зад 1 Затухающие колебания
В этой задаче исследуются колебания теннисного шарика на нитке.
Часть 1. В данной части работы следует проводить измерения при постоянном начальном отклонении шарика \(40^\circ\).
1.1. Нить рекомендуется взять такой длины, чтобы расстояние от точки подвеса до центра шарика было 60–70 см. Снимите зависимость времени \(\tau\), за которое амплитуда колебаний уменьшается вдвое, от массы \(m\) шарика (не менее 7 точек).
1.2. Известно, что \(\tau(m) = km^\alpha\), где \(k\), \(\alpha\) — постоянные коэффициенты. Найдите \(k\), \(\alpha\).
Часть 2. В данной части работы следует проводить измерения при максимальной массе шарика. Амплитуда колебаний \(A\) — длина дуги окружности между равновесным положением шарика и максимальным отклонением шарика от положения равновесия.
2.1. Снимите зависимость амплитуды колебаний от времени \(t\) при угловом значении амплитуд в диапазоне от \(60^\circ\) до \(20^\circ\) (не менее 7 точек).
Рассмотрим результаты двух теорий, описывающие зависимость \(A(t)\):
2.2.1. Ламинарное обтекание шарика воздухом. \(A(t) = A_0e^{-\delta t}\), где \(A_0\) — начальная амплитуда колебаний, \(\delta = 3\pi r\eta/m\), \(r\) — радиус шарика, \(m\) — масса шарика, \(\eta\) — вязкость воздуха. Известно, что \(\eta \in [0{,}5;\,5]\cdot 10^{-5}\) Па\(\cdot\)с. Проверьте применимость теории к вашим результатам.
2.2.2. Турбулентное обтекание шарика воздухом. \(A(t) = A_0/(1 + \beta A_0 t)\), где \(\beta = \pi\rho d^2 C_d/(3mT)\), \(\rho = 1{,}17\) кг/м\(^3\) — плотность воздуха, \(d\) — диаметр шарика, \(T\) — период колебаний, \(C_d\) — некоторый коэффициент. Из теоретических соображений известно, что \(C_d \in [0{,}4;\,4]\). Проверьте применимость теории к вашим результатам.
Сделайте оценки погрешности ваших результатов.
Указание. Период малых колебаний шарика на длинной нити примерно равен \(2\pi\sqrt{l/g}\), где \(l\) — расстояние от точки подвеса до центра масс груза, \(g = 9{,}8\) м/с\(^2\) — ускорение свободного падения на Земле. Во всех частях работы зависимостью периода колебаний от их амплитуды и массы шарика можно пренебречь.
Оборудование. Штатив, измерительная лента, нитка, бумажный транспортир, теннисный шарик известной массы \(2{,}4\) г, шприц, стакан с водой, миллиметровая бумага (для построения графиков).
▶ПодсказкаСкрыть
Время удобно измерять по числу колебаний маятника. Бифилярный подвес фиксирует плоскость колебаний и заметно улучшает измерения. Линейность графика \(\tau/T\) от \(m\) проверяйте на миллиметровке.
▶ОтветСкрыть
1.2) \(\alpha = 1\), \(k = (1{,}77 \pm 0{,}03)\) с/г. 2.2.1) Ламинарная теория не подтверждается: при \(\eta \approx 2\cdot 10^{-3}\) Па\(\cdot\)с расхождение с условием составляет около двух порядков. 2.2.2) Турбулентная теория подтверждается: \(C_d = (0{,}88 \pm 0{,}02)\), что лежит в заданном интервале.
▶РешениеСкрыть
Часть 1. Время удобно измерять по числу колебаний маятника; бифилярный подвес фиксирует плоскость колебаний. Добавляя в шарик порции воды шприцем, получаем зависимость \(\tau(m)\) для длины нити \(l \approx 67\) см. Точки (значения \(\tau/T\); \(m\), г): \((2;\,2{,}4)\), \((6;\,5{,}4)\), \((9;\,8{,}4)\), \((13;\,11{,}4)\), \((16;\,14{,}4)\), \((19;\,17{,}4)\), \((22;\,20{,}4)\), \((25;\,23{,}4)\), \((28;\,26{,}4)\), \((32;\,29{,}4)\), \((35;\,32{,}4)\). Погрешность массы определяется ценой деления шприца и растёт с массой; погрешность времени постоянна и равна половине периода.
Построив график (рис. 4), убеждаемся, что он линеен, поэтому \(\alpha = 1\). Из коэффициента наклона прямой \(k = (1{,}77 \pm 0{,}03)\) с/г.
Часть 2. Угловая амплитуда \(\varphi\) от \(t/T\): \((0;\,60^\circ)\), \((4;\,51^\circ)\), \((8;\,43^\circ)\), \((12;\,38^\circ)\), \((16;\,34^\circ)\), \((20;\,32^\circ)\), \((24;\,29^\circ)\), \((28;\,27^\circ)\), \((32;\,25^\circ)\), \((36;\,24^\circ)\), \((40;\,22{,}5^\circ)\), \((44;\,21^\circ)\). Поскольку \(A\) — длина дуги, \(A_0/A = \varphi_0/\varphi\).
Ламинарная теория. Линеаризуем зависимость: \(\ln(A_0/A) = \delta t\). Строим график \(\ln(A_0/A)\) от \(t/T\) (рис. 5).
Зависимость не является линейной. Даже если принять её за линейную, из графика получаем \(\eta \approx 2\cdot 10^{-3}\) Па\(\cdot\)с, что на два порядка отличается от величины из условия. Следовательно, данная теория неприменима.
Турбулентная теория. Линеаризуем: \(A_0/A = 1 + \beta A_0 t\). Значения \(A_0/A\) при \(t/T\) \(= 0, 4, 8, \dots, 36\): \(1{,}00;\ 1{,}18;\ 1{,}40;\ 1{,}58;\ 1{,}76;\ 1{,}88;\ 2{,}07;\ 2{,}22;\ 2{,}40;\ 2{,}50\). График (рис. 6) линеен в пределах погрешности.
Из наклона прямой \(C_d = (0{,}88 \pm 0{,}02)\), что лежит в заданном промежутке и окончательно подтверждает применимость второй теории.
зад 2 Диод Зенера
1. Определите ёмкость конденсатора \(C_2\). (2 балла)
2. Определите сопротивление мультиметра в режиме вольтметра постоянного тока (на всех пределах измерения). (1 балл)
3. Определите сопротивления резисторов \(R_1\) и \(R_2\). (3 балла)
4. Снимите вольтамперную характеристику диода Зенера. (9 баллов)
Погрешности оценивать не требуется.
Примечание. При подключении электролитических конденсаторов подключайте длинный вывод к «\(+\)», короткий — к «\(-\)».
Оборудование. Электролитический конденсатор \(C_1 = 1000\) мкФ, электролитический конденсатор \(C_2\), два резистора \(R_1\) и \(R_2\), два мультиметра (режим амперметра отключён), диод Зенера, батарейки, макетная плата, миллиметровая бумага.
Примечание. Каждые пять выводов макетной платы, расположенные в одном столбце по одну сторону от середины платы, соединены внутри платы друг с другом. Например, выводы, отмеченные серым (рис. 3), замкнуты между собой.
▶ПодсказкаСкрыть
Для конденсаторов, соединённых последовательно и заряженных от одной батарейки, заряды одинаковы. Сопротивление вольтметра найдите омметром, подключив его параллельно неизвестному резистору.
▶ОтветСкрыть
1) \(C_2 = 100\) мкФ; 2) \(R_V = 1\) МОм на всех пределах; 3) \(R_1 = 10\) кОм, \(R_2 = 10\) МОм; 4) вольтамперная характеристика — рис. 9.
▶РешениеСкрыть
1. Соединим последовательно конденсаторы неизвестной и известной ёмкостей и зарядим их от батарейки. Затем измерим напряжения на конденсаторах \(U_1\) и \(U_2\). Через конденсаторы протёк заряд \(q = C_1U_1 = C_2U_2\), откуда \[C_2 = C_1\dfrac{U_1}{U_2} = 100~\text{мкФ}.\]
2. Подключим мультиметр в режиме омметра к вольтметру постоянного тока. Сопротивление вольтметра \(R_V = 1\) МОм на всех пределах измерения.
3. Меньший из резисторов измерим непосредственно омметром: \(R_1 = 10\) кОм. Для измерения второго резистора соединим вольтметр и этот резистор параллельно и подключим к омметру. Общее сопротивление \(R_\text{общ}\). Тогда \[R_2 = \dfrac{R_V R_\text{общ}}{R_V - R_\text{общ}} = 10~\text{МОм}.\]
4. Для снятия вольтамперной характеристики диода Зенера (стабилитрона) в качестве источника переменного напряжения используем предварительно заряженный конденсатор \(C_1 = 1000\) мкФ. Напряжение на стабилитроне \(U_2\) измеряем параллельно подключённым вольтметром (рис. 8). Для определения тока используем балластный резистор \(R_1 = 10\) кОм, на котором измеряем напряжение \(U_1\). Тогда ток через стабилитрон \[I = \dfrac{U_1}{R_1} - \dfrac{U_2}{R_V}.\] Эта формула учитывает то, что при некоторых напряжениях \(U_2\) ток через стабилитрон сравним с током через вольтметр. Для расширения диапазона можно использовать заряженный конденсатор с последовательно включённой батарейкой.
Будем считать ток через стабилитрон больше нуля тогда, когда вывод с чёрной меткой подключён к «\(+\)» источника. В этом случае стабилитрон ведёт себя как обычный диод. В обратном направлении стабилитрон находится при напряжениях меньших напряжения стабилизации (для данного стабилитрона \(U_S = 5{,}1\) В), поэтому ВАХ имеет не характерный для стабилитрона вид. Данные снятой характеристики (таблица в официальном решении) приведены на рис. 9.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2014/15, заключительный этап, 10 класс, экспериментальный тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.