ВсОШ, 2014/15, заключительный этап, 9 класс, теоретический тур

Подсказка

Для равноускоренного движения средняя скорость на участке связана с мгновенными скоростями на его концах. Запишите это для обоих участков и исключите ускорение и длину опорного пролёта.

Ответ

\(u = \dfrac{v_1^2 + v_2^2}{v_1 + v_2} = 26\) км/ч.

Решение

Пусть \(L\) — расстояние между соседними опорами, \(a\) — ускорение электрички, \(u_1\) — мгновенная скорость в момент прохождения первой опоры, \(t_1\) и \(t_2\) — времена прохождения участков 1–2 и 2–3. Средние скорости на участках: \(L = v_1 t_1 = v_2 t_2\). С другой стороны, при равноускоренном движении \[L = u_1 t_1 + \frac{a t_1^2}{2}, \qquad L = u\,t_2 + \frac{a t_2^2}{2}, \qquad u = u_1 + a t_1.\] Умножая первое уравнение на \(v_1/t_1\), второе на \(v_2/t_2\) и подставляя \(t_1\), \(t_2\) из равенств для средних скоростей, получаем \[v_1^2 = u v_1 - \frac{aL}{2}, \qquad v_2^2 = u v_2 + \frac{aL}{2}.\] Складывая, исключаем \(aL\) и находим \[u = \frac{v_1^2 + v_2^2}{v_1 + v_2} = 26~\text{км/ч}.\] Эту же величину можно получить графически: движение на участке 1–2 длится в полтора раза дольше, чем на участке 2–3 (например, \(6\tau\) и \(4\tau\)), а изменение мгновенной скорости от 20 до 30 км/ч происходит за время \(5\tau\). Тогда за время \(3\tau\) скорость изменяется на 6 км/ч, и искомая скорость \(u = 26\) км/ч.

Подсказка

Работа силы \(F\) на пути бруска при первом движении равна работе сил трения на пути его возвращения. В момент наибольшего сжатия пружины скорость бруска равна нулю.

Ответ

1) \(N = \dfrac{4f^2}{F} + f\);  2) \(N_{\max} = 3f\).

Решение

Пусть \(s\) — расстояние, на которое переместился брусок за время действия силы \(F\), а \(x\) — наибольшее сжатие пружины. Чтобы брусок остановился в исходной точке, работа сил трения на этом перемещении должна быть равна работе силы \(F\) на перемещении \(s\): \[Fs = 2fx.\] В момент наибольшего сжатия скорость бруска равна нулю, поэтому \(Fs = fx + \dfrac{kx^2}{2}\), где \(k\) — жёсткость пружины. Из этих двух уравнений находим \(kx = 2f\), а затем \(ks = \dfrac{4f^2}{F}\).

Сила давления тележки на стержень равна силе упругости пружины плюс сила трения, поэтому в момент прекращения действия силы \(F\) \[N = ks + f = \frac{4f^2}{F} + f.\] Наибольшее давление достигается при наибольшей деформации пружины, когда сила трения ещё не изменила направления: \[N_{\max} = kx + f = 3f.\]

Подсказка

Выразите время бездействия и время работы через мощность притока тепла \(P = \alpha(t_0 - t)\) и мощность отвода \(P_0\). Вторую часть задачи решайте через условие максимума параболы.

Ответ

1) \(t_1 = 12\,^\circ\text{C}\), \(t_2 = 21\,^\circ\text{C}\);  2) \(t_m = 3\,^\circ\text{C}\);  3) \(t_3 = 16{,}5\,^\circ\text{C}\).

Решение

Пусть \(P = \alpha(t_0 - t)\) — мощность теплоты, поступающей из окружающей среды, \(P_0\) — мощность, отводимая работающим холодильником, \(C\) — теплоёмкость холодильника с содержимым. Время бездействия \(T = \dfrac{C\,\Delta t}{\alpha(t_0 - t)}\), время работы \(\tau = \dfrac{C\,\Delta t}{P_0 - \alpha(t_0 - t)}\).

1. При первоначальной температуре \(t_1\) имеем \(\tau = 2T\), отсюда \(t_1 = t_0 - \dfrac{2P_0}{3\alpha}\). При температуре \(t_2\) имеем \(2\tau = T\), отсюда \(t_2 = t_0 - \dfrac{P_0}{3\alpha}\). Разность \(t_2 - t_1 = \theta = \dfrac{P_0}{3\alpha} = \Delta\theta = 9\,^\circ\text{C}\), поэтому \(t_1 = t_0 - 2\theta = 12\,^\circ\text{C}\), \(t_2 = t_0 - \theta = 21\,^\circ\text{C}\).

2. Двигатель работает непрерывно, если отводимая им мощность не превышает притока тепла: \(P_0 \leqslant \alpha(t_0 - t)\), то есть \(t \leqslant t_0 - \dfrac{P_0}{\alpha} = t_0 - 3\theta = 3\,^\circ\text{C}\).

3. Время между двумя последовательными включениями \(T + \tau = \dfrac{C\,\Delta t\,P_0}{\alpha(t_0 - t)\bigl(P_0 - \alpha(t_0 - t)\bigr)}\) минимально, когда максимальна величина \(y = \alpha x(P_0 - \alpha x)\), где \(x = t_0 - t\). Это парабола с вершиной при \(x = \dfrac{P_0}{2\alpha}\), поэтому \(t_3 = t_0 - \dfrac{P_0}{2\alpha} = t_0 - \tfrac{3}{2}\theta = 16{,}5\,^\circ\text{C}\).

Подсказка

Рассмотрите отдельно участки напряжения, на которых все диоды закрыты, \(D_1\) открыт, и оба диода \(D_2\), \(D_3\) открыты. На каждом участке ток через амперметр линейно зависит от \(U_{AB}\).

Ответ

\(I_A = \dfrac{U_{AB}}{3R}\) при \(U_{AB} < \dfrac{3}{2}U_0\);  \(I_A = \dfrac{U_0}{2R}\) при \(\dfrac{3}{2}U_0 < U_{AB} < \dfrac{5}{2}U_0\);  \(I_A = \dfrac{3U_0 - U_{AB}}{R}\) при \(U_{AB} > \dfrac{5}{2}U_0\).

Решение

Рассмотрим случай, когда «+» источника подключён к точке \(A\) (то есть \(U_{AB} > 0\)). Пока напряжение на каждом диоде меньше \(U_0\), диоды закрыты, а ток течёт через три последовательно соединённых резистора: \[I_A = \frac{U_{AB}}{3R}.\] Напряжение на участке \(DB\) равно \(U_{DB} = I_A \cdot 2R = \tfrac{2}{3}U_{AB}\), поэтому диод \(D_1\) открывается при \(U_{AB} = \tfrac{3}{2}U_0\). Далее напряжение на нём равно \(U_0\) при любых \(U_{AB} > \tfrac{3}{2}U_0\), и ток через амперметр равен \[I_A = \frac{U_0}{2R}.\] Диоды \(D_2\) и \(D_3\) открываются, когда напряжение на участке \(AC\) станет равным \(2U_0\). Поскольку на участке \(CB\) при открытом \(D_1\) напряжение равно \(U_0/2\), это происходит при \(U_{AB} = 2U_0 + U_0/2 = \tfrac{5}{2}U_0\). При открытых диодах \(U_{DC} = 3U_0 - U_{AB}\), и ток через амперметр \[I_A = \frac{3U_0 - U_{AB}}{R}.\] При \(U_{AB} = \tfrac{5}{2}U_0\) это выражение совпадает с током до открывания \(D_2\) и \(D_3\), то есть ток непрерывен. При \(U_{AB} < 0\) все диоды закрыты, и \(I_A = U_{AB}/(3R)\) с обратным знаком тока. График зависимости показан на рисунке:

Подсказка

Угол, на который Солнце смещается за время \(T\), равен \(\omega T\), где \(\omega = 15^\circ\)/ч. Выразите высоты окон через расстояние \(L\) между корпусами и тангенсы этих углов.

Ответ

1) на 70-м этаже;  2) 16 часов (по часам Чебурашки);  3) 56 минут.

Решение

Солнце видно с востока на запад с угловой скоростью \(\omega = 360^\circ/24~\text{ч} = 15^\circ\)/ч. Солнце видно из окон Гены от полудня до того момента, когда оно скроется за корпусом Чебурашки; за время \(T_1\) оно сместилось на угол \(\alpha = \omega T_1 = 30^\circ\). За время \(T_2\) Солнце сместилось на угол \(\beta = \omega T_2 = 60^\circ\).

Пусть высота одного этажа равна \(h\), номер этажа Чебурашки \(n\), расстояние между корпусами \(L\). Тогда \[\frac{L}{(100 - 10)h} = \mathrm{tg} 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}, \qquad \frac{L}{(100 - n)h} = \mathrm{tg} 60^\circ = \sqrt{3}.\] Отсюда \(n = 100 - 90\,\dfrac{\mathrm{tg} 30^\circ}{\mathrm{tg} 60^\circ} = 70\). Чебурашка живёт на 70-м этаже.

Окна Гены стали казаться Чебурашке золотыми, когда солнечные лучи, отражённые от окон верхнего этажа корпуса Гены, попали в окно Чебурашки. За время \(t_1\) Солнце опустилось на угол \(\varphi_1\), такой что \[\mathrm{tg}\varphi_1 = \frac{L}{30h} = \sqrt{3}, \qquad \varphi_1 = 60^\circ.\] Значит, \(t_1 = \varphi_1/\omega = 4\) ч: часы Чебурашки показывали 16 часов.

Окна перестали казаться золотыми, когда отражённый от корпуса Гены луч, попадающий в окно Чебурашки, проходит через край корпуса Чебурашки. В этот момент угол Солнца с вертикалью \[\mathrm{tg}\varphi_2 = \frac{L}{15h} = 2\sqrt{3}, \qquad \varphi_2 \approx 73{,}9^\circ.\] Значит, \(t_2 = \varphi_2/\omega \approx 4{,}93\) ч. Окна казались золотыми в течение примерно \(t_2 - t_1 \approx 56\) минут.