ВсОШ, 2015/16, заключительный этап, 11 класс, теоретический тур

Подсказка

Момент силы трения относительно оси диска должен обращаться в ноль. Сухое трение действует с постоянной по модулю силой, поэтому точка, где скорость скольжения меняет знак, делит площадь контакта на две части. Для вязкого трения сила пропорциональна скорости скольжения, и условие записывается через интеграл по радиусу диска.

Ответ

1) \(\omega_\mu = \sqrt{2}\,\dfrac{\omega_0 R_0}{R}\);  2) \(\omega_\eta = \dfrac{3}{2}\,\dfrac{\omega_0 R_0}{R}\);  3) \(k = \dfrac{3}{2\sqrt{2}} \approx 1{,}06\).

Решение

В установившемся режиме полный момент силы трения, действующей на диск, равен нулю. Скорость точки диска на расстоянии \(r\) от его оси равна \(\omega r\), а скорость точки валика в месте контакта равна \(\omega_0 R_0\). Скорость скольжения меняет знак на расстоянии \(r_0 = \omega_0 R_0/\omega\) от центра диска.

Сухое трение. Сила трения постоянна по модулю и направлена против скорости скольжения, поэтому момент равен нулю, когда \(\displaystyle\int_0^{r_0} r\,dr = \int_{r_0}^{R} r\,dr\), откуда \(r_0 = R/\sqrt{2}\), и \[\omega_\mu = \frac{\omega_0 R_0}{r_0} = \sqrt{2}\,\frac{\omega_0 R_0}{R}.\]

Вязкое трение. Сила на единицу длины пропорциональна скорости скольжения \(\beta(\omega r - \omega_0 R_0)\), и условие равенства нулю момента имеет вид \(\displaystyle\int_0^{R} r\,(\omega r - \omega_0 R_0)\,dr = 0\). Отсюда \(R^3/3 = R^2 r_0/2\), то есть \(r_0 = 2R/3\), и \[\omega_\eta = \frac{\omega_0 R_0}{r_0} = \frac{3}{2}\,\frac{\omega_0 R_0}{R}.\]

Отношение скоростей: \(k = \omega_\eta/\omega_\mu = \dfrac{3}{2\sqrt{2}} \approx 1{,}06\), то есть при вязком трении установившаяся скорость диска на 6 % больше, чем при сухом.

Подсказка

Выразите теплоёмкость процесса через наклон касательной \(dp/dV\) и отношение \(V/p\) в точке. Диаметрально противоположные точки имеют одинаковый наклон касательной, поэтому остаётся сравнить отношения \(V/p\) и положения точек на окружности.

Ответ

1) Пары точек \((V_0;\ p_0\pm\Delta p)\) с горизонтальной касательной: \(C = C_p = 4R\); пары \((V_0\pm\Delta V;\ p_0)\) с вертикальной касательной: \(C = C_V = 3R\); пара точек на диаметре, проходящем через начало координат (\(p/V = p_0/V_0\)): \(C = 3R + \dfrac{R}{1 - \left(\dfrac{V_0\,\Delta p}{p_0\,\Delta V}\right)^2}\); 2) \(C_C > C_D\), так как в точке с меньшим отношением \(V/p\) теплоёмкость больше.

Решение

Для одного моля идеального газа \(C = \dfrac{\delta Q}{dT} = \dfrac{dU + p\,dV}{dT}\). Из уравнения состояния \(R\,dT = p\,dV + V\,dp\), поэтому \(dU = C_V\,dT = \dfrac{C_V}{R}(p\,dV + V\,dp)\), и \[C = C_V + \frac{R}{1 + \dfrac{V}{p}\dfrac{dp}{dV}}.\] В любых диаметрально противоположных точках \(A\) и \(B\) касательная к окружности имеет один и тот же наклон: \((dp/dV)_A = (dp/dV)_B\). Значит, теплоёмкости равны, если \(dp/dV\) равно нулю (тогда \(C = C_p\)) или бесконечности (тогда \(C = C_V\)), либо если точки \(A\), \(B\) и центр окружности лежат на одной прямой, проходящей через начало координат, то есть \(V_A/p_A = V_B/p_B = V_0/p_0\).

Для третьего случая перерисуем процесс в безразмерных осях (рис. 25): если угловой коэффициент прямой \(AB\) равен \(k\), то касательная в точке \(B\) перпендикулярна ей, и \[\frac{dp}{dV} = -\frac{V_0}{p_0}\left(\frac{\Delta p}{\Delta V}\right)^2, \qquad C = C_V + \frac{R}{1 - \left(\dfrac{V_0}{p_0}\right)^2\left(\dfrac{\Delta p}{\Delta V}\right)^2}.\]

Для точек \(C\) и \(D\), лежащих во 2 и 4 квадрантах, \((dp/dV)_C = (dp/dV)_D > 0\), поэтому теплоёмкость больше там, где отношение \(V/p\) меньше: \(V_C/p_C < V_D/p_D\), откуда \(C_C > C_D\).

Подсказка

Напряжения на двух последовательно соединённых элементах складываются как векторы: резистор даёт напряжение в фазе с током, конденсатор и катушка — со сдвигом на \(90^\circ\). Сравните модули напряжений в разных схемах подключения и найдите элемент, который не сдвигает фазу.

Ответ

1) \(U = 35\) В;  2) элемент 3 — резистор, элементы 1 и 2 — конденсатор и катушка индуктивности; однозначно установить, какой из них конденсатор, а какой катушка, нельзя;  3) \(I_{12} : I_{13} : I_{23} = 60 : 21 : 28\).

Решение

При подключении к источнику переменного тока двух последовательно соединённых элементов их напряжения складываются как векторы, модуль суммы которых равен напряжению, показываемому вольтметром. Для резистора вектор направлен под углом \(0^\circ\), для конденсатора — под \(+90^\circ\), для катушки — под \(-90^\circ\). Суммарное напряжение не превосходит суммы напряжений.

Пусть один из элементов 1 и 2 — катушка, другой — конденсатор. Тогда напряжение на них \(U_{12} = 80\,\text{В} - 45\,\text{В} = 35\,\text{В}\) — это и есть напряжение источника. Так как \(21^2 + 28^2 = 35^2\), элемент 3 является резистором. Поменять местами катушку и конденсатор нельзя различить, так как при сохранении импедансов напряжения не меняются. Остальные варианты приводят к противоречию (суммарное напряжение в них больше, чем \(45\,\text{В}\)), поэтому элементы 1 и 2 — конденсатор и катушка.

Импедансы складываются аналогично напряжениям, отношения модулей импедансов равны отношениям напряжений: \(Z_1 : Z_3 = 4 : 3\) и \(Z_3 : Z_2 = 4 : 3\). Пусть \(Z_2 = 9\), \(Z_3 = 12\), \(Z_1 = 16\) (относительные единицы). Тогда \(Z_{12} = 7\), \(Z_{13} = 20\), \(Z_{23} = 15\). Ток обратно пропорционален импедансу, поэтому \[I_{12} : I_{13} : I_{23} = \frac{1}{7} : \frac{1}{20} : \frac{1}{15} = 60 : 21 : 28.\]

Подсказка

Ток через жидкость между пластинами создаёт силу Ампера, которая поднимает жидкость. Найдите напряжение, при котором эта сила уравновешивает вес жидкости, а затем запишите равновесие шарика.

Ответ

\(T(U) = \rho g V\) при \(U \leqslant U_{\text{кр}} = \dfrac{\rho_0 g \lambda b}{B}\);  \(T(U) = (\rho - \rho_0)\,gV + \dfrac{BV}{\lambda b}\,U\) при \(U > U_{\text{кр}}\). График: горизонтальный участок \(T = \rho g V\) до \(U_{\text{кр}}\), далее прямая с наклоном \(BV/(\lambda b)\), пересекающая ось \(T\) в точке \((\rho - \rho_0)\,gV\).

Решение

Сила тяжести, действующая на жидкость объёма \(V\): \(F_т = \rho_0 g V\). Плотность тока в жидкости между пластинами одинакова во всех точках, поэтому на элемент объёма \(V\) действует сила Ампера \(F_{\text{амп}} = \dfrac{BIb}{abh}\,V = \dfrac{BI}{ah}\,V\), где \(I = \dfrac{Ua h}{\lambda b}\). Жидкость поднимается, если \(F_{\text{амп}} > F_т\), то есть при \(U > U_{\text{кр}} = \dfrac{\rho_0 g \lambda b}{B}\).

При \(U > U_{\text{кр}}\) на шарик жидкости между пластинами со стороны остальной жидкости действует направленная вниз сила Архимеда \(F_{\text{арх}} = F_{\text{амп}} - F_т = \left(-\rho_0 g + \dfrac{BU}{\lambda b}\right)V\). Такая же по величине сила действует на непроводящий шарик. В равновесии \[T(U) = F_{\text{арх}} + \rho g V = (\rho - \rho_0)\,gV + \frac{BV}{\lambda b}\,U.\] При \(U \leqslant U_{\text{кр}}\) жидкость не поднимается, и \(T = \rho g V\). Окончательно \[T(U) = \begin{cases} \rho g V, & U \leqslant \dfrac{\rho_0 g \lambda b}{B},\\[2mm] (\rho - \rho_0)\,gV + \dfrac{BV}{\lambda b}\,U, & U > \dfrac{\rho_0 g \lambda b}{B}. \end{cases}\]

Подсказка

Запишите законы сохранения импульса и энергии при отражении фотона от движущегося зеркала и учтите, что сила светового давления убывает как \(1/R^2\). Сравните эту силу с силой гравитационного притяжения: при какой скорости они уравновешивают друг друга?

Ответ

\(R_1 = 1{,}07\cdot 10^{11}\) м \(= 0{,}72\) а. е. (парус движется к Солнцу со скоростью \(|v| \approx 1{,}19\cdot 10^7\) м/с).

Решение

При отражении фотона от зеркала, движущегося со скоростью \(v\), законы сохранения импульса и энергии при \(\Delta v \ll v\) дают \(\Delta p = m\,\Delta v = 2p_1\dfrac{c}{c+v}\) — изменение импульса зеркала за одно столкновение. Интенсивность излучения убывает как \(W = W_0 R_0^2/R^2\), поэтому сила светового давления на зеркало, направленная от Солнца, равна \[F_W = \frac{2 W_0 S}{c}\,\frac{c - v}{c + v}\,\frac{R_0^2}{R^2}.\] Сила гравитационного притяжения \(F_G = \dfrac{4\pi^2 R_0^3}{T^2}\dfrac{m}{R^2}\), где \(T\) — период обращения Земли вокруг Солнца. Обе силы пропорциональны \(1/R^2\), поэтому движение с постоянной скоростью возможно на любом расстоянии. Приравнивая силы, получаем \[v = \frac{W_0 S T^2 - 2\pi^2 R_0 m c}{W_0 S T^2 + 2\pi^2 R_0 m c} \cdot c \approx -1{,}19\cdot 10^{7}~\text{м/с},\] то есть скорость зеркала направлена к Солнцу. Через час полёта расстояние от паруса до Солнца \(R_1 = R_0 - |v| t_1 \approx 1{,}07\cdot 10^{11}\) м \(= 0{,}72\) а. е.