РешениеИдеяСетка — это «разрыв» в потоке. Через него надо протащить три закона: сохранение массы, сохранение энергии и закон изменения импульса. Слова «сетка не оказывает сопротивления потоку» означают, что она не создаёт перепада давления: \(P'=P\). Тогда первые два закона дают скорость, а третий — искомую силу.
Обозначим величины за сеткой штрихом. Плотность газа перед сеткой
\[ \rho=\frac{P\mu}{RT} . \]
1. Сохранение массы. Сечение всюду одно и то же, поэтому
\[ \rho v=\rho' v' . \tag{1} \]
2. Постоянство давления. \(P'=P\). Вместе с (1) и уравнением состояния это сразу даёт связь температур:
\[ \frac{T'}{T}=\frac{P'/\rho'}{P/\rho}=\frac{\rho}{\rho'}=\frac{v'}{v} . \tag{2} \]
Газ нагрелся ровно во столько раз, во сколько разогнался. Это понятно и без формул: при постоянном давлении объём растёт пропорционально температуре, а раз труба не расширяется — растёт скорость.
3. Сохранение энергии. Через сетку в секунду проходит масса \(\dot m=\rho v S\). На каждый килограмм приходится добавка энергии \(q/\dot m\). Удельная энтальпия газа
\[ h=\frac{c_PT}{\mu}=\frac{\gamma}{\gamma-1}\cdot\frac{RT}{\mu}=\frac{\gamma}{\gamma-1}\cdot\frac{P}{\rho} , \]
и баланс «энтальпия плюс кинетическая энергия» для установившегося потока даёт
\[ h'+\frac{v'^2}{2}=h+\frac{v^2}{2}+\frac{q}{\rho vS} . \tag{3} \]
По (2) \(h'=h\,\dfrac{v'}{v}\). Обозначим \(w=\dfrac{v'}{v}\) и поделим (3) на \(v^2\):
\[ \beta w+\frac{w^2}{2}=\beta+\frac12+\tilde q,\qquad
\beta\equiv\frac{h}{v^2}=\frac{\gamma P}{(\gamma-1)\rho v^2},\quad
\tilde q\equiv\frac{q}{\rho Sv^3} . \]
Это квадратное уравнение \(w^2+2\beta w-(2\beta+1+2\tilde q)=0\); его корень, переходящий в \(w=1\) при \(\tilde q=0\), равен
\[ \boxed{\;\frac{v'}{v}=\sqrt{(\beta+1)^2+2\tilde q}-\beta\;},\qquad
\beta=\frac{\gamma P}{(\gamma-1)\rho v^2},\quad \tilde q=\frac{q}{\rho Sv^3} . \]
В «размерном» виде это то же самое:
\[ v'=\frac{1}{v}\left[\sqrt{\bigl(h+v^2\bigr)^2+\frac{2vq}{\rho S}}-h\right],\qquad h=\frac{\gamma RT}{\mu(\gamma-1)} . \]
4. Сила. Секундный импульс потока вырос с \(\dot m v\) до \(\dot m v'\), а давления по обе стороны сетки одинаковы и взаимно уравновешиваются. Значит, недостающий импульс газу передала именно сетка:
\[ F=\dot m\,(v'-v)=\boxed{\;\rho S v\,(v'-v)\;},\qquad \rho=\frac{P\mu}{RT} . \]
По третьему закону Ньютона газ давит на сетку с такой же по модулю силой, направленной против потока: сетку сносит назад.
Проверка. При \(q=0\): \(w=\sqrt{(\beta+1)^2}-\beta=1\), скорость не меняется и \(F=0\) ✓. При \(q\;{\gt}\;0\) корень растёт, \(w\;{\gt}\;1\) — газ разгоняется, что и должно быть: нагретый при постоянном давлении газ расширяется, а деваться ему в трубе постоянного сечения некуда, кроме как ускориться.
Числовой пример: воздух, \(P=10^5\) Па, \(T=300\) К (\(\rho=1{,}16\) кг/м\(^3\)), \(v=173\) м/с, \(S=100\) см\(^2\), \(q=6\) кВт. Тогда \(\dot m=\rho vS=2{,}0\) кг/с, \(h=3{,}0\cdot10^5\) м\(^2\)/с\(^2\), \(\beta=10{,}0\), \(\tilde q=0{,}10\); \(w=\sqrt{121{,}2}-10=1{,}009\), то есть \(v'=175\) м/с и \(F=2{,}0\cdot1{,}6\approx3{,}2\) Н. Проверим по температуре: \(T'=Tw=302{,}7\) К, прирост энтальпии \(\dot m c_P\Delta T/\mu=2{,}0\cdot29{,}1\cdot2{,}7/0{,}029\approx5{,}4\) кДж/с, прирост кинетической энергии \(\dot m(v'^2-v^2)/2\approx0{,}6\) кДж/с; сумма \(6{,}0\) кВт \(=q\) ✓.
Расхождение с задачником. В ответах приведена формула
\[ v'=\frac{v}{1+\gamma}\left[1-\frac{P}{\rho v^2}+\sqrt{\left(\gamma+\frac{P}{\rho v^2}\right)^{2}-\frac{2(\gamma^2-1)q}{\rho Sv^3}}\right] . \]
При \(q=0\) она правильно даёт \(v'=v\), но при \(q\;{\gt}\;0\) подкоренное выражение уменьшается, то есть газ, по этой формуле, от нагрева замедляется. Это противоречит законам сохранения: для тех же чисел (\(\gamma=1{,}4\), \(P/\rho v^2=2{,}86\), \(q/\rho Sv^3=0{,}1\)) она даёт \(v'/v=0{,}991\), и такая тройка \((v',\rho',P')\) не удовлетворяет ни уравнению энергии, ни уравнению импульса. Знак «минус» под корнем, по-видимому, опечатка. Любопытно, что множитель \(1/(1+\gamma)\) и комбинация \(2(\gamma^2-1)q/(\rho Sv^3)\) отвечают другой модели — когда сетка вообще не передаёт газу импульс, и вместо \(P'=P\) выполняется \(P+\rho v^2=P'+\rho'v'^2\). В этой модели аккуратный расчёт даёт
\[ \frac{v'}{v}=\frac{\gamma\left(1+\dfrac{P}{\rho v^2}\right)-\sqrt{\left(\dfrac{\gamma P}{\rho v^2}-1\right)^{2}-\dfrac{2(\gamma^2-1)q}{\rho Sv^3}}}{\gamma+1} , \]
что при тех же числах даёт \(v'/v=1{,}013\) — снова ускорение. Но тогда сила на сетку равна нулю, а перепад давления \(P-P'=\rho v(v'-v)\); формула задачника для силы отвечает как раз этой разности. Так что качественный вывод («газ разгоняется, сетку сносит назад») в обеих моделях один, а печатная формула для \(v'\) требует исправления знака.
Ответ\(v'=v\left[\sqrt{(\beta+1)^2+\dfrac{2q}{\rho Sv^3}}-\beta\right]\), где \(\beta=\dfrac{\gamma P}{(\gamma-1)\rho v^2}\), \(\rho=\dfrac{P\mu}{RT}\);
\(F=\rho Sv\,(v'-v)\) — сила направлена по потоку и приложена к газу, на сетку газ действует с такой же силой против потока.