ВсОШ, 2014/15, заключительный этап, 9 класс, экспериментальный тур

Подсказка

Для 1.2 используйте два измерения на весах с часами, лежащими горизонтально на опорах разной высоты, и условие равновесия моментов. Для 2.1 сравните размерности величин: массы, времени и длины.

Ответ

1.1) массовый расход от высоты \(h\) не зависит;  1.2) \(m = 2(m_1 + m_2 - m_0)\), где \(m_0\) — масса часов вместе с песком, \(m_1\) и \(m_2\) — показания весов в двух измерениях;  2.1) \(\alpha = 1\), \(\beta = \dfrac{1}{2}\), \(\gamma = 0\), \(\delta = \dfrac{5}{2}\), то есть \(\mu = C\rho g^{1/2}(D-d)^{5/2}\);  2.2) наибольшее отклонение от среднего около 5 %;  2.3) \(d \approx 0{,}56\) мм.

Решение

1.1. Расположим часы вертикально и пересыпем весь песок в одну половину часов. Перевернём часы и засечём время \(t_1\), за которое песок высыплется из верхней колбы, когда высота столба максимальна. Затем быстро перевернём часы и измерим время \(t_2\), за которое песок высыплется обратно, когда высота столба во много раз меньше. Времена равны в пределах погрешности, значит массовый расход от высоты не зависит.

1.2. Пересыпем весь песок в одну половину часов и расположим часы горизонтально, так чтобы поверхность песка была горизонтальной. Поставим часы одной опорой на весы, другой на брусок (измерение 1), затем пересыпем песок в другую колбу и повторим измерение (измерение 2). Обозначим \(m_0\) — массу часов вместе с песком, \(m\) — массу песка, \(m_1\) и \(m_2\) — показания весов в измерениях 1 и 2. Записав уравнения моментов сил для обоих измерений и сложив их, получим \[(m_1 + m_2)(l_1 + l_2) = \tfrac{3}{2}\,m\,(l_1 + l_2) + (m_0 - m)(l_1 + l_2),\] где \(l_1\) и \(l_2\) — длины колб. Отсюда \(m = 2(m_1 + m_2 - m_0)\).

2.1. В пункте 1.1 установлено, что массовый расход от высоты не зависит, значит \(\gamma = 0\). Размерности: \([g] = \text{м/с}^2\), \([D-d] = \text{м}\), \([\rho] = \text{кг/м}^3\), \([\mu] = \text{кг/с}\). Размерность времени входит только в \(g\), отсюда \(\beta = 1/2\). Размерность массы входит только в \(\rho\), отсюда \(\alpha = 1\). Чтобы размерность длины была правильной, \(\delta = 5/2\), значит \[\mu = C\rho\, g^{1/2}(D-d)^{5/2}.\]

2.2. Для наименьшего диаметра \(D = 3\) мм проводим несколько измерений с помощью секундомера и весов и усредняем. Разброс значений от среднего примерно 5 %, поэтому расходы при остальных диаметрах можно находить по одной точке. Результаты из официального решения (второй столбец — \(\mu^{2/5}\)): \[D = 3~\text{мм}:\ \mu = 0{,}73,\ \mu^{2/5} = 0{,}88; \qquad D = 4~\text{мм}:\ \mu = 1{,}67,\ \mu^{2/5} = 1{,}23;\] \[D = 5~\text{мм}:\ \mu = 2{,}83,\ \mu^{2/5} = 1{,}52; \qquad D = 6~\text{мм}:\ \mu = 4{,}86,\ \mu^{2/5} = 1{,}88.\]

2.3. Линеаризуем зависимость из п. 2.1: \(\mu^{2/5}\) пропорционально \((D-d)\). График \(\mu^{2/5}(D)\) пересекает ось абсцисс при \(D = d\). По графику \(d = 0{,}56\) мм.

Подсказка

Температура кристаллизации находится по участку, где температура грелки перестала расти. Для п. 4 запишите уравнение теплового баланса, учитывая тепло, отданное грелкой, нагрев воды и кюветы и тепловые потери за время кристаллизации.

Ответ

1) \(T_{кр} = 53\) °С;  3) \(P = 5{,}0\) Вт;  4) \(\lambda = 2{,}0 \cdot 10^{5}\) Дж/кг.

Решение

1. Активируем первую грелку. От кнопки активатора начинает распространяться волна кристаллизации, которая за несколько секунд охватывает всю грелку. Однако кристаллизация при этом ещё не завершена: грелка остаётся мягкой и продолжает нагреваться. Между первичными кристаллами захватываются объёмы жидкого раствора, которые кристаллизуются позднее. Достаточно долго ацетат находится в состоянии смеси твёрдого и жидкого вещества при определённой температуре — температуре кристаллизации, так как в устойчивом тепловом равновесии система жидкость–твёрдое тело может существовать только при этой температуре. Обернув активированную грелку вокруг термометра, дождёмся, когда температура перестанет расти: термометр покажет искомое значение. Ответ: \(T_{кр} = 53\) °С.

2. Перед опытом измеряем массы кюветы \(m_к\), воды \(m_в\) и грелки \(m_{гр}\) (массу грелки считаем равной массе ацетата), начальную температуру воды \(T_{в0}\) и температуру окружающей среды \(T_c\). Измерения температуры воды проводим через 30 с до выхода на установившуюся температуру, далее — не реже чем через минуту. График \(T(t)\) включает три участка: быстрый рост температуры (от \(0\) до \(t_1 \approx 4\)–\(5\) мин); постоянная температура \(T = T_в\) (от \(t_1\) до \(t_2 \approx 15\)–\(25\) мин); медленное убывание температуры (от \(t_2\) до \(t_3 \approx 30\) мин). На втором участке мощность тепловых потерь равна мощности тепла, поступающего от грелки, и грелка продолжает кристаллизоваться. Уменьшение температуры воды означает начало падения температуры грелки, то есть окончание кристаллизации: \(t_{кр} = t_2\).

3. За малый промежуток времени \(\Delta t\) температура воды меняется на \(\Delta T\). Вместе с водой остывает и кювета, поэтому мощность тепловых потерь \[P = \frac{(c_в m_в + c_к m_к)\,\Delta T}{\Delta t} = (c_в m_в + c_к m_к)\,\alpha,\] где \(\alpha = \Delta T/\Delta t\) определяем по касательной к графику \(T(t)\) в точке \(T = T_в\). Получаем \(P = 5{,}0\) Вт.

4. Уравнение теплового баланса за время кристаллизации: \[\lambda_a m_{гр} = Q_1 + Q_2 + Q_3 + Q_4,\] где \(Q_1 = c_a m_{гр}(T_{кр} - T_c)\) — нагрев грелки до \(T_{кр}\) (до окончания кристаллизации она не остывает), \(Q_2 = c_в m_в (T_в - T_{в0})\) — нагрев воды, \(Q_3 = c_к m_к (T_в - T_{в0})\) — нагрев кюветы, \(Q_4 = P\,(t_{кр} - t_1/2)\) — тепловые потери. Численно \(\lambda_a = 2{,}0 \cdot 10^{5}\) Дж/кг.