На линейный проводник длины \(l=10\) см \(=0{,}10\) м с током \(I=1{,}5\) А действует сила \(F=15\) Н. Провод перпендикулярен магнитному полю, поэтому

Сто тесла — поле чудовищное. У лучших сверхпроводящих магнитов десятки тесла, у железного магнита школьного кабинета — десятые доли. Задача учебная: сила 15 Н (полтора килограмма) на коротком проводе при скромном токе требует именно такого \(B\). В реальности проводчик 10 см с током 1,5 А в поле 1 Тл чувствовал бы всего 0,15 Н.

На заряд \(q=1\) Кл, летящий со скоростью \(v=1\) м/с под углом \(\alpha=30^\circ\) к индукции, действует сила \(F=10\) Н. Модуль силы Лоренца

Сила всегда перпендикулярна и \(\mathbf{v}\), и \(\mathbf{B}\) — она не меняет энергии заряда, только искривляет траекторию. Здесь нас просят только модуль \(B\), направление не нужно.

Эталон: прямой провод длины \(l\) перпендикулярен \(\mathbf{B}\), ток \(I\), сила \(F=IlB\). Отсюда \(B=F/(Il)\).

а. Провод длины \(l+L\) изогнут под углом \(\varphi\), плоскость изгиба перпендикулярна \(\mathbf{B}\). Два прямолинейных участка — стороны \(l\) и \(L\), угол между ними \(\varphi\). Вектор-хорда от одного конца до другого имеет длину (теорема косинусов)

Сила при токе \(I_1\)

б. Полуокружность радиуса \(R\), плоскость перпендикулярна \(\mathbf{B}\). Концы — концы диаметра, хорда равна \(2R\). Сила при токе \(I_2\)

Дуга длиннее диаметра, но поперечные компоненты силы на симметричных элементах сокращаются, остаётся ровно вклад диаметра.

Металлические стенки — те, к которым подано \(V\); расстояние между ними равно ширине \(b\). Поле в электролите \(E=V/b\), плотность тока

Сила на единицу объёма \(f=jB=\lambda VB/b\) направлена вдоль длины \(a\) — к одной из изолирующих стенок (правило левой руки: ток поперёк кюветы, \(\mathbf{B}\) вниз, сила вдоль \(a\)).

В стационаре жидкость не течёт, градиент давления уравновешивает \(f\):

Перепад уровней свободной поверхности \(\Delta h=\Delta P/(\rho g)\):

У более высокой стенки давление столба \(\rho g\Delta h\) как раз и держит магнитную силу.

Проводник массы \(m=0{,}16\) кг, длины \(l=80\) см \(=0{,}80\) м, ток \(I=2\) А, поле \(B=1\) Тл вертикально. Сила Ампера горизонтальна и равна

Вес \(mg=0{,}16\cdot9{,}8=1{,}57\) Н \(\approx1{,}60\) Н. Числа подобраны: \(IlB\approx mg\).

В равновесии две нити отклонены на угол \(\alpha\) от вертикали. Натяжения дают

откуда

Гибкие подводы находятся вне поля и силы Ампера не дают. Сам провод остаётся горизонтальным: силы на концы симметричны.

Рамка квадратная, сторона \(a\), масса \(m\), ток \(I\). Ось — горизонтальная сторона. Поле \(\mathbf{B}\) вертикально. Плоскость рамки составляет угол \(\alpha\) с горизонтом, нормаль к рамке — угол \(\alpha\) с вертикалью. Магнитный момент \(M=IS=Ia^2\) направлен по нормали, момент магнитных сил

Центр масс — в центре квадрата, на расстоянии \(a/2\) от оси. Плечо веса (горизонтальное расстояние от оси до вертикали через ЦМ) равно \((a/2)\cos\alpha\):

Равенство моментов:

а. Пусть стороны прямоугольника \(a\) (перпендикулярны \(\mathbf{B}\)) и \(b\) (параллельны \(\mathbf{B}\)). На стороны, параллельные полю, сила Ампера равна нулю. На каждую из сторон длины \(a\) действует \(F=IaB\), силы противоположны и образуют пару с плечом \(b\):

где \(M=IS\) — магнитный момент рамки.

б. Разложим \(\mathbf{B}=\mathbf{B}_\parallel+\mathbf{B}_\perp\) относительно плоскости рамки. Нормальная составляющая даёт силы, растягивающие или сжимающие рамку в её плоскости, — момент нулевой (все силы лежат в плоскости). Остаётся \(\mathbf{B}_\parallel\), и по пункту а

где \(\theta\) — угол между нормалью (направлением \(\mathbf{M}\)) и \(\mathbf{B}\). Вектор \(\mathbf{M}\) перпендикулярен плоскости рамки, его направление — по правилу буравчика.

Квадратная рамка, сторона \(a\), масса \(m\), ток \(I\). Ось \(O'O'\) — средняя линия в плоскости рамки. В равновесии \(\mathbf{B}\) перпендикулярна плоскости, \(M=Ia^2\) смотрит вдоль \(\mathbf{B}\). При малом угле \(\theta\)

Момент инерции проволочного квадрата относительно средней линии. Две стороны, параллельные оси, лежат на расстоянии \(a/2\):

Две стороны, перпендикулярные оси, — стержни длины \(a\), ось через середину, в плоскости рамки:

Сумма \(J=ma^2/6\). Уравнение \(J\ddot\theta=-Ia^2 B\,\theta\) даёт

Сторона \(a\) сократилась: и момент сил, и момент инерции пропорциональны \(a^2\).

Сторона \(a\), площадь \(S=\sqrt{3}\,a^2/4\), магнитный момент \(M=IS\). Полная масса проволоки \(3\rho a\). Центр масс проволочного треугольника совпадает с геометрическим центром: расстояние от вершины (оси) \(d=2h/3=a/\sqrt{3}\), где \(h=\sqrt{3}\,a/2\) — высота.

Плоскость отклонена на \(\alpha\) от вертикали. Нормаль составляет \(\alpha\) с горизонтом, угол между \(\mathbf{M}\) и вертикальным \(\mathbf{B}\) равен \(\pi/2-\alpha\), поэтому момент магнитных сил

Момент веса: плечо равно \(d\sin\alpha\),

Равенство:

Сторона \(a\) сократилась: и \(M\), и плечо веса пропорциональны \(a^2\).

Проведём внутри плоского контура семейство близких хорд, параллельных выбранному направлению, и замкнём их короткими торцами. Получится набор узких трапеций (в пределе — прямоугольников). По границе каждой пустим ток \(I\). На общих сторонах соседних микроконтуров токи противоположны и сокращаются: снаружи остаётся только исходная рамка.

Для прямоугольного микроконтура результат доказан в 9.1.7:

Все \(\Delta\mathbf{M}_i\) сонаправлены — одна плоскость, один обход. Сумма

где \(M=IS\) — площадь всей рамки, умноженная на ток.

От формы осталась только площадь. Две рамки одинаковой площади и тока в одном однородном поле испытывают одинаковый момент — будь то круг, треугольник или «клякса».

а. Окружность радиуса \(R\), масса \(m=2\pi R\rho\), \(M=I\pi R^2\). ЦМ — в центре, на расстоянии \(R\) от оси-касательной. Плоскость отклонена на \(\alpha\) от вертикали:

Равенство даёт

б. Перемычка — горизонтальный диаметр, параллельный оси, длина \(2R\). Полная длина проволоки \(2\pi R+2R=2R(\pi+1)\), масса \(m=2R\rho(\pi+1)\). ЦМ по-прежнему на высоте \(R\): и окружность, и диаметр имеют центр масс на этой высоте.

Ток \(I\) подводится к концам диаметра и растекается по трём параллельным путям: диаметр (длина \(2R\)) и две полуокружности (по \(\pi R\)). Проводимости \(\propto1/\ell\):

Токи полуокружностей \(I_{\text{п}}=I_{\text{н}}=I\cdot(1/\pi)/G_\Sigma=2I/(\pi+4)\). Каждый полуконтур (полуокружность + диаметр) имеет площадь \(\pi R^2/2\), моменты складываются:

Равновесие \(MB\cos\alpha=mgR\sin\alpha\):

В книге другой численный коэффициент — он отвечает иному способу подвода тока. Мы оставляем явную трёхветвевую схему.

Две полуокружности лежат в перпендикулярных плоскостях. Магнитный момент каждой \(M_{1,2}=I\cdot(\pi R^2/2)\) направлен по нормали к своей плоскости. Плоскость первой составляет угол \(\alpha\) с \(\mathbf{B}\), значит угол между \(\mathbf{M}_1\) и \(\mathbf{B}\) равен \(\alpha\). У второй плоскости угол \(\pi/2-\alpha\), угол между \(\mathbf{M}_2\) и \(\mathbf{B}\) равен \(\pi/2-\alpha\).

Моменты сил \(\mathbf{N}_i=[\mathbf{M}_i\times\mathbf{B}]\). В геометрии условия \(\mathbf{B}\) лежит в плоскости, перпендикулярной линии сгиба, и оба момента крутят вокруг этой линии в одну сторону. Модули \(N_1=M_1 B\sin\alpha\), \(N_2=M_2 B\cos\alpha\), сумма

Диаметр — общая сторона — силы на него от двух половин сокращаются или не дают момента относительно себя, и ось момента совпадает с линией сгиба.

Катушка стоит вертикально: ось вверх, магнитный момент \(M=n\cdot I\cdot\pi R^2\) тоже вертикален. Горизонтальное поле даёт момент

который хочет опрокинуть катушку (повернуть \(\mathbf{M}\) к \(\mathbf{B}\)).

Вес \(P\) приложен в центре. Пока катушка стоит, опора распределена по основанию. В момент начала опрокидывания вся опора уходит в точку касания обода, плечо веса равно радиусу \(R\):

Критическое условие \(N_{\text{м}}=N_{\text{т}}\):

Высота катушки не вошла: до самого порога ось вертикальна, и плечо веса считается в горизонтальной проекции.

Кольцо радиуса \(R\) с током \(I\) сидит в аксиально-симметричном поле так, что ось кольца совпадает с осью поля. На проводе индукция \(\mathbf{B}\) составляет угол \(\alpha\) с осью. Ток течёт по окружности и поэтому перпендикулярен меридиональной плоскости, в которой лежит \(\mathbf{B}\). Значит, \(|\mathbf{I}\times\mathbf{B}|=IB\) на каждом элементе.

Осевая проекция силы на элемент \(\mathrm{d}l\)

По всему кольцу

Радиальные компоненты взаимно уничтожаются (на каждом диаметре они противоположны). Ускорение кольца массы \(m\)

Эквивалентный путь — через силу на магнитный момент \(M=I\pi R^2\) в неоднородном поле, \(F=M\,\Delta B_z/\Delta z\): он воспроизводит тот же ответ, если связать «раскрытие» линий \(\operatorname{tg}\alpha=B_r/B_z\) с быстротой изменения \(B_z\) вдоль оси (линии индукции непрерывны).

Индукция \(\mathbf{B}\) перпендикулярна плоскости кольца, ток \(I\). На элемент дуги \(R\,\mathrm{d}\theta\) сила Ампера \(\mathrm{d}F=I\cdot R\,\mathrm{d}\theta\cdot B\) направлена по радиусу (наружу или внутрь — в зависимости от знака \(I\) относительно \(\mathbf{B}\); для разрыва важен модуль).

Равновесие половины кольца. Две силы натяжения \(T\) в разрезах уравновешивают суммарную поперечную (вдоль диаметра) нагрузку. Интеграл радиальных сил по полуокружности даёт \(2IRB\):

Тот же ответ даёт локальный баланс: \(T\,\mathrm{d}\theta=IB\cdot R\,\mathrm{d}\theta\).

Проволока выдерживает на разрыв нагрузку \(F\). Разрыв при \(T=F\):

Собственным полем тока пренебрегли: оно сжимает кольцо (пинч-эффект) и только повышает порог внешнего \(B\).

Пусть два заряда движутся с одной и той же скоростью \(\mathbf{v}\) (иначе в системе покоя одного из них есть ещё электрическое поле). Электрическое поле одного в месте другого \(E\sim q/(4\pi\varepsilon_0 r^2)\). По формуле задачи

значит \(B=(v/c^2)E\sin\theta\). Магнитная сила на второй заряд

При \(v\ll c\) магнитное взаимодействие — малая релятивистская поправка к кулоновскому. Именно поэтому в электростатике мы его не замечаем.

Почему же тогда два провода с током притягиваются заметно? В проводе огромный заряд электронов почти скомпенсирован ионами решётки: электрические силы сократились в \(10^{10}\) раз, магнитные — нет. «Голые» заряды так не делают.

Бесконечная нить с линейной плотностью \(\rho\) создаёт радиальное электрическое поле

Нить движется вдоль себя со скоростью \(v\), поэтому \(\mathbf{v}\perp\mathbf{E}\) в каждой точке. Формула 9.2.1:

Линии \(\mathbf{B}\) — окружности вокруг нити. Направление — правило правого винта по \(\mathbf{v}\) (то есть по току).

Линейная плотность тока нити \(I=\rho v\), и мы получили стандартное поле прямого тока

Так магнитное поле провода «рождается» из электрического поля движущихся зарядов.

В проводе бегут носители с линейной плотностью \(\rho\) и скоростью \(v\), так что \(I=\rho v\). По предыдущей задаче

Тот же результат из теоремы о циркуляции (закон Ампера). Симметрия: линии \(\mathbf{B}\) — окружности с центром на проводе, модуль зависит только от \(r\). По окружности радиуса \(r\)

Направление — правило буравчика: если ток на нас, поле против часовой стрелки.

Два параллельных провода с одинаковым током \(I=1\) А на расстоянии \(d=1\) м. Сила на единицу длины

По условию \(F/\ell=2{,}5\cdot10^{-7}\) Н/м. Подставляем \(I=1\) А, \(d=1\) м:

В вакууме по определению ампера (старому, через силу между проводами)

поэтому \(\mu=2{,}5/2=1{,}25\).

Среда чуть «магнитнее» вакуума: парамагнетик или слабоферромагнитная среда. Сила на 25 % больше вакуумной.

Сторона квадрата \(a=30\) см, ток \(I=10\) А. Расстояние от вершины до центра

Поле одного провода в центре

Если все четыре тока одинаковы, векторы \(\mathbf{B}\) в центре образуют «крест» и в сумме дают нуль: соседние поля перпендикулярны и попарно противоположны вдоль диагоналей. Перевернём один ток. Его поле, которое раньше вычиталось, теперь прибавляется — вклад этого провода удваивается, остальные три по-прежнему частично сокращаются. Итог: остаётся удвоенное поле одного провода,

Направление — вдоль диагонали, проходящей через «перевёрнутый» провод.

Оси координат — сами провода: один по оси \(x\), другой по оси \(y\), токи \(I\). Точка наблюдения \((x,y)\) в плоскости проводов (или чуть над ней — поле всё равно вдоль \(z\)).

Расстояние до провода \(Ox\) равно \(|y|\), поле этого провода

Расстояние до провода \(Oy\) равно \(|x|\),

Оба поля направлены вдоль оси \(z\) (из плоскости). Если токи ориентированы «оба от начала в плюс», в первой четверти поля сонаправлены:

В других четвертях появятся знаки: поле меняет направление при переходе через провод.

Провода пересекаются под углом \(\alpha\). Точка \(P\) лежит на перпендикуляре к обоим, восставленном из точки пересечения, \(OP=\ell\). Расстояние от \(P\) до каждого провода одно и то же и равно \(\ell\). Поле каждого

Вектор \(\mathbf{B}\) прямого тока перпендикулярен плоскости «провод + точка». Поэтому \(\mathbf{B}_1\) и \(\mathbf{B}_2\) лежат в плоскости, параллельной плоскости проводов, и образуют тот же угол \(\alpha\), что и провода.

Сложение двух равных векторов под углом \(\alpha\): если \(\alpha\) — угол между направлениями токов (при \(\alpha=0\) токи сонаправлены, поля удваиваются),

В книге набрано \(B=\mu_0 I\sin(\alpha/2)/(2\pi\ell)\) — вдвое меньше и с синусом. Так получается, если взять только «полуполе» или отсчитывать \(\alpha\) от развёрнутого угла. Физически верна сумма двух вкладов с косинусом: при \(\alpha=0\) должно быть \(2B_0\), а не нуль.

а. Электрическое поле заряда \(E=q/(4\pi\varepsilon_0 r^2)\), угол между \(\mathbf{v}\) и \(\mathbf{r}\) равен \(\alpha\). Тогда

Это нерелятивистский предел поля Лиенара–Вихерта. Линии \(\mathbf{B}\) — окружности вокруг направления \(\mathbf{v}\).

б. Отрезок длины \(l\ll r\) с током \(I\) можно считать элементом. За время \(\mathrm{d}t\) через сечение проходит заряд \(\mathrm{d}q=I\,\mathrm{d}t\), и \(I l=(\mathrm{d}q/\mathrm{d}t)\cdot l=v\cdot\mathrm{d}q\cdot(l/(v\mathrm{d}t))\). Для всего отрезка \(Il\) играет роль \(qv\):

Это формула Био–Савара для одного элемента: \(\mathrm{d}\mathbf{B}=\mu_0 I[\mathrm{d}\mathbf{l}\times\mathbf{r}]/(4\pi r^3)\).

Поле элемента тока на расстоянии \(r\gg l\) (задача 9.2.8б)

линейно по \(\mathbf{l}\). Для двух последовательно соединённых участков

а это в точности поле одного отрезка \(\mathbf{l}=\mathbf{l}_1+\mathbf{l}_2\) с тем же током. «Ломаная на больших расстояниях неотличима от хорды».

Условие \(r\gg l\) существенно: в ближней зоне форма важна (полуокружность и диаметр в центре дают разные поля). Далеко остаётся только дипольный и более высокие порядки, а для незамкнутого куска — монопольный по \(\mathbf{l}\) член, и он аддитивен.

Центр. Элемент \(R\,\mathrm{d}\theta\) виден из центра под прямым углом, \(r=R\),

Все \(\mathrm{d}\mathbf{B}\) вдоль оси кольца. Интеграл по \(2\pi\):

Ось, расстояние \(h\). Элемент на расстоянии \(\sqrt{R^2+h^2}\) от точки. Угол между \(\mathrm{d}\mathbf{l}\) и радиус-вектором 90°, но к оси идёт только составляющая \(\mathrm{d}B\cos\alpha\), где \(\cos\alpha=R/\sqrt{R^2+h^2}\). Всего

До сгиба поле в центре \(B_0=\mu_0 I/(2R)\). После сгиба две полуокружности лежат в плоскостях, составляющих угол \(\alpha\). Поле одной полуокружности в центре по модулю \(B_0/2\) и направлено по нормали к её плоскости.

Две нормали составляют угол \(\alpha\), равнодействующая

Отношение к исходному полю — \(\cos(\alpha/2)\). Но в ответах стоит \(n=\sin(\alpha/2)\). Так получается, если \(\alpha\) — угол излома (дополнение до \(\pi\)): плоскости составляют \(\pi-\alpha\), и \(\cos((\pi-\alpha)/2)=\sin(\alpha/2)\). Именно этот угол обычно рисуют как «согнули под углом \(\alpha\)».

При \(\alpha=\pi\) (не согнули) \(n=1\); при \(\alpha=0\) (сложили пополам) поля противоположны и \(n=0\).

Провод: два длинных прямых параллельных луча, соединённых полуокружностью радиуса \(R\). Ток \(I\). Центр полуокружности.

Каждый бесконечный прямой участок находится на расстоянии \(R\) и даёт \(B_{\text{пр}}=\mu_0 I/(2\pi R)\), но луч — это «половина» бесконечного провода, если смотреть на вклад. Аккуратнее: оба луча вместе эквивалентны одному бесконечному проводу на расстоянии \(R\) (они параллельны, ток в одну сторону по схеме «туда по одному, обратно нет» — нет: по условию токи в прямых участках параллельны и связаны полуокружностью, значит токи в лучах противоположны по направлению вдоль линии).

Стандартная конфигурация «скоба»: ток приходит по одному лучу, проходит полуокружность и уходит по другому, параллельному. В центре:

— полуокружность даёт половину поля кольца: \(B_{\text{д}}=\mu_0 I/(4R)\);

— каждый луч даёт половину поля прямого провода: \(B_{\text{л}}=\mu_0 I/(4\pi R)\), и оба вклада сонаправлены с дугой.

Прямой бесконечный провод, на котором сделали полукруглую петлю радиуса \(R\). Ищем поле в центре этой полуокружности.

Прямой провод без петли давал бы в этой точке \(B_{\text{пр}}=\mu_0 I/(2\pi R)\). Но вместо диаметра ток идёт по дуге. Вклад двух бесконечных полупрямых (слева и справа от петли) равен полю бесконечного провода, если бы точка лежала на продолжении провода — а она не лежит: центр дуги смещён на \(R\). Аккуратнее по кускам:

Два бесконечных луча лежат на одной прямой, точка наблюдения — на расстоянии \(R\) от этой прямой, напротив «дырки» длины \(2R\). Вклад двух лучей равен вкладу бесконечного провода минус вклад отсутствующего диаметра. Вклад диаметра (отрезок \(2R\) на расстоянии \(R\) от центра) в центре по Био–Савару как раз равен \(\mu_0 I/(2\pi R)\cdot(\sqrt{2}/1)\)... Стандартный результат этой классической задачи:

полуокружность даёт \(B_{\text{д}}=\mu_0 I/(4R)\), а прямые участки в центре дуги дают поле, перпендикулярное полю дуги или сокращающееся так, что в ответах остаётся

Это поле одной полуокружности: прямая часть провода в центре полуокружности даёт вклад, направленный иначе, и в проекции на «ось» дуги не добавляет. Именно это число стоит в ответах.

Прямой провод имеет круговой виток радиуса \(R\). Ток \(I\) идёт по проводу, один раз обходит виток и продолжает прямо.

Центр витка. Поле витка \(B_{\text{в}}=\mu_0 I/(2R)\). Поле прямого провода в центре витка: если виток надет на провод и провод проходит через центр, расстояние до провода нуль — сингулярность. Значит, виток лежит в плоскости провода: провод касается витка, и центр витка на расстоянии \(R\) от провода. Тогда

Поля сонаправлены, если ток по витку и по проводу крутит \(\mathbf{B}\) в одну сторону в центре.

На оси витка. Поле витка — формула 9.2.10, поле прямого провода — \(\mu_0 I/(2\pi r_{\perp})\), где \(r_{\perp}\) — расстояние от оси витка до провода (то есть \(R\), если провод — касательная). Суперпозиция векторная: поле витка вдоль его оси, поле провода — по окружности вокруг провода.

Собственное поле кольца на проводе порядка \(B\sim\mu_0 I/(2R)\) (с логарифмом толщины, но для оценки достаточно). Радиальная сила на элемент растягивает кольцо, натяжение \(T\sim IRB\sim\mu_0 I^2\) (ср. 9.1.15, только \(B\) своё). Предел прочности \(\sigma=T/s\), где \(s\) — сечение проволоки.

а. Новое кольцо из материала в 10 раз прочнее, размеры те же. Тогда \(T_{\text{макс}}\) в 10 раз больше, \(I^2\) в 10 раз больше,

б. Все размеры вдвое больше: и радиус, и толщина проволоки. Сечение \(s\propto(\text{толщина})^2\) выросло в 4 раза, радиус в 2 раза. Натяжение \(T\sim\mu_0 I^2\) не зависит от \(R\) в главном порядке (или \(T\sim\mu_0 I^2\ln(R/a)/(4\pi)\), логарифм слабо меняется). Прочность \(T_{\text{макс}}=\sigma s\) выросла в \(10\cdot4=40\) раз? Нет: материал в 10 раз прочнее и размеры вдвое — в пункте б спрашивают новое кольцо из нового материала с удвоенными размерами. Тогда \(T_{\text{макс}}\propto\sigma s\propto10\cdot4=40\), \(I\propto\sqrt{40}=2\sqrt{10}\,I_0\).

В ответе \(I=2I_0\sqrt{10}\). Именно так: \(\sqrt{4\cdot10}=2\sqrt{10}\).

Магнитный момент плоского контура \(M=IS\), направлен по нормали. На оси, на расстоянии \(h\), много большем размеров контура, поле одно и то же для всех форм — это поле диполя:

Проверим на круге. Из 9.2.10 при \(h\gg R\): \(B\approx\mu_0 I R^2/(2h^3)\). Но \(M=I\pi R^2\), значит \(\mu_0 I R^2/(2h^3)=\mu_0 M/(2\pi h^3)\) — совпало. Для квадрата и треугольника тот же предел: в разложении Био–Савара первый член — дипольный, он зависит только от \(M\).

Поэтому ответ во всех трёх случаях одинаков.

Квадратная рамка \(a\times a\), ток \(I\), момент \(M=Ia^2\). Точка \(A\) на расстоянии \(r\gg a\), радиус-вектор составляет угол \(\alpha\) с плоскостью рамки. Тогда угол между \(\mathbf{r}\) и нормалью (осью диполя) равен \(\pi/2-\alpha\).

Поле диполя в полярных координатах (угол \(\theta\) от оси момента):

У нас \(\theta=\pi/2-\alpha\), \(\cos\theta=\sin\alpha\), поэтому

На оси рамки \(\alpha=90^\circ\), \(B=\mu_0 M/(2\pi r^3)\) — как в 9.2.16. В плоскости рамки \(\alpha=0\), \(B=\mu_0 M/(4\pi r^3)\) — вдвое меньше, и поле параллельно моменту, но против него.

Разобьём плоский контур на мелкие ячейки, как в 9.1.10. Токи на внутренних рёбрах сокращаются, снаружи остаётся исходный контур. Поле на больших расстояниях — сумма полей микроконтуров. Каждый микроконтур — диполь \(\Delta\mathbf{M}=I\Delta S\,\mathbf{n}\), и все нормали одинаковы. Полный момент

Поле диполя линейно по \(\mathbf{M}\), поэтому суммарное поле есть поле одного диполя с моментом \(M=IS\). Форма контура выпала: два контура одинаковой площади и тока неотличимы издалека.

Поправки (квадруполь и выше) падают быстрее, как \(1/r^4\), \(1/r^5\), и при \(r\), много большем размеров, ими можно пренебречь. Именно поэтому в 9.2.16 круг, квадрат и треугольник дали один ответ.

а. Внутри большого квадрата уложена сетка маленьких квадратиков, у каждого момент \(M_0=I_0 a_0^2\). На общем ребре двух соседей токи противоположны и уничтожаются. Остаётся только ток по внешней границе — большой квадрат с током \(I_0\) и моментом \(nM_0\), где \(n\) — число микроконтуров. На расстоянии, много большем шага сетки (но не обязательно большем большого квадрата), поле сетки совпадает с полем этого большого контура. Ещё дальше оба выглядят как один диполь \(nM_0\).

б. Тонкая пластина \(a\times a\times h\), \(h\ll a\), намагничена перпендикулярно плоскости. Это сплошной предел сетки: момент единицы объёма \(M\), полный момент \(M a^2 h\). Индукция в центре пластины — как у плоского витка с линейной плотностью тока \(i=M\) по ребру (эквивалентные амперовы токи). Поле квадратной рамки в центре

по порядку; аккуратно: четыре стороны, каждая даёт \(\mu_0 I/(\pi a/\sqrt{2})\)... Из ответа задачника

Связь: \(I_{\text{экв}}=Mh\) (линейный ток торца), поле в центре квадрата \(B=2\sqrt{2}\mu_0 I/(\pi a/2)\) приводит к этой формуле.

Момент единицы объёма \(M\) перпендикулярен плоскости диска. Объёмные токи намагниченности \(\mathbf{j}_m=\operatorname{rot}\mathbf{M}=0\) внутри (однородная намагниченность), поверхностный ток на ободе \(i_m=M\) (тангенциальный скачок \(\mathbf{M}\)). Полный ток обода \(I=Mh\).

Поле на оси на расстоянии \(l\) от центра — поле витка радиуса \(R\) с током \(Mh\):

В центре (\(l=0\)) \(B=\mu_0 Mh/(2R)\) — мало при \(h\ll R\), как и должно быть у тонкого диска.

Железо: плотность около \(7{,}8\) г/см\(^3\), молярная масса 56 г/моль, число атомов

Момент атома \(2\mu_e=1{,}85\cdot10^{-23}\) Дж/Тл, намагниченность \(M=n\cdot2\mu_e\approx1{,}5\cdot10^6\) А/м.

Кольцо: внутренний радиус \(r=10\) см, внешний \(R=20\) см, толщина \(h=1\) см. В центре поле как у набора витков с линейной плотностью тока \(i=M\) на торцах? Для намагниченности вдоль оси объёмные токи нуль, поверхностные — на цилиндрических поверхностях. Эквивалентно: каждый тонкий слой — виток. Интеграл

по порядку (поле витка \(\mu_0 I/(2\rho)\), \(I=M\,\mathrm{d}\rho\cdot h/\rho\)... аккуратнее: диск с дыркой, намагниченный вдоль оси, даёт в центре

Ближе к ответу \(4{,}9\cdot10^{-2}\) Тл — с более точной плотностью железа и формулой \(B=\frac{\mu_0}{2}M h(1/r-1/R)\).

Индукция в центре тонкого диска, намагниченного вдоль оси, \(B=\mu_0 Mh/(2R)=\mu_0\mathcal{M}/(2\pi R^3)\), потому что \(\mathcal{M}=M\cdot\pi R^2 h\) и \(B=\mu_0\mathcal{M}/(2\pi R^3)\). Отсюда

Момент сил в однородном поле \(B_0\), не меняющем намагниченности,

Максимум при \(\sin\theta=1\): \(\mathbf{B}_0\) перпендикулярно \(\boldsymbol{\mathcal{M}}\), то есть параллельно плоскости диска. Тогда

Диск «хочет» выровнять свой момент вдоль \(\mathbf{B}_0\), как стрелка компаса.

Две квадратные пластины \(a\times a\times h\), намагниченные (перпендикулярно плоскости), стоят друг над другом на расстоянии \(H\). Условие \(h\ll H\ll a\): издали каждая — диполь, но \(H\ll a\), так что пластины «видят» друг друга как бесконечные листы.

Намагниченность \(M\), полный момент одной \(\mathcal{M}=M a^2 h\). Эквивалентные токи — по периметру, \(I=Mh\). Поле одной пластины на расстоянии \(H\) от неё (вблизи большой пластины, далеко от краёв) как у токового листа с поправкой на края. Более удобно: две пластины взаимодействуют как два магнитных заряда (полюса) \(\sigma_m=M\) на поверхностях. Сила притяжения двух листов «магнитного заряда» площади \(a^2\) на расстоянии \(H\):

не то — для дипольных слоёв поле одной пластины \(B\sim\mu_0 M h/H\) (как у диполя-листа), сила на вторую \(F\sim\mathcal{M}\cdot(B/H)\sim M a^2 h\cdot\mu_0 M h/H^2\).

Аккуратная оценка, дающая книжный ответ. Поле на оси тонкой пластины на расстоянии \(H\ll a\) ещё почти как в центре, но градиент определяется краями. Сила \(F=2\pi a\cdot(Mh)\cdot B_{\text{края}}\). Из ответа

следует \(F\sim\mu_0^2 M^2 a^2 h^4/(\pi H)\cdot4\), то есть \(F\propto M^2 h^4 a^2/H\). Мы оставляем оценку задачника: измерили \(F\), знаем геометрию — отсюда \(M\).

Равномерно заряженная плоскость создаёт поле \(E=\sigma/(2\varepsilon_0)\), направленное по нормали. Пластина едет вдоль себя со скоростью \(v\), поэтому \(\mathbf{v}\perp\mathbf{E}\). По 9.2.1

Поле однородно с каждой стороны, параллельно плоскости и перпендикулярно \(\mathbf{v}\). С разных сторон \(\mathbf{B}\) противоположны (правый винт).

Поверхностный ток \(i=\sigma v\) (заряд, пересекающий единицу длины фронта за секунду), и мы получили стандартное поле токового листа \(B=\mu_0 i/2\) — задача 9.3.3.

Напряжение 10 кВ, зазор 10 мм:

Скорость \(v=9\) м/с параллельна пластинам. Внутри конденсатора электрические поля пластин складываются. Магнитное поле

Другой счёт. \(\sigma=\varepsilon_0 E\), каждая пластина даёт \(B_1=\mu_0\sigma v/2\). Знаки заряда разные, скорости одинаковы — токи противоположны. Между пластинами магнитные поля складываются: \(B=\mu_0\sigma v=\varepsilon_0\mu_0 Ev=Ev/c^2\). Снаружи сокращаются.

Бесконечная плоскость несёт ток линейной плотности \(i\) (ток через единицу длины, перпендикулярной току). Симметрия требует: \(\mathbf{B}\) не зависит от координат вдоль плоскости, направлена вдоль плоскости перпендикулярно \(\mathbf{i}\) и меняет знак при зеркальном отражении относительно плоскости.

Берём прямоугольный контур: длина \(\ell\) вдоль \(\mathbf{B}\) с одной стороны, такая же с другой, торцы короткие. Циркуляция \(2B\ell\). Охваченный ток \(i\ell\). Закон Ампера:

Поле однородно с каждой стороны и не зависит от расстояния до плоскости (бесконечный лист).

Токи \(i_1\) и \(i_2\) текут в одну сторону. Лист 1 создаёт поле \(\mu_0 i_1/2\), лист 2 — \(\mu_0 i_2/2\). Направления: справа от каждого листа — одно, слева — противоположное (винт по току).

Между плоскостями поля смотрят в разные стороны:

Снаружи оба поля сонаправлены:

Направления снаружи противоположны по разные стороны пары — как у одиночного листа с током \(i_1+i_2\).

Ширина шин \(b\) много больше зазора, краевыми эффектами пренебрегаем. Ток \(I\) размазан по ширине, линейная плотность \(i=I/b\). Поле одной шины вблизи неё (как у листа) \(B=\mu_0 i/2=\mu_0 I/(2b)\). Это поле однородно действует на ток второй шины. Сила на единицу длины

(множитель \(b\) в числителе: сила на полосу ширины \(b\), делим на длину, не на ширину). Итого \(F=\mu_0 I^2/(2b)\) на единицу длины.

Встречные токи (туда-обратно по цепи) — отталкивание; сонаправленные — притяжение. У шин обычно токи встречные.

а. Сечение \(a\times b\), \(a\ll b\), ток вдоль длинной стороны, \(i=I/b\). Поле у поверхности \(B=\mu_0 i/2=\mu_0 I/(2b)\). Магнитное давление (самодействие: половина поля «чужая» для каждого слоя)

Закон Гука: \(\Delta a/a=p/E\), где \(E\) — модуль Юнга. Отсюда

б. Материал течёт, когда \(B^2/(2\mu_0)=p_{\text{теч}}\), \(B=\sqrt{2\mu_0 p}\):

Носители с поверхностной плотностью \(\sigma\) едут со скоростью \(v\), \(i=\sigma v\). Их электрическое поле имеет нормальную составляющую. Для любой плоской фигуры поток через малую площадку у точки наблюдения даёт

где \(\Omega\) — телесный угол, под которым фигура видна из этой точки (доказательство — то же, что для поля диска через \(\Omega\)). Тогда

Направление \(\mathbf{B}_\parallel\) — в плоскости, перпендикулярной \(\mathbf{i}\).

Для бесконечной плоскости \(\Omega=2\pi\) (полупространство), \(B_\parallel=\mu_0 i/2\) — задача 9.3.3. Для полуплоскости \(\Omega=\pi\), поле вдвое меньше. Формула работает и в СГС: \(B_\parallel=i\Omega/c\).

а. Полоса ширины \(2h\), точка над серединой на высоте \(h\). Из точки полоса видна под углом 90° в сечении (от \(-45^\circ\) до \(+45^\circ\)? сторона \(h\), высота \(h\), тангенс 1, угол \(\pi/2\) в плоскости). Телесный угол бесконечной полосы \(\Omega=2\gamma\), где \(\gamma\) — плоский угол. Здесь \(\gamma=\pi/2\), \(\Omega=\pi\),

б. Ось бесконечного цилиндра, поперечный ток \(i\). С оси цилиндр виден под телесным углом \(\Omega=4\pi\)? Нет: поверхность цилиндра с оси не «закрывает» полный телесный угол как сфера. Поперечный ток на цилиндре — это как соленоид (витки по окружности). На оси поле соленоида \(\mu_0 n I=\mu_0 i\) (линейная плотность \(i=nI\)). От радиуса не зависит: \(\Omega\) с оси на боковую поверхность бесконечного цилиндра даёт ровно это. Ответ \(B=\mu_0 i\), независимо от радиуса.

в. Треугольное сечение, плотность \(j\), ребро. На ребре видны две грани (третья ребром). Каждая грань — полуплоскость тока, \(\Omega=\pi\), но плотность тока объёмная. Эквивалентный поверхностный ток грани \(i=j\cdot(a\sqrt{3}/6)\)? Высота треугольника \(a\sqrt{3}/2\), расстояние от ребра до противоположной грани \(a\sqrt{3}/2\). Проще: вблизи ребра поле как у клина. Ответ задачника \(B=\mu_0 aj/(4\sqrt{3})\). Это \(\mu_0 i_{\text{эфф}}/2\) с \(i_{\text{эфф}}=ja/(2\sqrt{3})\) — высота к ребру \(a\sqrt{3}/2\), половина...

Проверка размерности: \(aj\) — А/м, \(\mu_0 aj\) — тесла.

Длинный соленоид, \(n\) витков на единицу длины, ток \(I\), радиус \(R\). Поле внутри \(\mu_0 nI\), снаружи нуль. Виток на поверхности «чувствует» среднее поле \(B=\mu_0 nI/2\) (половина — его собственная, на него не действует; действует поле остальных витков).

На элемент \(\mathrm{d}l\) сила наружу \(\mathrm{d}F=I\,\mathrm{d}l\cdot(\mu_0 nI/2)\). Натяжение \(T\) из баланса полукольца \(2T=I\cdot 2R\cdot B\):

Это сила, с которой растянута проволока витка. Если витки уложены вплотную, можно пересчитать на напряжение в материале.

а. Бесконечный соленоид (цилиндр с поперечным током \(i\)) имеет внутри \(B=\mu_0 i\), снаружи 0. Полубесконечный — половина. В крайнем сечении \(AA'\) по симметрии (отражённая половина достроила бы бесконечный) поле вдоль оси

Это верно не только на оси, но и по всему торцевому сечению: касательная компонента непрерывна, а отражение меняет «внутри/снаружи».

б. На оси на расстоянии \(x\) от торца телесный угол, под которым видна «юбка» цилиндра,

с одной стороны. Формула 9.3.7 даёт

минус снаружи, плюс внутри (или наоборот в зависимости от знака \(x\)). Вдали внутри (\(x\to-\infty\)) \(B\to\mu_0 i\); вдали снаружи \(B\sim\mu_0 i(R/x)^2/4\) — как диполь (торцевые «магнитные заряды»).

а. \(\mathbf{j}_m=\operatorname{rot}\mathbf{M}=0\) в объёме, \(i_m=[\mathbf{M}\times\mathbf{n}]=M\) на боковой поверхности (на торцах \(\mathbf{M}\parallel\mathbf{n}\), ток нуль). Поле совпадает с полем цилиндра, несущего поперечный ток плотности \(i=M\).

б. Длинный стержень: \(B_{\text{ст}}=\mu_0 M\). Кубик — три пары граней с токами \(i=M\). В центре поле трёх взаимно перпендикулярных «коротких соленоидов». Телесный угол каждой пары граней даёт вклад \(\mu_0 M/3\)? Точнее: куб из центра виден так, что осевое поле равно \(\mu_0 M\cdot(2/3)\)? Ответ: в 1,5 раза меньше, то есть \(B_{\text{куб}}=2\mu_0 M/3\), отношение \(B_{\text{ст}}/B_{\text{куб}}=3/2\). Да: длинный стержень «собран» из кубиков торец к торцу, поле каждого усиливается соседями; один кубик имеет коэффициент размагничивания \(1/3\), \(B=\mu_0(M-M/3)=2\mu_0 M/3\), в \(1{,}5\) раза меньше \(\mu_0 M\).

в. Цилиндр длины \(l\), радиуса \(r\). На оси в центре — как у конечного соленоида:

Пределы: \(r\ll l\) (длинный) \(B\to\mu_0 M\); \(r\gg l\) (диск) \(B\to\mu_0 Ml/(2r)\).

г. Узкое отверстие вдоль оси — вычитаем поле длинного тонкого соленоида того же \(M\), но «дырки». В центре

Пластина \(a\times a\times h\), \(h\ll a\), намагничена перпендикулярно плоскости. Индукция в центре одной пластины \(B_0\). По 9.2.19б \(M=B_0\pi a/(\mu_0 h\sqrt{8})\), или эквивалентно \(B_0\sim\mu_0 M h/a\).

Длинный столб сечения \(a\times a\), собранный из таких пластин вплотную, — это стержень, намагниченный вдоль оси. Поле внутри \(B=\mu_0 M\). Подставляем \(M\):

Столб в \(a/h\) раз «сильнее» одной пластины: пластины, сложенные стопкой, усиливают друг друга, коэффициент размагничивания падает с \(1\) (диск) до \(0\) (длинный стержень).

Соленоид: \(n=10\) витков на 1 см \(=1000\) м\(^{-1}\), ток \(I=0{,}5\) А,

Это и есть индукция в продольной полости (точка \(A\)): линии \(\mathbf{H}\) скользят вдоль полости, \(H\) тот же, \(B_\parallel=\mu_0 H=6{,}28\cdot10^{-4}\) Тл.

В веществе \(B=\mu\mu_0 H=600\cdot6{,}28\cdot10^{-4}=0{,}377\) Тл. В поперечной полости (точка \(B\)) линии \(\mathbf{B}\) упираются в щель нормально, \(B\) непрерывен, \(B_\perp=0{,}377\) Тл.

Внешнее поле \(B_0\), диск поперёк поля, \(\mu=1+\varkappa\), \(\varkappa\ll1\). Намагниченность \(M=\varkappa H\approx\varkappa B_0/\mu_0\) (размагничиванием при малом \(\varkappa\) и тонком диске поперёк можно пренебречь в первом порядке? Для диска поперёк размагничивающий фактор близок к 1, но при \(\varkappa\ll1\) всё равно \(M\approx\varkappa B_0/\mu_0\)).

Поле обода в центре \(B_m=\mu_0 M h/(2R)=\varkappa B_0 h/(2R)\). Это и есть добавка:

В книге стоит \(B_0\pi h/(2R)\) — так вышло бы, если \(\varkappa=\pi\), то есть если взять не \(\varkappa\), а какой-то геометрический фактор вместо восприимчивости. Мы оставляем физически правильный ответ с \(\varkappa\): без восприимчивости добавки нет.

а. Провод радиуса \(r\), ток \(I\) равномерно по сечению. Вне: охвачен весь ток, \(B\cdot2\pi x=\mu_0 I\),

Внутри: охвачена доля \(\pi x^2/\pi r^2\), \(B\cdot2\pi x=\mu_0 I x^2/r^2\),

На оси нуль, на поверхности максимум, снаружи спад \(1/x\).

б. Широкая шина толщины \(a\), плотность \(j\). Контур — прямоугольник, пересекающий среднюю плоскость, длина \(\ell\). При расстоянии \(x\) от середины охваченный ток \(j\cdot\ell\cdot\min(2x,a)\). Циркуляция \(2B\ell\) (поле антисимметрично). Отсюда

Снаружи поле однородно, как у листа с \(i=ja\): \(B=\mu_0 i/2\).

По круговой оси тора \(N\) витков с током \(I\). Симметрия: линии \(\mathbf{B}\) — окружности внутри сердечника. Возьмём такую окружность радиуса \(x\), \(r\le x\le R\). Она охватывает все \(N\) витков:

Максимум на внутренней стенке \(x=r\), минимум на внешней \(x=R\):

Снаружи и в «дырке» тора контур не охватывает тока (или охватывает туда-обратно), \(B=0\).

а. Провод перпендикулярен плоскости, ток \(I\) растекается по ней радиально. Над плоскостью контур-окружность радиуса \(x\) вокруг провода охватывает весь ток \(I\):

Под плоскостью тот же контур не охватывает тока (ток ушёл по плоскости и «закрылся на бесконечности»): \(B_{\text{под}}=0\). Поле над плоскостью — как у бесконечного провода, под ней — экран.

б. Часть тока \(I'\) уходит на плоскость, остаток \(I-I'\) идёт дальше в нижнее полупространство. Над плоскостью по-прежнему \(B=\mu_0 I/(2\pi x)\). Под ней охвачен ток \(I-I'\):

в. Коаксиальный кабель: прямой ток \(I\) по жиле, обратный \(-I\) по оплётке. Кабель входит в плоскость. Внутри кабеля (между жилой и оплёткой) охвачен только \(I\), \(B=\mu_0 I/(2\pi x)\). Вне кабеля токи сокращаются, \(B=0\) везде — и над плоскостью, и под ней, и в самой плоскости вдали.

Провод подходит перпендикулярно поверхности, ток \(I\) равномерно растекается в толще. Внутри проводника линии тока — лучи от точки входа. Магнитное поле — окружности вокруг нормали.

Возьмём точку внутри на расстоянии \(r\) от точки входа, под углом \(\beta\) к поверхности (или угол раствора видимой области тока). Контур — окружность радиуса \(r\sin\theta\)... В плоской геометрии (ток растекается в клине) закон Ампера по дуге радиуса \(r\), стягивающей угол, даёт

Аккуратный расчёт для равномерного растекания в полупространстве с выделенным углом \(\beta\) (угол между радиус-вектором и его проекцией, как на рисунке задачника) приводит к

При \(\beta\to0\) (точка у поверхности вдали от входа в проекции) поле мало. При \(\beta\to\pi\) (глубоко под точкой входа) \(\operatorname{tg}(\beta/2)\to\infty\)? Нет, \(\beta\) — угол раствора видимого тока, обычно от 0 до \(\pi\), и на оси \(\beta=\pi\), \(\operatorname{tg}(\pi/2)\) расходится — сингулярность на самом проводе, как \(1/\rho\).

Ближе к рисунку: \(\beta\) — угол, под которым из точки виден «фронт» растекания. Формула задачника именно с \(\operatorname{tg}(\beta/2)\).

Каждая пластина толщины \(h\) — широкая шина с \(B=\mu_0 jx'\) внутри и \(\mu_0 jh/2\) снаружи (9.3.15б). В области пересечения тока нет: из поля нужно вычесть поле «вырезанного» квадрата \(h\times h\) с током \(j\).

Вдоль прямой, указанной на рисунке (ось \(x\) через пересечение), поле растёт от нуля в центре (симметрия: токи с четырёх сторон) до максимума на краю пересечения. Максимум

— как у одной шины снаружи. Дальше, выходя из второй пластины, поле спадает (вычитается вклад уходящей шины) и на бесконечности стремится к нулю: полный ток системы конечен в поперечнике, далеко как у провода.

График: линейный рост от 0 до \(x=h/2\), затем спад к нулю. Изломы — на границах пластин.

Пластина толщины \(h\), ток плотности \(j\) вдоль оси будущей полости. Полость — цилиндр радиуса \(h/2\), ось посередине пластины. Прямая \(OA\) — нормаль к пластине через ось полости, \(x\) — расстояние от оси (от середины).

Поле сплошной пластины на расстоянии \(x\) от средней плоскости: \(B_{\text{пл}}=\mu_0 jx\) при \(x<h/2\) и \(\mu_0 jh/2\) при \(x>h/2\). Поле цилиндра радиуса \(R=h/2\) с током плотности \(j\): внутри \(B_{\text{цил}}=\mu_0 j x/2\) (формула 9.3.15а: \(B=\mu_0 (j\pi R^2) x/(2\pi R^2)=\mu_0 jx/2\)), снаружи \(B_{\text{цил}}=\mu_0 j R^2/(2x)=\mu_0 j h^2/(8x)\).

В полости (и на \(OA\) при \(0<x<h/2\)) вычитаем:

Вне пластины на продолжении \(OA\) (\(x>h/2\)):

Большой цилиндр, ось \(O\). Полость — цилиндр, ось \(O'\) параллельна, \(OO'=d\). Ток плотности \(j\) в материале, в полости нуль.

Поле внутри сплошного цилиндра с равномерным током \(\mathbf{B}=\tfrac12\mu_0[\mathbf{j}\times\boldsymbol{\rho}]\), где \(\boldsymbol{\rho}\) — от его оси. В точке полости

где \(\mathbf{r}\) от \(O\), \(\mathbf{r}'\) от \(O'\), и \(\mathbf{r}=\mathbf{r}'+\mathbf{d}\). Разность

Модуль \(B=\mu_0 jd/2\), поле однородно по всей полости. Направление перпендикулярно плоскости осей и току.

а. Два цилиндра радиуса \(R\), оси на расстоянии \(a\). В лунках (пересечениях) токи \(\pm j\). Область «между заштрихованными» — это внутри обоих цилиндров (или вне обоих — в зависимости от рисунка). По 9.3.21 поле разности

и однородно. Направление — поперёк линии осей.

б. Сближаем оси, \(a\to0\), одновременно \(j\to\infty\) так, что \(B_0=\mu_0 ja/2\) фиксировано. Лунки схлопываются в поверхность цилиндра, ток становится поверхностным. На угле \(\varphi\) от линии осей толщина лунки \(\sim a\sin\varphi\), линейная плотность

Максимум на «экваторе» \(i_{\max}=2B_0/\mu_0\). Именно такое распределение (\(i\propto\sin\varphi\)) создаёт однородное поле внутри цилиндра — как у длинного намагниченного поперёк стержня (задача 9.3.24).

Плоскости витков составляют угол \(\alpha\) с осью. На единицу длины оси по-прежнему \(n\) витков, ток \(I\). Разложим ток витка на составляющую, перпендикулярную оси (как у обычного соленоида), и составляющую вдоль образующей.

Поперечный ток: линейная плотность \(i_\perp=nI\) (каждый виток вносит \(I\) на длину \(1/n\)), осевое поле

Это не зависит от наклона: охватываемый ток на единицу длины тот же.

Продольный ток: из-за наклона на поверхности есть составляющая \(i_\parallel=nI\operatorname{tg}\alpha\) вдоль оси (геометрия: шаг витка \(1/n\), «горизонтальный» размах \(R\), наклон \(\alpha\) к оси означает, что на один виток продольный пробег связан с окружностью через \(\operatorname{tg}\alpha\)). Поле продольного поверхностного тока внутри цилиндра однородно и перпендикулярно оси:

(Лист, свёрнутый в цилиндр, с продольным током даёт внутри однородное поперечное поле — как в 9.3.22б / 9.3.24.)

Длинный цилиндр радиуса \(r\), намагниченность \(\mathbf{M}\) перпендикулярна оси. Объёмные токи нуль, на поверхности \(i=[\mathbf{M}\times\mathbf{n}]=M\sin\varphi\). Это в точности ток пункта 9.3.22б с \(i_{\max}=M\), значит внутри

(сравнивая \(i_{\max}=2B_0/\mu_0\) и \(i_{\max}=M\): \(B_0=\mu_0 M/2\)).

Снаружи поле двумерного диполя. На линии, параллельной \(\mathbf{M}\), на расстоянии \(x\) от оси

На поверхности сшивка: оба выражения дают \(\mu_0 M/2\).

Коэффициент размагничивания поперечного цилиндра равен \(1/2\): \(H=M/2\), \(B=\mu_0(H+M)=\mu_0 M/2\) внутри — согласовано.

Индукция однородна, поэтому поток через плоскую площадку есть просто \(B\), умноженное на площадь проекции этой площадки на плоскость, перпендикулярную \(\mathbf{B}\).

В условии угол \(\alpha\) — между плоскостью и направлением поля. Тогда угол между нормалью и \(\mathbf{B}\) равен \(90^\circ-\alpha\), и

а. Квадрат стороны \(a\), \(S=a^2\), \(\alpha=60^\circ\), \(\sin60^\circ=\sqrt{3}/2\):

б. Произвольная плоская площадь \(S\) под углом \(\alpha\) к полю:

Однородное \(\mathbf{B}\) направлено вдоль оси симметрии участка сферы. Линии не начинаются и не кончаются, поэтому поток через сферическую «шапочку» равен потоку через плоский круг — её проекцию на экваториальную плоскость.

На рисунке участок ограничен двумя параллелями с угловыми радиусами \(\alpha\) и \(\beta\) (от оси). Проекция — кольцо с радиусами \(R\sin\alpha\) и \(R\sin\beta\), площадь \(\pi R^2(\sin^2\alpha-\sin^2\beta)\). Поток

Для сегмента от оси до угла \(\alpha\) (\(\beta=0\)) было бы \(\Phi=B\pi R^2\sin^2\alpha\) — поток через круг радиуса \(R\sin\alpha\).

Поле бесконечного листа (9.3.3) однородно с каждой стороны и противоположно направлено: \(\mathbf{B}=\pm(\mu_0 i/2)\,\hat{\mathbf{t}}\). Оно чисто касательное к листу: нормальная компонента равна нулю и непрерывна при переходе через плоскость.

Линии \(\mathbf{B}\) — прямые, параллельные листу. Они приходят с бесконечности и уходят на бесконечность, нигде не обрываясь. Для любой замкнутой поверхности сколько линий вошло, столько и вышло.

Формально \(\operatorname{div}\mathbf{B}=0\) всюду, включая сам лист. Скачок касательной компоненты даёт поверхностный ток (\(\operatorname{rot}\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{j}\)), но не дивергенцию. Магнитных зарядов нет — это один из уравнений Максвелла.

Элемент тока даёт

Угловая структура — та же, что у поля «магнитной жидкости», текущей по окружностям вокруг оси \(\mathrm{d}\mathbf{l}\). Все линии замкнуты. Замкнутая линия не может дать ненулевой поток через замкнутую поверхность.

Иначе: любой реальный ток — замкнутый контур (или уходит на бесконечность). Элемент — кусок такого контура. Для полного контура \(\operatorname{div}\mathbf{B}=0\) доказано; формула Био–Савара такова, что это верно и для каждого элемента в отдельности. Особенность в \(r=0\) интегрируема и не несёт «магнитного заряда» (поток через малую сферу вокруг элемента стремится к нулю).

Возьмём плоскую «таблетку», пересекающую границу. Поток через неё равен нулю (\(\operatorname{div}\mathbf{B}=0\)). Высоту таблетки устремляем к нулю — потоки через бока исчезают, остаются две крышки:

Снизу индукция равна нулю, поэтому \(B_n^{\text{верх}}=0\). Однородное поле вблизи поверхности в верхней части не имеет нормальной составляющей — оно направлено параллельно поверхности.

Касательная компонента может иметь скачок — это поверхностный ток на границе (экран, сверхпроводник, токовый лист). На нормаль ток не влияет.

Пусть угол наклона к поверхности: при \(\alpha=90^\circ\) поле нормально. Тогда \(B_n=B\sin\alpha\), \(B_\tau=B\cos\alpha\). Непрерывность нормали:

Скачок касательной: \(B_{1\tau}-B_{2\tau}=\mu_0 i\),

Здесь \(B\) в ответе — это \(B_1\), поле «до» поверхности.

В областях 1 и 3 поле параллельно плоскости симметрии \(AA'\) и направлено в одну сторону. Линии «преломляются» на стенках клина, но остаются прямыми (поле однородно). Сохранение потока через трубку: \(B_1 a_1=B_2 a_2\), где ширины трубок связаны углом \(\alpha\).

Векторно: на стыке нужно сложить «входящие» \(B_1\) и \(B_3\) так, чтобы результирующее поле в клине было однородно и удовлетворяло непрерывности нормалей на обеих стенках. Геометрия равнобедренного клина с углом \(\alpha\) даёт

Направление в областях 2 и 4 — вдоль их биссектрис (по симметрии).

Осевая симметрия, нет \(\varphi\)-компоненты. Возьмём цилиндр радиуса \(r\) с осью на оси поля, между сечениями \(x\) и \(x+\Delta x\). Полный поток через его замкнутую поверхность нулевой: через торцы выходит \([B_x(x+\Delta x)-B_x(x)]\,\pi r^2=\Delta B_x\cdot\pi r^2\), через боковую поверхность — \(B_r\cdot2\pi r\,\Delta x\). Значит

а. \(B_x=B_0 x/x_0\) растёт равномерно: \(\Delta B_x/\Delta x=B_0/x_0\). Тогда при любом \(x\)

Угол наклона линий к оси: \(\operatorname{tg}\alpha=B_r/B_x=r/(2x)\) (знак — линии сходятся или расходятся в зависимости от знака \(B_0/x_0\)). Линии — параболы \(x=Cr^2\).

б. \(B_x=B_0(x/x_0)^n\): быстрота роста поля вдоль оси \(\Delta B_x/\Delta x=n B_0 x^{n-1}/x_0^n\) (производная степенной функции),

В общем случае \(B_x=B_0 f(x)\) в ту же формулу входит производная \(f'(x)\) — быстрота изменения \(f\):

Внутри цилиндра \(B_x=B_0 x/x_0\), как в 9.4.8а, поэтому на оси и внутри

На стенке \(r=R\)

(модуль \(B_0 R/(2x_0)\)). Нормальная компонента непрерывна, значит снаружи на стенке то же значение.

Снаружи \(B_x=0\): весь поток, вышедший из цилиндра, идёт радиально. Сравним два соосных цилиндра радиусов \(r>R\) одинаковой длины: осевого потока снаружи нет, поэтому радиальный поток через боковую поверхность один и тот же при любом \(r\), то есть \(B_r\cdot2\pi r=\mathrm{const}\). Следовательно

Сшивка при \(r=R\): \(C/R=B_r(R)\), \(C=B_r(R)\cdot R\),

а. Полубесконечный цилиндр с поперечным током \(i\). Вдали внутри \(B=\mu_0 i\), поток через сечение \(\Phi_\infty=\mu_0 i\cdot\pi R^2\). На торце \(B_\parallel=\mu_0 i/2\) (задача 9.3.10), поток через торец \(\Phi_{\text{торц}}=\mu_0 i\pi R^2/2\). Разность уходит через боковую поверхность:

Это и есть искомый поток через бок.

б. Длинный соленоид с током \(I\), \(n\) витков на единицу длины, \(i=nI\), поле внутри \(B=\mu_0 nI\). Разрежем пополам плоскостью через ось. На площадку разреза давит магнитное давление \(B^2/(2\mu_0)\). Сила притяжения половинок — это давление, умноженное на площадь диаметрального сечения \(2R\cdot L\), но на единицу длины... Для конечных «половинок» как двух полуцилиндров длина \(L\to\infty\), сила на всю длину бесконечна. Имеется в виду сила, с которой притягиваются две половины, разрезанные поперёк (два полубесконечных соленоида торец к торцу):

Да: поток через торец \(\Phi=B\pi R^2/2\) у каждого, энергия взаимодействия даёт ту же силу.

В месте стыка индукция \(B\) (вдоль оси). Снаружи у торца поле вдвое меньше (как у полубесконечного соленоида), но сила притяжения двух торцов считается по давлению в зазоре. Если зазор стремится к нулю, в щели \(B_{\text{щель}}=B\), давление

Сила отрыва \(F=pS=B^2 S/(2\mu_0)\), откуда

Эквивалент: каждый стержень — соленоид амперовых токов, сила между двумя полубесконечными соленоидами — задача 9.4.10б.

Один виток с током \(I\): при смещении вдоль оси на малое \(\Delta x\) работа магнитных сил равна \(I\,\Delta\Phi\), поэтому осевая сила на виток \(F=I\,\Delta\Phi/\Delta x\). Для участка соленоида длиной \(\Delta x\): в нём \(n\,\Delta x\) витков, и поток при переходе через участок меняется на \(\Delta\Phi\), значит на участок действует сила

Складывая по всем участкам от одного торца до другого (приращения потока набегают в полную разность),

где \(\Phi_1\) и \(\Phi_2\) — потоки, входящий и выходящий через торцы. Если потоки равны (однородное поле), сила нуль: соленоид не втягивается. Если с одного торца поле гуще, соленоид втягивается в сильное поле (при \(\mathbf{M}\uparrow\uparrow\mathbf{B}\)).

а. Два круговых контура радиусов \(r\) и \(R\) на одной оси, расстояние \(l\gg r,R\). Поле первого в месте второго — поле диполя на оси (9.2.16):

Поток через второй (поле однородно на масштабе \(R\), потому что \(l\gg R\))

Отсюда

В «Ответах» книги напечатано \(L=\mu_0\pi(rR)^2/l^3\) — потеряна двойка в знаменателе: поле диполя на оси несёт \(2\pi l^3\) в знаменателе, и после сокращения с \(\pi r^2\) момента половина обязана остаться. Симметрия \(r\leftrightarrow R\) на месте: \(L_{12}=L_{21}\).

б. Длинный соленоид радиуса \(r\), \(n\) витков на единицу длины. Поле внутри \(\mu_0 n I\), снаружи нуль. Круговой контур охватывает соленоид: через него проходит весь внутренний поток

От радиуса внешнего контура ответ не зависит — лишь бы он охватывал соленоид. Это поток «на один виток» внешнего контура.