ВсОШ, 2015/16, заключительный этап, 10 класс, теоретический тур

Подсказка

Сила реакции горки при \(\mu = \mathrm{tg}\,\alpha\) направлена вертикально. Что это значит для горизонтальной составляющей скорости шайбы?

Ответ

1) \(\tau = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\dfrac{R}{v_0}\);  2) \(A_{\text{тр}} = -m\left(gR\,\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} - \dfrac{v_0^2}{2}\right)\);  3) \(v_0 \le \sqrt{\dfrac{gR}{2\sqrt{2}}}\).

Решение

При произвольном угле \(\alpha\) на шайбу действуют сила нормального давления \(N\) и сила трения \(F_{\text{тр}} = \mu N = N\,\mathrm{tg}\,\alpha\). Сила реакции \(Q\) направлена к силе \(N\) под таким углом \(\beta\), что \(\mathrm{tg}\,\beta = F_{\text{тр}}/N = \mathrm{tg}\,\alpha\). Откуда \(\beta = \alpha\), то есть сила реакции направлена вертикально. Поэтому горизонтальная составляющая скорости постоянна и равна \(v_0\).

1. Время движения \[\tau = \frac{R\cos(\pi/4)}{v_0} = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{R}{v_0}.\]

2. Скорость шайбы в момент достижения горизонтальной поверхности равна \(v_1 = \sqrt{2}\,v_0\). По закону сохранения энергии \[\frac{m v_0^2}{2} + mgR + A_{\text{тр}} = \frac{m v_1^2}{2} + mgR\cos\frac{\pi}{4}.\] Окончательно \[A_{\text{тр}} = -m\left(gR\,\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} - \frac{v_0^2}{2}\right).\]

3. Второй закон Ньютона в проекции на ось, перпендикулярную горке: \[\frac{m\,(v_0/\cos\alpha)^2}{R} = mg\cos\alpha - N.\] Отрыв произойдёт при \(N = 0\); при этом \(v_0^2 = gR\cos^3\alpha\). Поскольку \(0 \le \alpha \le \pi/4\), отрыва не будет при \(v_0 \le \sqrt{gR/(2\sqrt{2})}\). При этих значениях \(v_0\) работа \(A_{\text{тр}}\) всегда отрицательна, как и должно быть для работы диссипативных сил.

Подсказка

Постоянство объёмного расхода жидкости связывает скорости на двух участках трубы. Силу, действующую на отрезок взвеси, найдите через изменение импульса за время \(dt\).

Ответ

\(\mu = \dfrac{\Delta p\,S^2}{\nu\,\Delta V}\).

Решение

Пусть \(n_1\), \(n_2\) и \(u_1\), \(u_2\) — концентрации гранул и скорости течения на указанных участках трубы. Тогда \(\nu = n_1 u_1 S = n_2 u_2 S\). Несжимаемость жидкости выражается постоянством объёмного расхода: \[u_1 S (1 - n_1 V) = u_2 S\bigl(1 - n_2 (V + \Delta V)\bigr).\] Отсюда приращение скорости течения между указанными участками \[\Delta u = u_2 - u_1 = \frac{\nu\,\Delta V}{S}.\]

Рассмотрим смещение отрезка взвеси между указанными участками за время \(dt\): задняя граница отрезка сместится вправо на \(u_1\,dt\), а передняя — на \(u_2\,dt\). В области пересечения картина течения прежняя. От исходного отрезка сзади «отрезается» кусок \(u_1\,dt\) с массой \(dm = \mu\,dt\), а спереди добавляется кусок \(u_2\,dt\) с той же массой. Суммарная сила, действующая на отрезок взвеси, через изменение импульса: \[F = \frac{dp}{dt} = \frac{dm}{dt}(u_2 - u_1) = \mu(u_2 - u_1) = \Delta p\, S,\] откуда \[\mu = \frac{\Delta p\,S}{u_2 - u_1} = \frac{\Delta p\,S^2}{\nu\,\Delta V}.\]

Подсказка

Сначала найдите температуру, при которой лёд начнёт образовываться при давлении \(p_1\), затем уравнение теплового баланса. Объём системы меняется из-за сжимаемости воды и из-за образования льда.

Ответ

1) \(\Delta m_{\text{л}} \approx 18{,}7\) г;  2) \(\Delta V \approx 12{,}1\) см\(^3\);  3) \(A \approx 121\) Дж.

Решение

1. Температура при давлении \(p_1\): \[t_1 = -\frac{p_1 - p_0}{133~\text{атм}/{}^{\circ}\text{C}} = -1{,}50\,{}^{\circ}\text{C}.\] Уравнение теплового баланса \(q\,\Delta m_{\text{л}} = c_{\text{в}} m_0 (t_0 - t_1)\). Изменение массы льда \[\Delta m_{\text{л}} = \frac{c_{\text{в}} m_0 (t_0 - t_1)}{q} = 18{,}7~\text{г}.\]

2. Изменение объёма системы происходит за счёт сжимаемости воды (\(\Delta V_1\)) и за счёт образования льда (\(\Delta V_2\)). Изменение за счёт сжимаемости \[\Delta V_1 = G V (p_1 - p_0) = \frac{G m_0 (p_1 - p_0)}{\rho_{\text{в}}} = 9{,}95~\text{см}^3 \approx 10{,}0~\text{см}^3.\] За счёт образования льда, с учётом малости сжимаемости льда, \[\Delta V_2 = \Delta m_{\text{л}}\left(\frac{1}{\rho_{\text{л}}} - \frac{1}{\rho_{\text{в}}}\right) \approx 2{,}1~\text{см}^3.\] Изменение объёма системы \[\Delta V = \Delta V_1 + \Delta V_2 = 12{,}1~\text{см}^3.\]

3. Считая, что давление линейно связано с изменением объёма, работа системы равна \[A_1 = p_{\text{ср}}\,\Delta V = \frac{p_0 + p_1}{2}\,\Delta V \approx 121~\text{Дж}.\]

Подсказка

Открытый диод имеет напряжение \(U_d\) независимо от тока. Подумайте, сколько диодов открыто при заданном напряжении, и как распределяется ток по резисторам.

Ответ

1) токи через диоды: \(I_{D1} = 7{,}6\) А, \(I_{D2} = 4{,}2\) А, \(I_{D3} = 1{,}8\) А, \(I_{D4} = 0{,}4\) А; токи через резисторы: \(I_{R1} = 3{,}4\) А, \(I_{R2} = 2{,}4\) А, \(I_{R3} = 1{,}4\) А, \(I_{R4} = 0{,}4\) А; 2) см. рис. 24 в решении; 3) \(U_0 = 5{,}8\) В.

Решение

1. При \(U_0 = 4{,}4\) В открыты только первые 4 диода, поэтому на каждом из «открытых» диодов падает напряжение, равное \(U_d = 1\) В. По самому дальнему от места подключения источника резистору течёт ток силой меньше 1 А. Токи через резисторы равны \(I_{R1} = 3{,}4\) А, \(I_{R2} = 2{,}4\) А, \(I_{R3} = 1{,}4\) А, \(I_{R4} = 0{,}4\) А. Токи через диоды равны \(I_{D1} = 7{,}6\) А, \(I_{D2} = 4{,}2\) А, \(I_{D3} = 1{,}8\) А, \(I_{D4} = 0{,}4\) А.

2. При напряжении \(U_{AB} < 1\) В ток в цепи вообще не течёт. При напряжении \(U_{AB}\) от 1 В до 2 В ток идёт через первый диод и первый резистор; сила тока \[I = \frac{U_{AB} - 1~\text{В}}{1~\text{Ом}}.\] В диапазоне от 2 В до 3 В открыты первый и второй диоды, и токи текут по двум резисторам. При каждом увеличении напряжения на 1 В открывается ещё один диод. Вольт-амперная характеристика показана на рис. 24.

3. Пусть открыты \(N\) диодов и токи текут по \(N\) резисторам, причём ток через последний резистор \(I < 1\) А. Напряжение \(U_{AB}\) равно \(N\cdot(1~\text{В}) + I\cdot(1~\text{Ом})\). Суммарный ток цепи находится суммированием: \[I_N = N I + (1 + 2 + \dots + N - 1)\cdot(1~\text{А}) = N I + \frac{(N-1)N}{2}~\text{А}.\] При \(I = 1\) А максимальный ток равен \(I_{N,\max} = \dfrac{N(N+1)}{2}\) А, а при \(I = 0\) минимальный \(I_{N,\min} = \dfrac{N(N-1)}{2}\) А. При \(N = 5\) максимальное значение \(I_{\max} = 15\) А, минимальное \(I_{\min} = 10\) А. Сила тока \(14\) А находится в этом промежутке. Следовательно, \(N = 5\) и \(I = (4~\text{А})/5 = 0{,}8\) А. Значит, напряжение \(U_{AB} = 5{,}8\) В.

Ответ

1) \(N = \dfrac{\mathcal{E}^2}{2R_1}\cdot\dfrac{2R_1 + R_2}{R_1 + R_2}\);  2) \(Q \approx 0{,}27\,C\mathcal{E}^2\).

Решение

1. Пусть \(I_C\) — сила тока, идущего на зарядку конденсатора, \(I_R\) — сила тока через резистор \(R_2\), включённый параллельно конденсатору, \(I\) — ток через источник, \(q_R\) — заряд, прошедший через резистор \(R_2\), \(q_C\) — заряд конденсатора, \(q\) — заряд, прошедший через источник, \(U\) — напряжение на конденсаторе и резисторе \(R_2\). Тогда \[U = \frac{q}{C} = I_R R_2 = \mathcal{E} - I R_1,\] откуда \[I = \frac{\mathcal{E} - U}{R_1}, \qquad I_R = \frac{U}{R_2}, \qquad I_C = I - I_R = \frac{\mathcal{E}}{R_1} - U\left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\right).\] Зависимость скорости изменения энергии конденсатора от напряжения на нём является квадратным трёхчленом \[P = U\cdot I_C = U\left[\frac{\mathcal{E}}{R_1} - U\left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\right)\right],\] максимум которого находится посередине между его корнями: \[U_m = \frac{\mathcal{E}}{2}\cdot\frac{R_2}{R_1 + R_2}, \qquad I_m = \frac{\mathcal{E}}{2R_1}.\] Ток через источник в этот момент \[I = I_R + I_C = \frac{U_m}{R_2} + I_m = \frac{\mathcal{E}}{2R_1}\cdot\frac{2R_1 + R_2}{R_1 + R_2},\] а искомая мощность источника равна \[N = \mathcal{E} I = \frac{\mathcal{E}^2}{2R_1}\cdot\frac{2R_1 + R_2}{R_1 + R_2}.\]

2. Запишем второе правило Кирхгофа для контура с резисторами (\(R_1 = R_2 = R\)): \[\mathcal{E} = I R_1 + I_R R_2 = (I + I_R) R.\] Домножим это уравнение на \(\Delta t\) и просуммируем по времени от 0 до \(t_0\): \[\mathcal{E} t_0 = (q + q_R) R = (2q - q_C) R, \qquad (q_R = q - q_C).\] Заряд конденсатора \(q_C = C U_m = \dfrac{C\mathcal{E}}{2}\cdot\dfrac{R_2}{R_1 + R_2} = \dfrac{C\mathcal{E}}{4}\). Отсюда \[q = C\mathcal{E}\left(\frac{1}{8} + \frac{1}{4}\ln 2\right).\] Из закона сохранения энергии количество теплоты, выделившееся в цепи при замкнутом ключе \(K\), \[Q = \mathcal{E} q - \frac{q_C^2}{2C} = \frac{C\mathcal{E}^2}{4}\left(\frac{3}{8} + \ln 2\right) \approx 0{,}27\,C\mathcal{E}^2.\]