ВсОШ, 2015/16, заключительный этап, 9 класс, теоретический тур

Подсказка

Угол между радиус-векторами камней относительно центров колёс остаётся постоянным. Вектор между камнями равен сумме постоянного вектора между центрами колёс и вектора, длина которого не меняется.

Ответ

1) \(L_{\max} = R\,(3 + \sqrt{2})\), \(L_{\min} = R\,(3 - \sqrt{2})\);  2) \(t = \dfrac{\pi R}{4v}\).

Решение

Колёса имеют одинаковые размеры и не проскальзывают, поэтому они вращаются с одинаковыми угловыми скоростями \(\omega = v/R\). Угол между радиус-векторами камней \(\vec r_1\) и \(\vec r_2\) относительно центров колёс в любой момент времени равен \(90^\circ\) (рис. 15).

Радиус-вектор второго камня относительно первого: \(\vec r_{21} = \vec r_0 + \vec r_2 - \vec r_1\), где \(\vec r_0\) — радиус-вектор центра переднего колеса относительно центра заднего. Вектор \(\vec r_2 - \vec r_1\) имеет длину \(\sqrt{2}\,R\) и вращается с угловой скоростью \(\omega\), а вектор \(\vec r_0\) постоянен. Концы векторов \(\vec r_2 - \vec r_1\) и \(\vec r_{21}\) лежат на окружности радиуса \(\sqrt{2}\,R\) с центром в конце вектора \(\vec r_0\) (рис. 16).

Длина \(\vec r_{21}\) минимальна, когда \(\vec r_2 - \vec r_1\) направлен противоположно \(\vec r_0\), и максимальна, когда он направлен так же, как \(\vec r_0\) (рис. 17): \[r_{21}^{\min} = 3R - \sqrt{2}\,R = R\,(3 - \sqrt{2}), \qquad r_{21}^{\max} = 3R + \sqrt{2}\,R = R\,(3 + \sqrt{2}).\]

Длина \(\vec r_{21}\) максимальна, когда вектор \(\vec r_2\) повернётся на угол \(\pi/4\) относительно начального положения. Отсюда момент времени \(t = \dfrac{\pi}{4\omega} = \dfrac{\pi R}{4v}\).

Подсказка

Изменение импульса за малый интервал времени равно \(\vec F\,\Delta t\). Сложите эти векторы: их сумма образует дугу окружности, а проекция на направление скорости даёт итоговое изменение.

Ответ

Если сначала сила направлена вправо (рис. 2), то \(u = v - \dfrac{2F\tau}{\pi m}\); направление \(\vec u\) совпадает с \(\vec v\) при \(v > \dfrac{2F\tau}{\pi m}\), иначе противоположно. Если сначала сила направлена влево, то \(u = v + \dfrac{2F\tau}{\pi m}\), и \(\vec u\) всегда сонаправлена с \(\vec v\).

Решение

Пусть для определённости вектор силы в начальный момент направлен вправо. Изменение импульса за малые интервалы времени \(\Delta t\) равно \(m(\vec u - \vec v) = \sum \vec F_i\,\Delta t\), где \(\vec F_i\) — сила в данный момент. Геометрически суммы этих векторов образуют полуокружность (рис. 18), а суммарное изменение импульса \(\Delta\vec p\) направлено против начальной скорости: составляющие, перпендикулярные ей, компенсируются за время поворота силы на \(180^\circ\).

Длина дуги полуокружности равна \(\sum F_i\,\Delta t = F\tau\), откуда диаметр окружности \(\Delta p = \dfrac{2F\tau}{\pi}\), и \[u = v - \frac{2F\tau}{\pi m}.\] Направление \(\vec u\) совпадает с \(\vec v\) при \(v > \dfrac{2F\tau}{\pi m}\), иначе направление противоположно.

Второй возможный вариант, когда вектор силы изначально направлен влево, даёт изменение скорости, совпадающее по направлению с \(\vec v\): \(u = v + \dfrac{2F\tau}{\pi m}\).

Подсказка

Запишите правило моментов относительно передней опоры для равномерного движения. Определите, при каком условии скамейка начнёт опрокидываться: тогда сила реакции задней опоры обращается в ноль.

Ответ

\(A = \mu m g\left(\dfrac{\mu^2 h^2 L}{L^2 - \mu^2 h^2} + S\right)\); движение возможно при \(L > 2\mu h\).

Решение

Найдём силу, необходимую для поддержания равномерного движения скамейки с заехавшей на шероховатую область передней опорой. Правило моментов относительно точки \(O\) в системе отсчёта, связанной со скамейкой, даёт \(\mu N_1 h + mg\dfrac{L}{2} = N_1 L\), здесь учтено, что \(F_1 = \mu N_1\). Откуда \[F_1 = \frac{\mu m g L}{2(L - \mu h)}.\] Когда на шероховатую область заехали обе опоры, необходимо прикладывать силу \(F_2 = \mu m g\). Когда движется только задняя опора, по аналогии с первым случаем \[F_3 = \frac{\mu m g L}{2(L + \mu h)}.\]

Полную работу можно представить в виде суммы работ на трёх участках: \[A = F_1 L + F_2 (S - L) + F_3 L = \mu m g\left(\frac{L^3}{L^2 - \mu^2 h^2} + S - L\right) = \mu m g\left(\frac{\mu^2 h^2 L}{L^2 - \mu^2 h^2} + S\right).\]

Важно учесть область допустимых значений. Условие \(L > \mu h\) не является достаточным: нужно, чтобы контакт с поверхностью сохранялся обеими опорами. Скамейка начнёт опрокидываться относительно передней ножки, когда сила \(N_2\) исчезнет, а \(N_1\) станет равна \(mg\). Из правила моментов относительно точки \(A\): \(\mu h N_1 = \dfrac{L}{2} N_1\), то есть сохранение контакта возможно лишь при \(L > 2\mu h\).

Подсказка

Для малого участка трубы запишите тепловой баланс: изменения температур кофе и молока равны, поэтому их разность постоянна вдоль трубы. Тогда температуры меняются линейно по длине.

Ответ

1) \(t_4 = 40\,^\circ\)C;  2) \(s = 3\) м;  3) \(t'_3 = 46{,}4\,^\circ\)C, \(t'_4 = 53{,}6\,^\circ\)C.

Решение

В установившемся режиме температура вдоль трубы меняется линейно. Из уравнения теплового баланса следует, что изменения температур жидкостей одинаковы, поскольку за одинаковое время обмениваются теплом одинаковые массы жидкостей. Если в некотором месте температуры кофе и молока равны \(t_к\) и \(t_м\), то на небольшом расстоянии \(\Delta x\) они станут равны \(t_к + \Delta t\) и \(t_м + \Delta t\), при этом разность температур и мощность теплообмена сохранятся. Распределение температур вдоль труб показано на рис. 21.

Изменения температур равны: \(\Delta t_1 = t_3 - t_1 = 50\,^\circ\)C. Температура кофе на выходе \(t_4 = t_2 - \Delta t_1 = 40\,^\circ\)C.

Расстояние \(s\) между участками труб с одинаковыми температурами найдём из подобия треугольников: \(\dfrac{s}{L} = \dfrac{t_2 - \Delta t_1 - t_1}{\Delta t_1}\), откуда \(s = 3\) м.

Свяжем мощности переданного и полученного тепла: \(\mu c\,\Delta t_1 = \alpha(t_2 - \Delta t_1 - t_1)\), где \(\alpha\) — константа, связанная с теплопроводящими свойствами внутренней трубы и жидкостей. После увеличения расхода жидкостей до \(\mu' = 2\mu\) уравнение связи примет вид \(2\mu c\,\Delta t'_1 = \alpha(t_2 - \Delta t'_1 - t_1)\). Решая систему, получим \(\Delta t'_1 = 36{,}4\,^\circ\)C. Откуда \(t'_3 = 46{,}4\,^\circ\)C и \(t'_4 = 53{,}6\,^\circ\)C.

Подсказка

Идеальный амперметр соединяет свои узлы без сопротивления, поэтому их можно считать одним узлом. Идеальный вольтметр, наоборот, не пропускает ток, и в его ветви тока нет.

Ответ

\(U_0 = 15\) В;  \(R = 10\) Ом.

Решение

Для тетраэдра с амперметром обозначим узлы и нарисуем эквивалентную схему с учётом равенства нулю сопротивления амперметра. Расставим токи в эквивалентной схеме по закону Ома (обратно пропорционально сопротивлениям параллельных ветвей) и по закону сохранения заряда в узлах, затем отметим найденные токи на исходной схеме (рис. 22).

Для ветви \(ab\) запишем \(U_0 = 3I_1 R\), откуда ток через амперметр \[I_A = 4I_1 = \frac{4U_0}{3R}.\] Повторим эти действия для тетраэдра с вольтметром, имеющим бесконечно большое сопротивление (рис. 23).

Напряжение между узлами \(ab\) равно \(U_0 = 3I_2 R + 2I_2 R\), откуда показание вольтметра \(U = 4I_2 R = \dfrac{4}{5}U_0\). Выражая искомые величины, получим \[U_0 = \frac{5}{4}U = 15~\text{В}, \qquad R = \frac{5}{3}\,\frac{U}{I_A} = 10~\text{Ом}.\]