ВсОШ, 2015/16, региональный этап, 11 класс, теоретический тур

Подсказка

Выразите работу силы через перемещение и кинетическую энергию бруска, затем мощность через силу и скорость. Какую степень перемещения содержит полученная зависимость?

Ответ

1) \(N\) от \(\sqrt{s}\) (линейная зависимость \(N(\sqrt{s})\));  2) \(N(10\text{ см}) = 0{,}89\text{ Вт}\);  3) \(F = 2{,}0\text{ Н}\).

Решение

Работа силы \(A = Fs = \dfrac{m\upsilon^2}{2}\), откуда \(\upsilon = \sqrt{\dfrac{2Fs}{m}}\). Мощность \[N = F\upsilon = F\sqrt{\frac{2Fs}{m}} = \sqrt{\frac{2F^3}{m}}\,\sqrt{s}.\] Поэтому ожидается линейная зависимость \(N(\sqrt{s})\). Построим график \(N(\sqrt{s})\) по табличным данным и проведём через точки наилучшую прямую из начала координат. Её угловой коэффициент \(k = \dfrac{N}{\sqrt{s}} = 2{,}8\text{ Вт/м}^{1/2}\).

В точке \(s_0 = 10\text{ см}\) мощность \(N = k\sqrt{s_0} = 2{,}8\cdot\sqrt{0{,}1}\text{ Вт} \approx 0{,}89\text{ Вт}\).

Из углового коэффициента \(k = \sqrt{2F^3/m}\) находим \[F = \left(\frac{k^2 m}{2}\right)^{1/3} \approx 2{,}0\text{ Н}.\]

Подсказка

Для звёзд кольца на радиусе \(r\) запишите второй закон Ньютона, в котором сила тяготения создаётся массой внутри \(r\). Постоянство скорости задаёт, как масса зависит от \(r\).

Ответ

1) \(M_\text{Я} \approx 1{,}1\cdot 10^{41}\text{ кг}\);  2) \(\rho_\text{Я} \approx 1{,}35\cdot 10^{-20}\text{ кг/м}^3\);  3) \(\rho_\text{Т}(r) = \dfrac{\upsilon_0^2}{4\pi\gamma r^2}\);  4) \(14\).

Решение

Для звёзд кольца на расстоянии \(r\) от центра масса, заключённая внутри сферы радиуса \(r\), \(M(r)\), создаёт притяжение, которое даёт центростремительное ускорение: \[\frac{\upsilon_0^2}{r} = \frac{\gamma M(r)}{r^2}, \qquad M(r) = \frac{\upsilon_0^2}{\gamma}\,r.\] На краю ядра \(M(r_\text{Я}) = M_\text{Я}\), поэтому \[M_\text{Я} = \frac{\upsilon_0^2 r_\text{Я}}{\gamma} = \frac{(2{,}4\cdot 10^5)^2\cdot 1{,}234\cdot 10^{20}}{6{,}67\cdot 10^{-11}}\text{ кг} \approx 1{,}1\cdot 10^{41}\text{ кг}.\] Средняя плотность ядра: \[\rho_\text{Я} = \frac{M_\text{Я}}{\frac{4}{3}\pi r_\text{Я}^3} \approx 1{,}35\cdot 10^{-20}\text{ кг/м}^3.\] Масса «тёмной материи» внутри радиуса \(r\) (вне ядра) равна \[M_\text{Т}(r) = M(r) - M_\text{Я} = \frac{\upsilon_0^2}{\gamma}\,(r - r_\text{Я}).\] Её плотность \[\rho_\text{Т}(r) = \frac{dM_\text{Т}}{4\pi r^2\,dr} = \frac{\upsilon_0^2}{4\pi\gamma r^2}.\] Полная масса «тёмной материи», влияющей на движение звёзд диска (от \(r_\text{Я}\) до \(15\,r_\text{Я}\)): \[M_\text{Т} = \frac{\upsilon_0^2}{\gamma}\,14\,r_\text{Я} = 14\,M_\text{Я},\] т.е. искомое отношение равно \(14\).

Подсказка

Расставьте токи по ветвям схемы с учётом закона сохранения заряда, введите одну неизвестную силу тока \(I\) и выразите остальные через неё через условие равенства напряжений между узлами.

Ответ

1) \(R_{AB} = \dfrac{5R}{12}\);  2) максимальный ток \(0{,}5\text{ А}\) в ветви \(A'B'\), минимальный ток \(0{,}1\text{ А}\) в ветви \(CL\);  3) \(0{,}7\text{ А}\).

Решение

Изобразим эквивалентную схему и расставим токи в ветвях с учётом закона сохранения заряда и симметрии соединения резисторов. Пусть сила тока в ветви, где ток \(I\), равна \(I\). Силу тока \(I_1\) найдём, приравняв разность потенциалов между узлами \(A\) и \(L\) для ветвей \(AL\) и \(ACL\): \[I_1 R = IR + (2I - I_1)R \quad\Rightarrow\quad I_1 = \frac{3I}{2}.\] Аналогично найдём силу тока \(I_2\): \[U_0 = I_2 R = I_1 R + IR = \frac{5IR}{2} \quad\Rightarrow\quad I_2 = \frac{5I}{2}.\] Сила тока \(I_0 = 2I + I_1 + I_2 = 6I\), отсюда \(I = I_0/6 = 0{,}2\text{ А}\).

Общее сопротивление цепи: \[R_{AB} = \frac{U_0}{I_0} = \frac{5IR/2}{6I} = \frac{5R}{12}.\] Минимальная сила тока в ветви \(CL\) равна \(2I - I_1 = I/2 = 0{,}1\text{ А}\). Максимальная сила тока в ветви \(A'B'\) равна \(I_2 = 5I/2 = 0{,}5\text{ А}\).

Сила тока, текущего через идеальную перемычку \(AA'\), равна сумме токов через резисторы в ветвях \(A'C\) и \(A'B'\): \(\dfrac{7I}{2} = 0{,}7\text{ А}\).

Подсказка

Сравните изменения температуры (и внутренней энергии) на участках 1–2 и 3–4, а затем работы газа на этих участках, которые отличаются на величину, связанную с площадью ромба.

Ответ

\(Q_{12} - |Q_{34}| = \dfrac{A}{2}\): количество теплоты, подведённое на участке 1–2, больше отведённого на участке 3–4 на \(A/2\).

Решение

Количество теплоты, подведённое к газу на участке 1–2, \(Q_{12} = \Delta U_{12} + A_{12}\); на участке 3–4 \(Q_{34} = \Delta U_{34} + A_{34}\).

Пусть давление в точках 1 и 3 равно \(p_0\), а объём в точках 2 и 4 равен \(V_0\). Из уравнения состояния \(pV = \nu RT\) для точек 1, 2 и для точек 3, 4 получаем, что изменения температуры на участках 1–2 и 3–4 одинаковы: \(T_3 - T_4 = T_2 - T_1\). Поэтому изменения внутренней энергии по модулю равны: \(|\Delta U_{12}| = |\Delta U_{34}|\).

Работа \(A_{12}\) больше работы, совершённой над газом на участке 3–4 (\(|A_{34}|\)), на величину \(A/2\). Следовательно, количество теплоты, подведённой к газу на участке 1–2, больше количества теплоты, отведённой от газа на участке 3–4, на \(A/2\): \[Q_{12} - |Q_{34}| = \frac{A}{2}.\]

Подсказка

В начальный момент тока нет, значит, напряжение на катушке равно напряжению на конденсаторе. Из постоянства напряжения на катушке найдите ток, затем заряд на конденсаторе и его ёмкость.

Ответ

1) \(C(t) = C_0\,\dfrac{1 - \dfrac{t^2}{2C_0L}}{1 + \dfrac{Rt}{L}}\);  2) \(A = \dfrac{5Q_0^2}{6C_0}\).

Решение

В начальный момент ток в цепи не течёт, поэтому \(U_L = U_C = \dfrac{Q_0}{C_0}\). Поскольку \(U_L = L\dfrac{dI}{dt}\) и остаётся постоянным, то \[I = \frac{Q_0}{C_0 L}\,t.\] По закону Ома для полной цепи \[U = U_L + RI(t) = L\frac{dI}{dt} + RI(t) = \frac{Q_0}{C_0} + \frac{Q_0 R}{C_0 L}\,t = \frac{Q_0}{C_0}\left(1 + \frac{R}{L}\,t\right).\] Заряд на конденсаторе меняется по закону \[Q(t) = Q_0 - \frac{Q_0}{C_0 L}\int_0^t \tau\,d\tau = Q_0\left(1 - \frac{t^2}{2C_0L}\right).\] Отсюда ёмкость \[C(t) = \frac{Q(t)}{U(t)} = C_0\,\frac{1 - \dfrac{t^2}{2C_0L}}{1 + \dfrac{Rt}{L}}.\] Примечание: условие постоянства напряжения на индуктивности может выполняться только конечное время, поэтому \(t < t_1 = \sqrt{C_0 L}\).

Работу внешних сил найдём из закона сохранения энергии: \[A = W_R + \Delta W_C + \Delta W_L.\] Энергия конденсатора \(W_C = \dfrac{1}{2}QU = \dfrac{Q_0^2}{2C_0}\left(1 - \dfrac{t^2}{2C_0L}\right)\left(1 + \dfrac{R}{L}t\right)\). Отсюда \(W_C(0) = \dfrac{Q_0^2}{2C_0}\), а при \(t_1\), учитывая \(\dfrac{R}{L}t_1 = 1\) и \(\dfrac{t_1^2}{2C_0L} = \dfrac12\), \(W_C(t_1) = \dfrac{Q_0^2}{2C_0}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot 2 = \dfrac{Q_0^2}{2C_0}\), т.е. \(\Delta W_C = 0\).

Энергия катушки при \(t_1\): \(\Delta W_L = \dfrac{L I^2(t_1)}{2} = \dfrac{Q_0^2}{2C_0}\).

Окончательно \[A = \frac{Q_0^2}{3C_0} + 0 + \frac{Q_0^2}{2C_0} = \frac{5Q_0^2}{6C_0}.\]