слева на фотографии запечатлены несколько людей вместе с отбрасываемыми ими тенями. Полностью видна тень девушки в чёрном плаще. Через вершины её головы и тени проведём прямую 1, на которой будет лежать изображение Солнца. То же справедливо, например, для ребёнка в коляске и его тени. Если на фотографии тень от какого-нибудь прута забора и сам прут лежат на одной прямой, то на этой же прямой находится изображение Солнца. Найдём на фотографии наиболее подходящий прут и проведём через него линию 2. На пересечении линий 1 и 2 лежит изображение Солнца; обозначим эту точку \(S\).

Зная положение Солнца, можно восстановить положение верхнего края забора. Проведём прямую через верхушку тени, отбрасываемой одним из столбов, и точку \(S\). Проведём также прямую, являющуюся продолжением этого столба. На пересечении двух этих прямых лежит вершина столба (точка \(A\)). Аналогичным образом можно найти вершину другого столба (точка \(B\)) и через эти две точки провести прямую, соответствующую верхнему краю забора. Эта прямая должна также проходить через точку \(C\) — пересечение прямых, являющихся продолжениями тени верхнего края забора и нижнего края забора.