ВсОШ, 2016/17, заключительный этап, 10 класс, экспериментальный тур

Подсказка

Нагрев: мощность тепловых потерь пропорциональна разности температур терморезистора и комнаты, коэффициент пропорциональности найдите по установившемуся режиму. Охлаждение: запишите уравнение теплового баланса для малого интервала времени и найдите наклон касательной к графику \(T(\tau)\).

Ответ

\(C = (1{,}30 \pm 0{,}25)~\text{Дж/К}\).

Решение

При комнатной температуре \(T_\text{к}\) омметром измеряем сопротивление терморезистора \(R_\text{к} = 10{,}3~\text{Ом}\) (он при этом не греется) и сопротивление постоянного резистора \(r = 5{,}1~\text{Ом}\); при этих измерениях нужно учитывать сопротивление подводящих проводов мультиметра, около \(0{,}3~\text{Ом}\).

Подключим последовательно резистор, терморезистор и батарейку. Терморезистор нагреется до установившейся температуры \(T_\text{уст}\). В этом случае подводимая мощность равна мощности тепловых потерь. Вольтметром измеряем напряжение на резисторе \(U_r\) и на терморезисторе \(U_R\). Считая, что мощность тепловых потерь пропорциональна разности температур, \[\alpha = \frac{P}{T_\text{уст} - T_\text{к}} = \frac{U_rU_R}{r}\cdot \left(-\frac{a}{\ln\left(R(T_\text{уст})/R_0\right)}\right) = 1{,}3\cdot 10^{-2}~\text{К}^{-1}.\]

Отключим терморезистор и измеряем его сопротивление омметром, одновременно фиксируя время. Так получаем зависимость температуры терморезистора от времени при охлаждении. Для температуры \(T\) терморезистора уравнение теплового баланса для малого интервала \(\Delta\tau\): \[-\alpha(T - T_\text{к})\Delta\tau = C\,\Delta T .\] Отношение \(k = \Delta T/\Delta\tau\) есть коэффициент наклона касательной к графику \(T(\tau)\) в точке с температурой \(T\). Проводя касательную и определяя \(k\), находим \[C = -\frac{\alpha(T - T_\text{к})}{k} = 1{,}3~\text{Дж/К}.\]

Подсказка

Плотность найдите по массе и объёму цилиндра из сухого льда. Для температуры и теплоты сублимации используйте уравнения теплового баланса; при расчёте теплоёмкости дюралюминия учтите, что он нагревается от \(t_x\) до \(t_\text{уст}\).

Ответ

1) \(\rho = 1{,}6 \pm 0{,}2~\text{г/см}^3\);  2) \(t_x = -73 \pm 3~^\circ\text{C}\);  3) \(\lambda = 600 \pm 10~\text{кДж/кг}\);  4) \(c_\text{ал} = 720 \pm 50~\text{Дж/(кг}\cdot\text{К)}\).

Решение

Плотность. Взвешиваем цилиндр из сухого льда, измеряем его длину и диаметр (методом прокатывания по линейке; можно также уложить ряд одинаковых цилиндров). Тогда \(\rho = 1{,}6 \pm 0{,}2~\text{г/см}^3\).

Температура сухого льда. Наполняем стаканчик из теплоизолирующего материала сухим льдом и помещаем в него латунный цилиндр. Процесс охлаждения заканчивается с прекращением шипения. Затем переносим охлаждённый цилиндр в стакан с водой и измеряем установившуюся температуру \(t_\text{уст}\). Решая уравнение теплового баланса, \[t_x = t_\text{уст} - \frac{c_\text{в}m_\text{в}}{c_\text{лат}m_\text{лат}}\, (t_\text{в} - t_\text{уст}) = -73 \pm 3~^\circ\text{C}.\] Прямыми измерениями температуру сухого льда определить нельзя: минимальная измеримая температура термометра около \(-75\,^\circ\text{C}\).

Теплота сублимации. Помещаем несколько граммов диоксида углерода в стаканчик с водой, для теплоизоляции стакан помещаем в пенопластовый стакан и закрываем крышкой. После окончания сублимации измеряем температуру воды \(t_\text{уст}\). Уравнение теплового баланса даёт \[q_\text{субл} = \frac{c_\text{в}m_\text{в}(t_\text{в} - t_\text{уст})}{m_{\text{CO}_2}} = 600 \pm 10~\text{кДж/кг}.\]

Теплоёмкость дюралюминия. Повторяем эксперимент с цилиндром из дюралюминия. Количество теплоты, необходимое для нагревания цилиндра от \(t_x\) до \(t_\text{уст}\), \(Q = \frac{1}{2}\left(c(t_x) + c(t_\text{уст})\right) m_\text{ал}(t_\text{уст} - t_x)\). Подставляя \(Q\) в уравнение теплового баланса, получаем \[c(t_x) = \frac{2c_\text{в}m_\text{в}(t_0 - t_\text{уст})}{m_\text{ал}(t_\text{уст} - t_x)} - c(t_\text{уст}) = 720 \pm 50~\text{Дж/(кг}\cdot\text{К)},\] где \(t_0\) — начальная температура воды.