ВсОШ, 2014/15, заключительный этап, 10 класс, теоретический тур

Подсказка

Сумма сил натяжения пружин всегда равна \(F\). Подумайте, какая из пружин недеформирована в момент, когда ускорение груза равно нулю.

Ответ

1) \(v_\text{max} = F\sqrt{\dfrac{k_1}{m\,k_2(k_1+k_2)}}\);  2) \(x_1 = -\dfrac{F}{k_1+k_2}\) (пружина сжата).

Решение

Из условия следует, что сумма сил натяжения пружин всегда равна \(F\). Растяжения пружин в начальный момент одинаковы и равны \(x_0 = F/k\), где \(k = k_1 + k_2\); суммарная начальная энергия пружин \(E_0 = F^2/2k\).

1. В момент, когда скорость груза максимальна, его ускорение равно нулю. Значит, первая пружина недеформирована, а вторая растянута силой \(F\). Приравнивая работу силы \(F\) изменению энергии системы, получим \[F\left(\dfrac{F}{k_2} - \dfrac{F}{k}\right) = \dfrac{mv^2}{2} + \dfrac{F^2}{2k_2} - \dfrac{F^2}{2k},\] откуда максимальная скорость груза \[v = F\sqrt{\dfrac{k_1}{m\,k_2(k_1+k_2)}}.\]

2. Так как сумма сил натяжения пружин постоянна, минимальность одной из них означает максимальность другой. В момент минимального удлинения одной из пружин скорость изменения её длины равна нулю, а значит, равна нулю и скорость груза. Для растяжений пружин \(x_1\) и \(x_2\) в этот момент получаем систему \[\begin{cases} k_1x_1 + k_2x_2 = F, \\ F(x_2 - x_0) + \dfrac{kx_0^2}{2} = \dfrac{k_1x_1^2}{2} + \dfrac{k_2x_2^2}{2}. \end{cases}\] Начальные значения \(x_1 = x_2 = x_0\) удовлетворяют этой системе, так как скорость груза в начальный момент равна нулю. Второе решение: \(x_1 = -x_0\), \(x_2 = x_0\,\dfrac{2k_1+k_2}{k_2}\). Таким образом, удлинение первой пружины в момент, когда её длина минимальна, \[x_1 = -\dfrac{F}{k_1+k_2}.\] Отрицательный знак означает, что пружина в этот момент сжата.

Подсказка

Условие равновесия тонкого слоя атмосферы даёт связь \(\Delta p/\Delta z\) и плотности. Уравнение состояния газа свяжет плотность с температурой.

Ответ

\(T_0 \approx 680 \pm 40\) К (по официальному решению).

Решение

Рассмотрим участок атмосферы площадью поперечного сечения \(S\), находящийся между слоями с координатами \(z\) и \(z + \Delta z\). На него действуют снизу сила давления \(p(z)S\), сверху сила давления \(p(z+\Delta z)S\) и направленная вниз сила тяжести \(\rho S\Delta z\, g\), где \(\rho\) — плотность воздуха на данной высоте. Так как атмосфера находится в равновесии, \[(p(z) - p(z+\Delta z))S - \rho S\Delta z\, g = 0,\] то есть \(\Delta p = -\rho g\,\Delta z\), где \(\Delta p = p(z+\Delta z) - p(z)\). Температура атмосферы \(T\) связана с давлением, плотностью, молярной массой \(\mu\) и газовой постоянной \(R\) соотношением \(p = \dfrac{\rho}{\mu}RT\). Получаем \[T = \dfrac{p}{-\Delta p/\Delta z}\cdot\dfrac{\mu g}{R}.\] Величины \(\mu\) и \(g\) можно считать постоянными: атмосфера состоит из углекислого газа, \(g\) постоянно, так как радиус планеты много больше перемещения спускаемого аппарата. Следовательно, температура пропорциональна величине \[T \propto \dfrac{p}{\Delta p/\Delta z}.\] Это выражение при \(z = 0\) и \(z = 5\) км можно найти графически: провести касательную к графику и отметить точку пересечения касательной с горизонтальной осью. Учитывая, что \(l_0 = 2{,}5\) км, \(l_1 = 1{,}25\) км, для температуры \(T_0\) у поверхности планеты получаем \(T_0 = T_1 l_0/l_1 = 680 \pm 40\) К. Ответ записан с погрешностью, так как касательные проводятся с некоторой точностью.

Подсказка

Сила притяжения дисков не зависит от расстояния между ними. Учтите, что энергия системы складывается из энергии газа и энергии конденсатора из дисков.

Ответ

Температура уменьшается в \(\dfrac{10}{7} \approx 1{,}43\) раза; расстояние между дисками увеличивается в \(\dfrac{14}{5} = 2{,}8\) раза.

Решение

Обозначим через \(V\), \(P\) и \(T\) начальные значения объёма, давления и температуры газа, \(d\) — начальное расстояние между дисками, а те же величины с индексом 1 — параметры в конечном состоянии. Так как расстояние между дисками много меньше их радиуса, напряжённость поля диска можно вычислять, считая его равномерно заряженной бесконечной плоскостью: \[E = \dfrac{q}{2\varepsilon_0 S},\] где \(S\) — площадь дисков. Тогда на второй диск со стороны первого действует сила \[F = qE = \dfrac{q^2}{2\varepsilon_0 S}.\] Сила пропорциональна квадрату заряда и не зависит от расстояния между пластинами, поэтому конечное равновесное давление будет в четыре раза меньше начального.

Энергия конденсатора равна \[W_c = \dfrac{q^2}{2C} = \dfrac{q^2 d}{2\varepsilon_0 S} = Fd = PV.\] Энергия системы «газ + заряженные пластины» \[W = PV + \dfrac{3}{2}PV = \dfrac{5}{2}PV = \dfrac{5}{2}\nu RT.\] В конечном равновесном состоянии энергия системы должна равняться начальной: \[\dfrac{5}{2}P_1V_1 = \dfrac{3}{2}PV + \dfrac{P}{4}V,\] откуда \(\dfrac{5}{2}\nu RT_1 = \dfrac{7}{4}\nu RT\) и \(T_1 = \dfrac{7}{10}T\).

Теперь, используя \(P_1 = P/4\), \[\dfrac{P_1V_1}{PV} = \dfrac{T_1}{T} = \dfrac{7}{10}, \qquad \text{откуда} \qquad \dfrac{d_1}{d} = \dfrac{V_1}{V} = \dfrac{14}{5}.\] Полученный ответ подтверждает предположение о малости \(d\) в конечном состоянии.

Подсказка

В момент максимального растяжения скорость изменения длины резинки равна нулю. Для отсутствия внешних сил используйте сохранение импульса, для ненатянутой резинки — сохранение энергии.

Ответ

1) \(v_1 = -\dfrac{2}{3}v\), \(v_2 = \dfrac{4}{3}v\), \(v_3 = \dfrac{1}{3}v\);

2) \(v_1 = -\dfrac{1}{3}v\), \(v_2 = \dfrac{5}{3}v\), \(v_3 = -\dfrac{1}{3}v\).

Решение

При упругом ударе бруска 1 о стену изменяется направление его скорости при сохранении её величины. В этот момент скорости равны \(v_1 = -v\), \(v_2 = v_3 = v\) (рис. 17).

1. Резинка будет максимально растянутой, когда скорость увеличения её длины станет равна нулю. Эту скорость можно выразить через скорости брусков в момент максимального растяжения: \[v_\text{раст} = 2v_3 - v_2 - v_1 = 0.\] На систему не действуют внешние силы, поэтому из закона сохранения импульса \[v_3 + v_2 + v_1 = v.\] Второй закон Ньютона для первого и второго брусков даёт \(m\,\Delta v_2/\Delta t = T\) и \(m\,\Delta v_1/\Delta t = T\), поэтому \(\Delta v_1 = \Delta v_2\) и, значит, \[v_2 - v = v_1 - (-v).\] Из трёх уравнений получаем значения скоростей в момент максимального растяжения: \(v_1 = -\dfrac{2}{3}v\), \(v_2 = \dfrac{4}{3}v\), \(v_3 = \dfrac{1}{3}v\).

2. Пусть скорости брусков в момент, когда резинка снова не натянута, равны \(v_1\), \(v_2\), \(v_3\). Закон сохранения импульса и связь между скоростями \(v_1\) и \(v_2\) остаются прежними. Резинка не натянута, когда её потенциальная энергия равна нулю. Из закона сохранения энергии \[3v^2 = v_1^2 + v_2^2 + v_3^2 .\] Два решения: первое, \(v_1 = -v\), \(v_2 = v\), \(v_3 = v\), соответствует начальной ситуации, которая больше не повторится. Второе решение \[v_1 = -\dfrac{1}{3}v, \qquad v_2 = \dfrac{5}{3}v, \qquad v_3 = -\dfrac{1}{3}v\] является ответом на второй вопрос задачи.

Подсказка

Мощность потерь на нагрузке максимальна, когда сопротивление нагрузки равно внутреннему сопротивлению источника. Отсюда найдите токи через лампу и диод в этом режиме и используйте закон сохранения тока в обоих случаях.

Ответ

\(P_2 = P_1 = 7{,}2\) Вт.

Решение

Сначала установим, при каком требовании к нагрузке мощность потерь максимальна для данного источника. Пусть ЭДС и внутреннее сопротивление источника равны \(\mathcal{E}\) и \(r\), а сила тока через нагрузку равна \(I\). Тогда мощность потерь \(P_\text{н} = IU_\text{н} = I(\mathcal{E} - Ir)\). Максимум достигается при \(I = I_0/2\), где \(I_0 = \mathcal{E}/r\) — ток короткого замыкания. Это соответствует сопротивлению нагрузки \(R = r\) и напряжению \(U_\text{н} = \mathcal{E}/2\). Значит, при таком напряжении ток через лампу и через диод равен \(I_0/2\), и связь тока с напряжением для них \[I_{\text{л}} = \sqrt{\dfrac{I_0 U_{\text{л}}}{2r}}, \qquad I_{\text{д}} = \dfrac{2U_{\text{д}}^2}{I_0 r^2}.\]

Для последовательного соединения пусть общий ток равен \(I_1\). Уравнение для напряжения на нагрузке: \(\mathcal{E} - I_1 r = (I_0 - I_1) r = U_{\text{л}}(I_1) + U_{\text{д}}(I_1)\). Для параллельного соединения пусть ток источника равен \(I_2\). Тогда \(I_{\text{л}} + I_{\text{д}} = I_2\) при общем напряжении \(U\), и так же получается условие, связывающее токи. Можно показать (алгебраически или графически, рис. 20), что в обоих случаях выполняется \[I_1 + I_2 = I_0 .\] Здесь график ВАХ нагрузки пересекает прямую \(U/\mathcal{E} = 1 - I/I_0\), симметричную относительно биссектрисы квадранта, поэтому токи симметричны относительно \(I_0/2\).

Мощность потерь в последовательном случае \(P_1 = I_1(\mathcal{E} - I_1 r) = rI_1(I_0 - I_1)\), в параллельном \(P_2 = I_2(\mathcal{E} - I_2 r) = rI_2(I_0 - I_2) = r(I_0 - I_1)I_1 = P_1\). Окончательно \(P_2 = P_1 = 7{,}2\) Вт.