ВсОШ, 2015/16, заключительный этап, 9 класс, экспериментальный тур

Подсказка

Для первой модели ток через омметр равен \(U/R_x\), а напряжение на нём \(U = U_0 R_x/(R_x + r)\). Попробуйте линеаризовать эту зависимость, взяв обратные величины: какой график получится прямой?

Ответ

1) \(R_V = 1\) МОм;  2)–3) см. таблицу 1 и график 1 в решении;  4) график в осях \(\dfrac{1}{U}\left(\dfrac{1}{R_x}\right)\) линеен (график 2);  5) лучшая модель — первая;  6) \(U_0\) и \(r\) для всех диапазонов — см. таблицу 3 в решении.

Решение

Сопротивление мультиметра в режиме вольтметра на разных диапазонах измеряем непосредственно омметром. Оно составляет \(R_V = 1\) МОм. При измерениях напряжений, превышающих 20 кОм (в этом случае влияние вольтметра может вносить систематическую погрешность, превышающую 2%), необходимо вносить поправку на конечность сопротивления вольтметра.

Для исследования зависимости напряжения на выходе омметра от измеряемого сопротивления \(R_x\) используем переменный резистор и мультиметр в режиме вольтметра, подключённые параллельно (рис. 14). Омметр переводим в режим с пределом измерения 20 кОм. Результаты измерений приведены в таблице 1 и на графике 1.

Теоретическая зависимость для первой модели: \(U = I R_x = \dfrac{U_0 R_x}{R_x + r}\). Для второй модели, с учётом идеальности внутреннего и внешнего вольтметров, \(U = I_0 R_x\). Так как характер зависимости нелинейный (график 1), вторая модель далее не рассматривается.

Для проверки первой модели линеаризуем результаты, построив график в осях \(\left(\dfrac{1}{U};\ \dfrac{1}{R_x}\right)\): теоретическая зависимость имеет вид \(\dfrac{1}{U} = \dfrac{1}{U_0} + \dfrac{r}{U_0 R_x}\), то есть линейна (график 2).

Далее ищем параметры первой модели (\(U_0\) и \(r\)) для каждого диапазона. Соберём цепь 1 (рис. 15) и снимем показания вольтметра \(U_1\) на всех диапазонах омметра (измерения на диапазоне 20 В вольтметра). Затем соберём цепь 2 (рис. 16) и снимем показания \(U_2\) при \(R_x = R = 1\) кОм на диапазонах 2000 мВ и 200 мВ вольтметра. Результаты — в таблице 2.

В первой цепи \(I_1 = U_1/R_V\) и \(U_1 = U_0 - \dfrac{U_1}{R_V} r\). Во второй \(I_2 = U_2\left(\dfrac{1}{R_V} + \dfrac{1}{R}\right)\), откуда \(U_2 = U_0 - U_2\left(\dfrac{1}{R_V} + \dfrac{1}{R}\right) r\). Решая систему, получаем точные формулы \[r = \frac{U_1 - U_2}{U_2\left(\dfrac{1}{R_V} + \dfrac{1}{R}\right) - \dfrac{U_1}{R_V}}, \qquad U_0 = \frac{U_1 U_2 R_V}{U_2 (R_V + R) - U_1 R}.\] При \(R_V \gg R\) получаем приближённые формулы \(r^* = \dfrac{U_1 - U_2}{U_2/R - U_1/R_V}\) и \(U_0^* = \dfrac{U_1 U_2 R_V}{U_2 R_V - U_1 R}\); в грубом приближении идеального вольтметра \(r^{**} = \dfrac{U_1 - U_2}{U_2} R\) и \(U_0^{**} = U_1\). Результаты расчётов — в таблице 3.

Погрешность результатов ввиду сложных аналитических зависимостей можно оценить по формулам грубого приближения: \(\varepsilon_{U_0} \approx \varepsilon_{U_1} = 1\%\), \(\varepsilon_r \approx \varepsilon_{U_1} + \varepsilon_{U_2} + \varepsilon_R = 3\%\).

Подсказка

Линейка служит рычагом: из условия равновесия моментов найдите силу натяжения нити. На линейном участке графика сила пропорциональна глубине погружения, а коэффициент пропорциональности связан с плотностью жидкости и площадью сечения шарика.

Ответ

1) см. график в решении (рис. 19);  2) \(\rho = (1{,}17 \pm 0{,}09)\) г/см\(^3\).

Решение

Сначала определим положение центра масс линейки. Для измерения силы натяжения используем линейку в качестве рычага, осью которого служит стержень, закреплённый в штативе. Подвесим шарик так, чтобы он касался поверхности воды, и определим значения \(h_0\) и \(H_0\) (рис. 17).

Уравновесим на рычаге частично погружённый в жидкость шарик. Металлической линейкой измеряем расстояние от уровня жидкости до верха стакана \(h\) и расстояние от поверхности стола до деревянной линейки \(H\) в точке опоры (рис. 18), следя за горизонтальностью линейки. Глубина погружения шарика \(l = H_0 + h_0 - h - H\). Сила натяжения нити рассчитывается по правилу моментов относительно точки опоры: \(T x = m g (x_0 - x)\), где \(x\) — расстояние от точки опоры до точки подвеса шарика, \(x_0\) — расстояние от точки подвеса шарика до центра масс линейки. Условие равновесия шарика: \(T + F_{\text{арх}} = m_ш g\).

В эксперименте \(H_0 = 260\) мм, \(h_0 = 70\) мм, \(L = 247\) мм, масса линейки \(m = 22{,}62\) г. Результаты измерений — в таблице 4.

Построим график зависимости силы натяжения нити от глубины погружения \(T(l)\) (рис. 19).

Из графика видно, что при погружении шарика примерно наполовину зависимость становится линейной. Это объясняется тем, что форму центральной части шарика можно приближённо считать цилиндрической. Для определения площади поперечного сечения измерим длину окружности шарика \(L\), прокатив его по линейке: \(S = \dfrac{L^2}{4\pi}\), где \(L = 186\) мм.

Для линейного участка сила \(T\) пропорциональна глубине погружения. По угловому коэффициенту, который равен \(\rho_ж g S = 31{,}5\) Н/м, находим плотность жидкости \(\rho = 1{,}17\) г/см\(^3\).

Оценим погрешность. Глубину погружения вычисляем по двум расстояниям, каждое из которых измерено с погрешностью \(0{,}5\) мм, значит \(\Delta l = 1\) мм. Сила натяжения \(T = mg\,l_1/l_2\), поэтому \(\varepsilon_T \approx 0{,}05\), а \(\varepsilon_S = 2\varepsilon_L = 2\dfrac{\Delta L}{L} = 2\cdot\dfrac{2~\text{мм}}{186~\text{мм}}\). Погрешность углового коэффициента \(\varepsilon_k = 0{,}06\) (полуразность максимального и минимального наклонов прямых, проведённых через кресты ошибок). Тогда \(\varepsilon_\rho = \varepsilon_k + \varepsilon_S = 0{,}08\) и окончательно \(\rho = (1{,}17 \pm 0{,}09)\) г/см\(^3\).