Занятие 4. Функции многих переменных, частные производные, градиент, набла — Математика в Физике 2026

0:00 Так. Большой-большой привет! С вами Глеб Орел, олимпиадный препод по физике. Напишите мне плюсики-семерочки, если меня видно и слышно, и мы с вами продолжаем наш экспериментальный математический-физический курс под названием математика физики. Мы с вами будем пробовать продолжать наш данный курс, где я пробую рассказывать, какие-то элементы из высшей математики, и смотрю на ваш фидбэк,

0:47 понимаю, что вам больше потом хочется, и основываясь на них, мы дальше будем развивать что-то новое, что-то грандиозное, что-то классное, что-то в особенности полезное для вас. Потому что я знаю, что многим из вас хочется изучать высшую математику, хочется с ней знакомиться, так как видят, что на Всероссийской олимпиаде школьников по физике, или на МОШ, и всякие интегральщики могут постречаться, и, конечно, это пугает очень сильно ребят, и они хотят видеть Вышмат, вот, и поэтому я очень хочу пробовать это рассказывать, экспериментирую с форматом, так что буду рад любым вашим отзывам, пожеланиям, и увидеть, что вы больше хотите, в каком формате это хотите, то есть больше хотите формализма,

1:33 хотите какой-то максимально такой формальный курс по высшей математике, или больше именно прикладного, Где больше решаются чисто физические задачи и так далее Пока что у меня происходит некий мерз между физическими задачами и математическими задачами Обыкновенными примерами, конечно, в сторону больше я ухожу к математическим примерам Но посмотрим, все зависит от того, как вам больше будет нравиться, больше будет хотеться Пишите, буду рад Так что будем пробовать, как говорится Да, все-таки впервые эти вещи, ну так, рассказываю Дивергенция и ротор в олимпиадном Элмаге нужен ли?

2:20 Ну, знаешь, для всероса я бы сказал бы, что да В особенности дивергенция уже да То есть ротор я еще не видел, чтобы это прям напрямую как-то серьезно прям применялось Но дивергенция, да, это видел И местами, конечно, можно сказать, что давайте без дивергенции все время будем жить И просто будем рассматривать маленькие кубики Но в целом это все про дивергенцию Так что здесь можно двояко ответить То есть вообще все в олимпиадной физике можно сделать, конечно, без высшей математики Но я думаю, если мы хотим брать тот же самый, например, в Сирос То в идеале знать как и без высшей делать, так и с высшим делать Чтобы на всякий пожарный всегда протаранить задачу с помощью Матана.

3:07 Вот. Всегда такие два пути, они полезны. Вот. Сегодняшнее занятие, вероятно завтрашнее занятие, оно будет по сути своей ориентировано на функции многих переменных, а также на диригенции, ротор, оператор НАБЛА, градиент, теорема Астроградского Гаусса, теорема Стокса и так далее. То есть я здесь постараюсь внести все то, что необходимо, например, для электромагнетизма. Ну вот. Если что, здесь не судите строго. Все-таки пробуем. Но хотя бы, вы знаете, за счет этого вебинара я, ну за счет этих двух вебинаров, я больше смогу понять, в каком направлении что лучше рассказывать.

3:53 И таким образом грядущие потом вебинары, когда, может быть, еще раз это буду рассказывать, если вам это понравится, то будем делать еще лучше и приятнее. Все, так что давайте тогда приступать. Напишите по десятибальной шкале, насколько мы с вами готовы начинать. У меня везде все отражается, что, ну, отображается, что все окей, все в онлайне. Да, так что пишите по десятибальной шкале, и мы с вами будем начинать. Начнем, наверное, сначала с функций многих переменных. То есть у нас будет часть первая, это функции многих переменных. И как бы пару слов о них.

4:37 Функции. Так, мне только нужна бы бумажечка, чтобы нормально тут не мешалось. Так, функции многих переменных. А также частные производные. Частные производные. Производные. Во. Шикардосик. Вот сюда бы. Я хочу еще одну. Так, копировать, ставить.

5:31 О, вот так выглядит приятно. Только еще бы вот здесь. Ну, вообще лепота. Да? Да. Так, смотрю на ваши десяточки. Прекрасно. Десяточки есть, так что давайте приступать. Смотрите. Вот давайте попробуем понять, для чего это нужно физику и почему это применяется. То есть первый такой вопрос, а зачем физику?

6:00 Вот это все. Ну, смотрите, у нас очень часто на самом деле возникают некие функции, которые зависят сразу от нескольких переменных. Ну, вот к примеру, то есть давайте приведем примеры. Температура.

6:23 Да, температура. Ведь по сути, вот температура T, мы как ее можем характеризовать? Мы все-таки на самом деле говорим, что температура T это некая функция, которая зависит от координаты пространства. Ведь если у нас с вами есть какая-то комнатка, правильно, в которой мы можем вести координаты пространства, то есть x, y, z.

6:55 Вот некая комнатка, и мы говорим, ребят, вот в этой точке или в этой области у нас такая-то температура. Там если возьмем какую-то другую точку, здесь будет другая температура, здесь будет третья температура и так далее. То есть мы каждой точке нашего пространства сопоставляем какое-то значение, а именно температуру. И таким образом мы видим, что температура зависит сразу, как вы можете заметить, от трех переменных. Так, только мне, наверное, Y надо перенести, да. Y сверху должна быть, а Z снизу. Ошибся чуть-чуть. Вот это мы с вами видим. То есть T это у нас с вами функция нескольких переменных. Сразу трех, обратите внимание. Здесь напишите T, если мы поняли, почему температура T является функцией трех переменных.

7:42 Так, зависит сразу от x, y, z. Также вы можете здесь вспомнить такое понятие, как потенциал, если кто-то изучал уже электростатику, и в особенности этот вебинар, конечно, будет полезен тем, кто хочет изучать электромагнетизм. Потенциал φ. Но вот φ, это же тоже, в свою очередь, будет некая функция координат пространства. То есть мы каждой точке нашего пространства будем сопоставлять какое-то число, правильно? А именно φ, то есть значение вот этой численной нашей скалярной функции.

8:32 Поэтому φ тоже будет являться функцией трех переменных. Вот функция трех переменных.

8:50 Так, где у нас еще это может встречаться? Ну, в МКТ и термодинамике бывает, ну, вот немножечко здесь, конечно, вам рано, в особенности это лучше поймете на втором семестре, но вот, например, давление P, оно является некой функцией, на самом деле, от объема и температуры одновременно. И вспомните формулу Клаперона-Менделеева У вас же там PV равняется νRT νR, ну все-таки мы считаем некой константой в основном Вот у вас получается, что P это будет νRT деленное на V То есть некая функция от температуры и объема одновременно То есть обратите внимание, здесь у вас P зависит сразу от двух переменных

9:38 От объема и температуры Можно вообще дальше развить Можно, знаете, вообще рассматривать некую совокупность функций нескольких переменных. Вот, например, электрическое поле или напряженность электрического поля.

9:57 Напряженность электрического поля. Вектор Е. Ведь что такое вектор Е? Вектор Е это как раз вектор, который сопоставляется каждой точке нашего пространства. И на самом деле это вектор функция координат пространства То есть выглядит так, что это вот вектор e, который зависит от x, y, z Но что еще важно На самом деле это же три такие функции x, y, z Каждая из которых зависит от координат пространства То есть обратите внимание, насколько еще более здесь тяжелый смысл таится

10:47 То есть вектор это получается три сразу функции Которые зависят от трех переменных каждая Классно, да? Ну и, конечно, с этим приходится в математике немножечко работать В особенности физику нужно будет с этим работать Как-то этим управлять Здесь сразу напишите мне 15 Если мы с вами поняли, где и как Мы можем с вами видеть функции нескольких переменных И почему они для нас необходимы Ждут вас 15 15, 15, 15

11:35 Давайте пока я вот здесь выделю Ну, вроде выделил. Сойдет. Спасибо. Так, хорошо. Тогда давайте переходить к такому понятию, как частное производное. Сразу предупреждаю. Я рассказываю с некой физической точностью, то есть с неким физическим формализмом. Не буду здесь вводить такое понятие, как о малое от Δy, Δx. Не буду строго говорить, что значит у нас функция дифференцируема, что значит у нас существуют частные производные, как это друг с другом связано, то есть из существования частных производных еще не следует, например, дифференцируемость функции, или, например, что из непрерывности частных производных уже следует дифференцируемость, но из дифференцируемости у нас не следует непрерывность частных производных и так далее.

12:38 Вот это я предлагаю немножечко пока не озвучивать, потому что мы с вами не слишком все формально сейчас будем рассказывать. То есть, если говорить про формализм, то это сразу высшая математика. И об этом лучше говорить уже отдельно, а именно про отдельный, может быть, полноценный курс, если, например, вы там захотите. Как бесплатный, либо платный, ну, все-таки это отдельный разговор, или отдельное видео, или отдельный таз-стрим. Вот, поэтому мы с вами сразу будем приходить к прикладному. И причем, что в особенности хочу сказать, мы будем считать, что все наши функции хорошие, отличные.

13:27 То есть там в любой ситуации всегда там производное существует, частное производное существует, все дифференцируемо, все непрерывно и так далее. Давайте мы будем физиками, у которых все прекрасно, у которых все идеально и всегда все работает. Было бы так на праках на Всероссе. Да. Ладненько, давайте. Частная производная.

13:53 Вот хотелось бы, наверное, вот так сделать, разбить на несколько частей. Так, зачем физику? Вот первое, немножечко частная производная. Я хотел бы так начать. Давайте попробуем вообще понять, как себе можно представить функцию нескольких переменных. Вот смотрите. В дальнейшем я сейчас буду рассматривать, на самом деле, функцию двух переменных. Это будет самое удобное, это то, что можно будет уже себе визуализировать, потому что функцию трех переменных уже не сильно таки получится. Там вот координаты пространства нарисуете, конечно, это прекрасно, но именно сам, например, график этой функции вы уже не изобразите, потому что четырехмерия потребуется. А вот если мы говорим с вами про функцию двух переменных, да это пожалуйста.

14:40 Поэтому в ближайшее время будем этим и заниматься. Так, первое в основном будут функции двух перемен. Двух переменных. И буду их называть как f от x,y. Договорились? И в чем их главный плюс, что мы их хотя бы можем изобразить? Главный плюс можно изобразить. Так, изобразить. Ну вот, к примеру, это может выглядеть так.

15:34 Сейчас я какую-то определенную функцию вам здесь рисовать не буду, просто на пальце какую-то функцию изображу. Так, x, y, так, x, y, и здесь давайте z, и вот как раз-таки у меня z, пусть здесь будет являться вот тем самым значением этой функции. Так, ну и, например, представьте, что у вас функция, допустим, вот какая-то вот такая.

16:25 Сейчас надо, надо, надо попробовать.

16:38 Оп, оп, так, и вот что-нибудь такое. Ну вот, типа, представили, да, такое одеялко. опаньки во я честно попробовал может быть это не сильно хорошо получилось но скажем так я попробовал вот что-то типа такого представьте вы взяли одеяло за четыре конца вот в воздухе

17:36 она повисла ну или вот вы когда расправляете одеяло до заправляете кровать если это делаете то будет выглядеть как-то так. Надеюсь у меня получилось это вам представить. Тан-тан-тан-тан-тан. Во. Ну что-то типа такого. И вот как раз таки вот эта поверхность, которую вы здесь получаете, это и будет то самое z, которое образуется за счет значений функции f на точках x и y где как раз таки каждой точке в плоскости x и y будет сопоставляться свое некое значение z

18:25 так здесь напишите мне плюсик если у меня получилось как-то изобразить что такое график f от x и y вот и в чем есть плюсы том что можно это немного анализировать именно например сказать что вот здесь вот значение там как раз таки z ну а здесь например вот если вы чуть-чуть сдвинетесь то значение ну как-нибудь там чуть-чуть изменится в то есть вот это первая точка это

19:23 координаты x и y а вторая точка например x плюс дельта x и y плюс дельта y ну и как понимаете раз мы с вами сместились то вот это у нас будет z например плюс дельта z вот то есть вот мы взяли как-то там сместились например вдоль вот этой поверхности из одной точки к другой точке вроде более-менее у меня получилось одобродить. То есть, еще раз, вот представьте, у вас есть поверхность некого вашего одеяла, который вы вот так вот расправляете, и в воздухе у вас образовалась вот такая некая поверхность. Вы берете от одной точки, у которой координата x, y, и здесь получается

20:13 значение z, вы переходите к другой точке, у которой координаты x плюс дельта x, y плюс дельта y, и значение, конечно же, как-то поменяется, потому что функция сама по себе здесь как-то поменяется. Как от цифр до этого? Чего? Немножко не понял. Я сказал 15, это значит, если вы поняли, что я здесь изобразил. То есть, если вы поняли, что здесь изображена некая поверхность этой функции, то есть те самые значения, то есть множество тех самых значений нашей функции. А здесь, например, изображены начальная и конечная точка.

21:03 Так, поехали второй пунктик. Ну и смотрите, сейчас наша с вами задача будет разбираться с тем, а как можно, например, записывать изменения нашей функции. И что значит у нас здесь будет подразумеваться под бесконечно малым изменением нашей функции. Это будет наш с вами главный такой вопрос. Смотрите, давайте вводить такое понятие как частное производное. То есть, я вам напомню, у нас с вами было такое понятие, как производная, где мы брали f от x плюс дельта x минус f от x делили на дельта x, правильно? То есть, помните, у нас было такое понятие f от x плюс дельта x минус f от x делим на дельта x и получаем f штрих, правильно?

22:00 Ну, конечно, при условии того, что дельта x стремится к нулю. Это была наша производная стандартная. Теперь в чем будет проблема? Непонятно, на что здесь снизу делить, потому что здесь вроде какие-то, ну, x плюс δx, y плюс δy, вот что здесь. Поэтому просто такое обыкновенное стандартное понятие производной здесь мы не введем. Не получится. Поэтому нужно придумать более какие-то простые элементы, чтобы нам было проще этим оперировать. И первый такой простой элемент, это как раз-таки частная производная. Вот что мы с вами делаем. Давайте возьмем, выделим какое-то, например, сечение, либо след. То есть выделим, так, выделим некое сечение для, некое сечение в координате Y, в координате Y.

23:09 То есть мы берем Y, фиксируем, вот так вот проводим раз, проводим два, и у нас получается некая такая плоскость. Бум. Она, получается, будет пересекать наш график вот, например, как-то так. Представили, да? То есть вот раз, здесь вот Y фиксированный, плоскость выразили через Y, и у нас возникает такая вот некая кривулина. То есть по сути своей мы можем теперь взять и изобразить следующую штучку. Так, мне кажется, это нужно немножечко повыше перенести. Так, и вот это еще повыше я перенесу.

24:00 Во, другое дело, а то оно мешается.

24:06 Так, раз и два. А, что ж ты такое? Так, и у меня теперь здесь как раз-таки будет z, но при фиксированном y, то есть мы зафиксировали y, можно это обозначить как, не знаю, y0, чтобы точно понять, что это у нас фиксированная, например, величина Или, ладно, давайте пока, наверное, 0 не буду писать И вот у вас получается вот какая-то такая кривулина Бам!

24:54 То есть это считая сечения графика при фиксированном y так не знаю может быть здесь я изображу как-то но давайте лучше так то есть вот я взял y зафиксировал построил плоскость через y и таким образом у меня здесь отсеклась вот такая вот некая кривулина то есть y у меня фиксирован все и теперь здесь у меня z вот как раз и выражается как f от x переменной и и y, которая фиксирована.

25:39 То есть, считаю, вы здесь и получаете функцию одной стандартной переменной. Правильно? Мы же это здесь и видим. То есть у вас меняется только в зависимости от x, потому что y вы зафиксировали. И вот уже здесь мы можем ввести такое стандартное для нас понятие, как производная, что и является для нас, на самом деле, частной производной. Поэтому вот частная производная при фиксированном y выглядит так. f' по x, где мы берем f от x плюс Δx, фиксированный y минус f от x, y и делим на тот самый dx, Δx.

26:37 Но, конечно, нам необходимо, чтобы Δx была бесконечно мала. То есть, что я сделал? Я взял вот такую двухмерие по x, y, свел на самом деле к нашей стандартной одномерной задаче Где у нас уже f будет зависеть только от одной переменной, только от x Как же этого, конечно, здесь на графике не хватает То есть, еще раз, вот здесь, например, какой-то y я зафиксировал и дальше пошел брать вот такое вот сечение Все, пошел бросечение, вот та штука, которая у меня оказалась здесь.

27:28 Наверное, только ее я попробую здесь изобразить.

27:36 И оп, во. И сведя так задачу чисто к анализу вдоль одной переменной, мы можем вспомнить стандартное для нас правило производной, где мы просто берем, смотрим, ага, вот у меня была точечка, Взял чуть-чуть, сместился, нашел изменения, поделил на Δx И таким образом высчитал как бы производную Но в чем прикол, почему она частная? Она частная, потому что мы берем производную как бы по одной координате То есть по одной переменной В этом смысл частная, так как берется производная Ну, типа производная

28:21 По одной переменной То есть некий частный случай То есть в идеале хотелось бы сразу по всем взять производную типа а-ля, ну как-то это странно, да, вводить производную по всем, потому что непонятно, что внизу писать, что в знаменателе писать. Но хотя бы по одной вот мы можем, оно достаточно логично. И, конечно, это и будет являться, как всегда, тангенсом угла наклона, тангенсом угла наклона, некой точки x в этом графике. То есть если здесь писать альфа, то, конечно же, тангенс альфа это и будет f' по x

29:17 Вот здесь напишите, пожалуйста, если мы с вами поняли, что такое частная производная Почему она называется частная Что это просто некий частный случай того, как можно взять производную Потому что в общем случае непонятно, что делать То есть непонятно, что мы должны писать в знаменатель Потому что, ну окей, возьму я f от x плюс дельта x, там y плюс дельта y, минус f от x, y. Но делить-то на что? Вот, ну непонятно, да? То есть на произведение, на что? И непонятно, а что это тогда такое? Как с этим работать? Поэтому пока для нас это открытый вопрос. Но давайте мы пойдем в некую частную область, а в частную область... Мы пойдем в некую частную область, а в частную область что-то конкретное, что-то отдельное посчитаем.

30:06 А там мы можем просто взять, выделить Y, взять сечение вот этой поверхности. Получаете вот такую криволину, при вот этом Y фиксированном, где функция теперь будет зависеть только от одного X. И здесь стандартную производную посчитать легко, по стандарту, вот как мы привыкли. Так, в десятом классе перехожу в олимпиады, никогда не выигрывал и в принципе решать не умею, есть ли смысл ботать или уйти в ЕГЭ. Всегда прекрасный смысл ботать олимпиады. Бывает такое пишут и ребята, которые идут в одиннадцатый класс, и то они берут олимпиады. Так, да, есть смысл, я тоже в десятый класс и за два месяца работы уже выучил все школьные темы до конца одиннадцатого и начал олимпиадные штуки мучить.

30:54 Класс, я поздравляю. Неонкер. Неоннекер. Так, напишите это 15, если мы в целом поняли, что такое частная производная.

31:09 Ну и, конечно, ее бывает, мы можем записывать так. То есть, вместо вот таких вот непонятных штучек, как Δx, устремленную к нулю, мы будем писать так. df по dx. То есть, f' по x мы еще будем записывать как d красивая по dx. И это и будет являться пределом, либо вот этой разностью То есть предел такой разности f от x плюс дельта x при фиксированном y Минус f от x, y деленное на дельта x

31:55 Ну, конечно, при условии того, что дельта x стремится к нулю Вот эта вот d красивая, она специально как раз-таки вводится Для того, чтобы человек сразу понимал, что это берется именно частная производная То есть производная по отдельной какой-то компоненте То есть мы смотрим за тем, как функция меняется вдоль одного какого-то фиксированного направления То есть если вы двигаетесь, вот например здесь Вот вы двигаетесь чисто вдоль X Чисто вдоль X, вдоль Y движения нет Вот вас интересует, а что происходит при движении вдоль X Как быстро меняется функция именно вдоль X Так, так

32:42 Ну и давайте сразу тогда здесь посчитаем некие примерчики Потому что я понимаю, что примерчик это важно. Ну и давайте рассмотрим ситуацию, когда f от x, y у нас с вами будет выражаться как x куб плюс y куб минус 3xy. Напомню, что я буду считать, что вы уже знаете, что такое производное. Я в это верю, потому что у нас с вами уже было занятие по производным. Я надеюсь, что мы его уже с вами заботали, изучили, тем более я уже выложил некое пособие в свой телеграм-канал по ссылочке в описании, по производной, где вы можете еще нарешаться этих всех производных.

33:29 Так, ну давайте считать, то есть давайте попробуем посчитать производную по x, а может быть еще и по y. Потому что, давайте вот здесь укажу, что помимо этого, конечно, еще вводится понятие производный по Y, то есть df под y, где уже фиксируется сечение вдоль X, и мы рассматриваем то, как быстро меняется функция при фиксированном уже X. минус f от xy и все это теперь делим на дельта y при дельта y стремящемся к нулю тоже давайте выделим

34:19 оп, оп, оп о, шикарно давайте считать, то есть найти частные производные частные производные так, ну что будем делать? конечно первоначально давайте найдем производную по x f' по x или по-другому как df по dx, кстати, это бывает, можно писать как d по dx от выражения, как раз таки вот x куб плюс y куб минус 3xy, я вас как раз таки сразу знакомлю с этим описанием,

35:11 то есть d от f, ну вот считай вот d от этого, поэтому можно и так записывать, Конечно, я просто понимаю, что многих это может сходу пугать, поэтому я как можно раньше вас с этим знакомлю И как считается эта производная? Ну, смотрите, вот что такое частная производная по x? Это значит, что вы зафиксировали y и считаете дальше стандартную производную просто по x То есть, объясняю по-русски Теперь вы к Y, когда считаете частную производную, относитесь как обыкновенная константа То есть Y теперь новая константа, фиксированная

35:56 Так, ну что ж, ищем производную стандартно Конечно, это будет так, как можно использовать линейность Дальше стандартное правило x куб, вот, производная по x, потом плюс y ru куб, производная по x, и минус 3xy, производная по x. Ну, то есть частная производная по x. Так, это производная только по x, значит, производная x куб, это будет 3x квадрат. Далее, y, как я уже отметил, это фиксированная константа, конст. Значит, с у здесь ничего не происходит

36:41 А это означает, что производная от у в кубе это будет 0 Далее, минус 3у это фиксированная константа Поэтому выносим и остается производная х Как раз по себе же Но производная х это будет единица Значит мы получаем 3х квадрат минус 3у Вуаля, производная по х у нас с вами найдена То есть таким образом я получаю, что частные производные Наши функции по x будет выражаться как 3x квадрат минус 3y Так, второй пунктик Давайте найдем частную производную по y

37:27 Это у нас с вами будет df по dy По-другому это еще можно записывать как d по dy От вот этого выражения x куб плюс y куб минус 3xy Записывайте, как вам удобно Вот любой из этих трех форматов подходит под запись И далее теперь вы берете производную чисто по у Так, x куб, производная по у Плюс y куб, производная по у Минус 3xy, производная по у То есть теперь стандартную берете производную Просто запоминая, что теперь у вас x является константой Но раз x констант, то сначала получаете 0 Потом 3y квадрат

38:12 А потом минус 3 Что? Правильно, просто минус 3x Потому что производная по y здесь занулится А 3x это стандартная константа теперь в этой ситуации А это значит, что df по dy, вы знаете Это будет 3y квадрат минус 3x Вот здесь, пожалуйста, напишите мне 10 Если мы поняли, как у нас с вами решился пример номер 1 Жду от вас 10, если мы поняли, как мы Ну, я хотел бы, потому что теорема Стокса, она там как бы есть вот я хотел бы пару слов об этом поговорить так жду от вас 10 ну конечно

39:00 все зависит от того что как у нас вам сейчас по времени выйдет но я хотел бы если я вижу вас буйное желание этого то сделаем так как у вас там ждут вас десяточку так ну давайте рассмотрим пример 2 так ну допустим у меня f выражается как x зеленая е на корень из x квадрат плюс y квадрат попробуем теперь здесь найти найти

39:51 частные производные поехали первое попробуем давать сначала с частной производной по y df под и y так с другой стороны это f штрих по y это значит что теперь я должен брать Производную x на корень из x квадрат плюс y квадрат Производная по y На что здесь важно обратить внимание Что теперь, вот давайте прям выделю У вас x и x квадрат это константы Они теперь не меняются И вы берете производную чисто по вот этой оставшейся переменной То есть представьте, не знаю, что здесь 2, здесь 3 Но вы взяли производную, я уверен Вот здесь то же самое, остается просто взять эту производную

40:37 Так, как она будет браться? x я предлагаю здесь вынести и записать это следующим образом. x квадрат плюс y квадрат минус первой степени. И уже от этого мы берем производную по y. Ну, x я сразу вынес за производную, потому что x теперь это константа. Так, заметьте, у нас производная сложной функции, правильно? Где у нас с вами сначала... А хотя, зачем я вот так вот? Я же могу вообще упростить нам жизнь и сказать, что это минус 3 вторых. Да, ну я бахнул. Минус 3 вторых, конечно же. Вот. Обратите внимание, то есть что у нас с вами получается?

41:24 Сейчас, почему минус 3 вторых? Да что ж такое-то? Минус 1 вторая. Во. Да, ну я и бахнул. Ладненько. Вот, получается x квадрат плюс y квадрат. Степня 1 вторая это будет крышочек. Минус обозначает, что в знаменателе. Берем от этого производную. Заметим, что у нас с вами здесь сложная функция. Сначала идет степень. Потом, взяв производную по степени, мы берем производную по внутренней части. А там уже все достаточно easy. Получается, x идет, потому что это константа. Теперь вспоминаем, что производная там y в степени n. По y это будет n на y в степени n-1.

42:10 Значит, теперь я должен записать сначала минус 1, 2. Далее я записываю все это выражение И это будет минус 3 вторых Потому что минус 1 вторая, минус 1 Это будет минус 3 вторых И теперь я умножаю на производную внутренней функции x квадрат плюс y квадрат Производная по y А тогда я получаю, что f' по y Мне выдает Так, это будет Минус x деленное на двоечку На x квадрат плюс y квадрат в степени 3 вторых

42:56 И все это еще умноженное на производную x квадрат плюс y квадрат Производную по y Чему равна производная по y? Ну, конечно, это будет у нас просто 2y Потому что x квадрат это константа 2, ой, y квадрат производная равна чисто 2y Значит, итоговый наш ответ следующий Это будет минус x, y Далее, знаменатель И под знаменателем у нас идет x квадрат плюс y квадрат в степени 3 вторых. Вуаля, я вас поздравляю, мы с вами наконец-то отыскали нашу заветную производную.

43:41 Здесь напишите мне y, если вы согласны с тем, как мы получили подсчеты.

43:52 Так, ну или напишите пятерочку, если мы с вами согласны с тем, как я получил подсчет данного интеграла. Так, жду от вас пятерочку. Кстати, да, отмечу, что у меня же в телеграм-канале, если что, выложено примерное расписание нашего с вами курса математика-физики. И там и написаны данные даты. То есть сегодня, завтрашняя дата, они там выписаны. Так что не пропускайте. Можете там проследить, когда будет следующий вебинарчик. Да-да-да, все в моем телеграм-канале. Просто можете как минимум в телеграм зайти, там вбить.

44:37 Глеб Орел, олимпиадный препод. Все и сразу находите. Какой интеграл? 5. Что значит интеграл? Немного не понял. Давайте дальше. Теперь ищем производную по x. То есть частная производная по x или по-другому как df по dx. Сначала давайте... Сначала давайте немножко перепишу, то есть это будет x умноженное на корень из x квадрат плюс y квадрат, и я от этого выражения беру производную по x. Обратите внимание, что теперь у нас с вами идет произведение двух функций. Первая функция это x, вторая функция это корень из x квадрат плюс y квадрат, причем корешочек в минус первой степени,

45:30 То есть я бы, наверное, так бы написал, что здесь минус 1 вторая степень. Как мы это уже делали до этого. Вот так мне даже больше нравится. Так, сначала пишем тогда производную по первой функции, а потом производную по второй. Так, это получается x, производная по x, умноженная на x квадрат плюс y квадрат в степени минус 1 вторая. Потом плюс x, умноженная теперь на вторую производную. А, да, если согласны, как взяли этот интеграл Извиняюсь, как взяли эту производную Ошибся, конечно Так, x квадрат плюс y квадрат в степени минус 1 вторая

46:18 Идет производная по x Так, делаем подсчет Сначала делаем подсчет первой функции Так, производная x это, конечно же, единица Поэтому у меня просто остается 1 деленное на корешок Из х квадрат плюс у квадрат Далее, плюс х, умноженное на производную по х Обращаем внимание, что опять здесь сложная функция Сначала идет минус 1 вторая степень, а потом уже внутренняя функция Поэтому мы сначала умножаем на минус 1 вторую То есть сносим степень Потом у нас вычитается степень То есть это будет минус 1 вторая, минус 1

47:06 Или по-другому как минус 3 вторых А потом умножается на производную x квадрат плюс y квадрат штрих по x. Где важно обратить внимание, что так как мы с вами берем производную по x, то производная по y равна, ой, то y равна константе. Во, чуть ли не оговорился. То в этой ситуации мы считаем y константой. Это значит, что вот эта штука, вот эта вот красотулечка, нам выдает 2x. Так, давайте подсчитывать, ну или просто подставлять в конечный результат То есть это будет корешочек, ну 1 деленное на корешочек Из x квадрат плюс y квадрат

47:51 Так, далее идет значочек минус, минус 1 вторая Двойка, кстати, заметим, что двоечка сразу сокращается Вот она двоечка сократилась Поэтому минус x умноженное на x и все это деленное на x квадрат плюс y квадрат в степени 3 вторых. Остается чуть-чуть это приукрасить, посчитать более адекватно. Получаю, что f' по x. Так, на всех пожарных напишите мне знак равно, если вы поняли, как я перешел к этому равенству. Если мы с вами осознали, что здесь произошло.

48:37 Смотрите, я предлагаю привести к общему знаменателю, а именно вот эту часть умножить на x квадрат плюс y квадрат и поделить на x квадрат плюс y квадрат То есть я получу нечто такое красивое, элегантное x квадрат плюс y квадрат в степени 3 вторых Так, минус x квадрат, а здесь ничего не меняется x квадрат плюс y квадрат в степени 3 вторых Увидели, что при приведении к общему знаменателю у нас x квадрат сокращается И я тогда благополучно получаю, что сверху у меня будет y квадрат

49:25 А снизу будет x квадрат плюс y квадрат в степени 3 вторых Ву-а-ля Напишите тогда здесь 40, если мы поняли, как я посчитал теперь производную, частную производную по x Жду от вас здесь 40 Так, ждем 40 Ну и тогда, по сути, все у нас готово, да, f'x у нас есть, f'y мы посчитали, то есть примерчик решен

50:12 40, шикарно Я бы здесь еще бы пример 3 какой-нибудь решил Давайте пример 3 посмотрим И будет шикарно Так, вот сейчас посмотрю Интересно, вот это давать или нет Хочу немножечко просто более такой своеобразный дать Ну давай, ладно чуть более своеобразный дадим. Допустим, f у нас будет выражаться как sin xy, ну да, sin x квадрат y куб.

51:11 Давайте просто вот так вот немножечко доповторим материал. То есть что у нас с вами получается? Я, например, хочу взять производную по x, f'x. Это по-другому записывается как dfpdx Или записывается как dpdx от синуса x квадрат плюс y куб Так, замечаем, что теперь у нас y должна быть константой То есть y у нас с вами фиксирована А это значит, что у нас производная сложная функция Сначала берется производная по синусу Получаем косинус от x квадрат y куб

51:56 А потом мы умножаем на производную по внутренней функции. А это у нас с вами что происходит? То есть это будет производная x квадрат y куб по x. Значит, я здесь имею косинус x квадрат плюс y куб умноженное на что? y куб у меня выносится и остается x квадрат. Значит, это просто будет 2x. Аналогично теперь давайте f штрих по y. Хотя давайте я, наверное, просто приведу конечный ответ для f штрих x здесь. То есть это получается как 2х на у куб на косинус х квадрата у куб. Х квадрата у куб. Валя. Так, и финальное f' по у.

52:41 Это будет df под у. df под у от синуса х квадрата у куб. Теперь мы считаем, что у нас с вами х является константой. Мы берем производную по у. Так, у нас производная сложная функция, поэтому я получаю сначала косинус x квадрат y куб, а потом производную внутреннюю функцию, то есть x квадрат y куб, производная, только теперь я должен взять по y, значит x квадрат у меня выносится, производная y куб это будет 3y квадрат, значит итоговый ответ это будет 3x квадрат y квадрат на косинус x квадрат y куб.

53:30 вуаля вот так вот ребят так здесь напишите мне тогда 18 если мы с вами согласны с этим результатом так если мы с вами с этим согласны хотел бы привести быстрый пример 4 с неким намеком мы его сейчас тогда с вами посчитаем быстро он такой не сильно долгий просто хочется обратить внимание на одну интересную вещь то есть допустим у вас есть функция f который

54:16 выражается как x y плюс плюс y z наш правильно да запомнил до плюс y z и плюс z x то есть допустим вас функция трех переменных и вот смотрите f штрих по x df pdx я предлагаю сходу посчитай то есть мы считаем x переменной все остальное считаем константы значит у нас остается y плюс z потом f штрих по y берем производную по y все остальное константы y переменная остается

55:01 x плюс z теперь f штрих по z берем z как переменная все основная константа значит я получаю здесь у меня будет чисто y плюс x обратить внимание я везде получил на самом деле новые функции правильно то То есть, когда я взял частные производные, на самом деле я получил некие новые функции. И, честно вам скажу, эти функции тоже будут зависеть от своих же переменных. То есть, они же остаются функциями трех этих переменных, x, y, z. Вот как, например, в предыдущей ситуации. У вас функция как была двух переменных, в целом она и осталась функцией двух переменных. После взятия частной производной.

55:48 Это намек вам на будущее. это означает, что можно брать из у этих функций свои частные производные. Правильно? То есть на самом деле у нее можно взять частную производную по x, частную производную по y, частную производную по z. У него по x, по y, по z. И у него по x, по y, по z. Можно у всех у них взять еще частные производные по каждой своей компоненте, потому что мы с вами получили так же функции. Получили также функции трех переменных Значит их можно также дальше дифференцировать

56:40 Ну вот смотрите Здесь просто интересный такой момент Что если вы возьмете вторую производную по x То есть вот берете вторую производную по x Это еще будет записываться как d квадрат f по dx квадрат Вы что получаете? Получаете 0 Вторую производную по y получаете d квадрат f под y квадрат тоже получаете 0 потому что эта функция не зависит от y то есть y здесь вообще в помине нет и также ну как то есть зависит но она не входит так z df квадрат

57:34 под z квадрат равняется 0 интересное свойство вы здесь получили что вторые частные производные они, так сказать, одинаковы. Вот, на самом деле здесь есть некие лайфхаки, то есть если у нас с вами функция достаточно хорошая, то там бывают частные производные, у вторых порядков, ой, я наверное не про это здесь имел ввиду, извиняюсь, немножечко ступорнулся, наверное так, да, я все-таки хотел про другое хотел вот это указать то есть давайте так это быстренько понимал же что чуть

58:22 чуть могу здесь лопухнуть ну ладно бывает бывает я предупреждал так сказать вот так скажу смотрите что называется уехал свои мысли пока это болтал такой а вот оно вот оно что быстренько все мне нужно это сказать и переходить дальше потому что для нас сейчас не самое важное вообще не самое важное смотрите вот что такое в 2 штриха по x y но по сути своей это когда вы берете частную производную по игреку от уже частной производной по x но это будет записываться так d квадрат f pdx pd y то есть вот я взял частную производную как по x потом по игреку надеюсь я правильно

59:17 помню здесь порядок аналогично сначала могу взять производную по игреку а потом взять по x значит у меня здесь выходит d квадрат f по dy по dx и что самое интересное в хороших функций в случае хороших функций в случае хороших функций есть такой прикол что f2 штриха по x y будут будут будет равна То есть, оказывается, без разницы, в каком порядке брать частную производную. Сначала по х, потом по у, или сначала по у, а потом по х.

1:00:11 Вот, например, в нашей ситуации, если взять производную по у, вы получаете единицу. То есть, например, в нашей ситуации это равна единице, и это равна единице. Возьмите частную производную этой штуки. По х у вас будет единица. Это как некий такой прикольный лайфхак. Но об этом, конечно, нам сейчас не сильно требуется общаться. Это как просто некий доп. Доп-шок-контент.

1:00:44 Да, конечно, сначала не то бахнет. Так, напишите мне тогда здесь 40, если мы просто поняли, что здесь такое да бывает. В целом можно на это забить.

1:00:57 Так, в третьем примере, во втором пункте. Так, давай, третий пример, во втором пункте. По-моему, ошибка у Y степень вторая должна быть в ответе Да-да-да, вторая Вообще, частная производная, это когда мы дифференцируем только по одной оси Потому что там известно, под каким углом направленный бесконечный Да, мы это и делаем Все, прекрасно Теперь давайте забудем немножечко про вот такую вторую производную Это была слишком-слишком дополнительная часть Она сейчас нам совсем ни к чему Просто хотелось отметить как некий такой фан-факт

1:01:43 Самое главное, что мы должны были отметить, это что если я хочу считать производную по x, это значит, что другие переменные я считаю константами и считаю только по x. Давайте переходить к следующей части. Это будет третий.

1:02:05 Полный дифференциал. Полный дифференциал.

1:02:18 В чем смысл? И еще давайте здесь прям выделю, чтобы максимально все здесь было выделено. Не хочет двигаться, ну ладно Полный дифференциал DF Что это такое? Вот смотрите Как мы уже с вами отметили Сейчас я рассматривал какой-то частный случай То есть я брал, фиксировал одно направление То есть я такой, ага, Y зафиксировал Теперь могу двигаться только вдоль вот этой как бы оси X При этом фиксированном Y Я получал вот такую кривуль Давайте посмотрим некоторые более общие какие-то абстрактные моменты

1:03:03 А именно, вот у меня была начальная точка с координатой x, y, и я перехожу в какую-то произвольную точку с координатами x плюс Δx, y плюс Δy. То есть у меня происходит превращение всего моего аргумента. И меня интересует, а как тогда у меня в целом изменится моя функция? Вот что сейчас меня будет интересовать. И вот давайте мы с вами отметим, что у нас сначала вводится такое понятие, как Δf. Δf это как раз будет f от x плюс Δx, y плюс Δy Минус f от x, y То есть это обыкновенное приращение функции Преращение функции

1:03:52 Оно здесь не бесконечно маленькое То есть это обыкновенное приращение функции Где Δx, Δy у нас произвольны Можно это на самом деле свести к бесконечно малому приращению То есть если, то есть при Δx, Δy свести к нулю, то есть чтобы они к нулю, мы получаем, что Δf, ну извините, у меня физическая будет формальность, как бы сводится к df. Конечно, важно сказать, что если у нас существует такой, как бы, переход или существует такой дифференциал, то мы говорим, что у нас функция дифференцируема.

1:04:42 И там есть одно такое главное достаточное условие дифференцируемости, что если частные производные у нас существуют и непрерывные, то в этой ситуации у нас наша функция будет дифференцируема. Другие же ситуации, каких-то там критериев больших, ну, к сожалению, нет. Вот, поэтому полным дифференциалом у нас будет называться df, которое выражается как f от x плюс дельта x, y плюс дельта y, минус f от x, y. Вот так вот немножечко на физическом уровне формализма будем это записывать.

1:05:23 То есть это бесконечно малое приращение функции.

1:05:31 Бесконечно малое приращение функции. Бесконечно малое приращение функции. Напишите мне здесь, пожалуйста, f, ну или пресс f, если мы поняли, что такое df, что такое наш дифференциал.

1:05:55 Так, жду от вас f.

1:06:07 Конечно, в идеале, вот здесь вот под скриптом отмечу, что мы говорим, что функция дифференцируема. Если существует такая константа a, что δf у нас выражается как a δx плюс b. Ну, если существуют такие константы а и b, такие, что дельта будет выражаться как а дельта х плюс б дельта у плюс у малой а дельта х и у. Но предлагаю нам немножечко в эту степь сейчас не уходить, потому что иначе мы слишком улетим и скажем себе до свидания. Пока что мы не готовы к этому формализму. Если хотите, то это уже лучше отдельно об этом болтать. Ну и смотрите, самое важное. Must have.

1:06:53 Главный must have. Следующий. Что оказывается, у нас df, полный дифференциал, он будет выражаться как df по dx на dx, плюс df по dy на dy. О как! Видали? Наш полный дифференциал в действительности, он выражается как вот такая связь полного дифференциала и частных производных. Как студент технического вуза поддерживаю, что это так. Что именно? Интересно, что именно, что это так. Спасибо за просев.

1:07:41 Ну и смотрите, давайте попробуем, может быть, на пальцах понять, как это произошло, то есть откуда такой переход возник. По сути своей сделаем так. Вот что такое df? df это, если что, все физическая точность обсуждения. df это же у нас с вами f от x плюс dx y плюс dy минус f от x y где напоминаю что вот эти вот d это бесконечно малые приращения аргумента то есть это изменение но просто очень-очень-очень очень маленькие то есть вот то что я здесь изображал по сути своей представьте что вы

1:08:28 сдвигаетесь но на совсем небольшое расстояние такое бесконечно маленькое расстояние прям А вот сместились, ну капилюфочку, вот так вот, ну прям тютюфочку. Слишком мало. Так, вот как это можно переписать? Переписывается так, умный ноль. Вот Максим Геннадьевич, у меня был такой преподаватель по случайным процессам, он на лекции говорил, вот самый главный метод это метод умного нуля, либо метод умной единицы. Вот здесь то же самое. Нам этим и нужно будет воспользоваться. Давайте прибавим и вычтем что-то полезное, что-то хорошее.

1:09:16 А именно, так сказать, давайте вычтем, вот сейчас думаю, что-нибудь такое хорошенькое f от x плюс dx точки y и прибавим f от x плюс дельта x точки y. Ну и, конечно, там еще нужно не забыть про минус f от x и y. То есть, что я сделал? Я сказал, что вот эта штука в сумме, она дает 0

1:10:02 Правильно? Но ничего не изменилось То есть, вот у меня стандартные были 2 слагаемых, 1 слагаемая, 2 слагаемая То есть, я из этого вычитал это А теперь прибавил 0, умный 0 Здесь вычитаю это, а потом просто прибавляю По сути своей ничего не меняется Но за счет этого умного 0 сейчас будет красота То есть, смотрите, что у меня выходит У меня выходит, что это x плюс dx y плюс dy так минус f от x плюс dx y предлагаю это взять выделить первые скобочки так а потом плюс вторые скобочки f от x плюс dx y так минус f от x y вуаля и смотрите что у нас вам здесь

1:10:59 стоит своду вот что это вам напоминает например вот здесь но по сути своей умножьте на dx поделить на dx вы получаете частную производную ведь на деле своем это частная производная у вас таится то есть это будет df по dx в точке как раз ки x y ну просто нужно еще умножить на вот это превращение dx потому что здесь умножьте на dx поделите на dx вот вы получаете вашу частную производную что же здесь будет таиться здесь у вас уже считай берется частная производная в точке x плюс дельта x но она вот заметьте она здесь фиксированная поэтому здесь у вас получается

1:11:46 частная производная по игреку просто в точке x плюс dx y ну и умножить все это на dy потому что обратить внимание вот поделите на это дельта y то есть но это стандартное как бы изменение y мы как физики скажем давайте поделим вот и получится это из этого вычитается это но это как раз и оно и есть, ребят, прямо вот то, что оно и есть. Здесь аналогично. Мы из этого читаем это, по сути это вот такая вот наша df. Далее вы умножаете на dx, делите на dx, и у вас таится вот это частное производное. Вот, то есть вы получаете f' по y, к сожалению, в точке x плюс dx, y на dy,

1:12:42 и плюс производная f' по x, благо в хорошей точке x, y умножаем на dx. А здесь нужно воспользоваться тем, что, как я уже говорил, у нас с вами все функции очень хорошие, прекрасные, и это значит, что у нас наши частные производные непрерывны. А если они у нас с вами непрерывны, то в случае нормальной, ну, такой хорошей функции, при непрерывности, когда вы отступаете от x на бесконечно маленькую величину, то тогда изменение этой функции бесконечно маленькое, прям чересчур маленькое. И таким образом на этот Δx здесь можно забить. Поэтому можно сказать, что это смело равняется, вот если умными словами, то нужно сказать из непрерывности.

1:13:30 Если русскими словами говорить, то из-за хорошести, из добротности функции. Вот так вот, наверное, пошли. Из добротности функции. То есть не той добротности, которая в затохающих колебаниях, а как бы добротность, такая хорошая функция из хорошести Будет следовать, что это и вправду будет f'ydy в точке xydy плюс f'x в точке xy на dx То есть получается итог Полный дифференциал вашей функции, то есть полное такое изменение

1:14:18 Оно говорит, что это будет f'x на dx плюс f'y на dy. Ну или по-другому, df по dx на dy, ой, на dx, и плюс df по dy на dy. Вот оно что. Так, напишите мне, пожалуйста, здесь 40, если мы с этим согласны. Я вас понимаю, конечно, это некий такой новый материал, но зато очень важный. Он, кстати, уже многим на первом курсе пригодится. Многим на первом курсе пригодится, вот как-то так, как одиннадцатиклассник сомневаюсь, что именно, можете рассказать о чем вы, я немножко не пон, читаю и не пон, так, самый главный мастхеф, ребят, мы с вами осознали, что если мы с вами говорим про полный дифференциал, то есть про то, как у вас изменяется функция, то в этой ситуации

1:15:48 У вас здесь возникает как бы два слагаемых То есть у вас учитывается как изменение вашей функции вдоль оси x Так и изменение вашей функции вдоль оси y Это очень важно Такое самое главное must have Потому что ладно там в школе мы привыкли Да, df это было просто f' на dx, правильно? Ну к этому мы привыкли Теперь немножечко потруднее Теперь это будет сумма двух слагаемых Конечно же если мы говорим про функцию трех переменных то df это конечно будет там f штрих по x на dx плюс f штрих по y на dy плюс f штрих по z на dz это правда и так далее но это важно понимать так все это мы с вами вывели надеюсь было очень очень

1:16:42 полезно ну и давайте попробуем тогда найти полный дифференциал пример так пример найти полный дифференциал и рен циал вот какой функции 0 у какой функции f у нас будет выражаться как x плюс y квадрат плюс натуральный логарифм x плюс y квадрат но можно найти например в точке 0 1

1:17:29 почему бы идти и нет то есть найти полный дифференциал в точке 0 1 давайте зовут конечно Например, номер 1.

1:17:46 Ну и выделю. Так, поехали считать. Первое. Нужно вспомнить, что нам для этого потребуются частные производные. Потому что полный дифференциал, который от нас потребуется, df, он будет выражаться как df по dx на дифференциал нашего аргумента x плюс df по dy на dy. Давайте считать. Теперь найдем частную производную по x. У нас x где? Здесь и здесь Значит, частная производная у квадрат будет равна 0 То есть я получаю, что тогда df по dx у нас будет выражаться как 1 плюс 0

1:18:37 Плюс производная логарифма Давайте я немножечко об этом подробнее здесь тогда напишу У меня берется производная по x Чему равна производная от логарифма? Производная от логарифма это будет 1 деленная на эту функцию А потом я еще обязан умножить на саму производную этой штуки. То есть тогда я получаю, что f' по x у меня выражается как единица плюс. Производная от логарифма это единица зеленая на x плюс y квадрат. А далее я умножаю на производную внутренней части x плюс y квадрат штрих по x.

1:19:23 Что ж, подставляем, получаем единица плюс. Производная от x плюс y квадрат это будет единица, как всегда. Значит у нас и остается x плюс y квадрат Вуаля И это у нас с вами нашлась частная производная в точке x, y Где? Производная по x Ну и тогда df по dx в точке 0, 1 Это значит вместо x вы подставляете 0 Вместо y подставляете единицу Вы получаете, что это будет 0 плюс 1 Значит это будет 2 Так, напишите мне 22 Если мы с вами поняли как я нашел первую частную производную по иксу так если есть координата z то

1:20:17 частная производная по z да да да так только подключилась ничего не понимаю что делать смотреть самого начала стрим сохранится до при условии 60 лайков а давай надо написать точно не написал можешь посмотреть сначала на 2x ldk Догонишь или нет? Интересно, а что такое ЛДК? ЛДК. Не знаю. Ну ладно. Так, я советую, конечно, посмотреть просто сначала и задавать вопросы. Так, давайте, запись остается, запись остается при наборе 60 лайков, лайков до 21.00 29 августа.

1:21:24 А, I don't know, а, понятно, прикольно, спасибо, буду знать, типа IDK, не знал. Так, ладно. Так, мне остается, конечно, теперь эту часть. Так, я хочу как бы это. Так, мне нужно просто взять, закрепить. О, все, получилось. Что-то лагает. Все, сделали. Давайте искать следующую производную.

1:22:11 df по dy. df по dy. Это будет наша с вами частная производная по y. Считаем. Смотрим. Если мы берем частную производную по y, значит все остальные переменные для нас константы. В особенности x теперь константа. x константа. То есть мы берем производную только по y. по игреку вот она вот она здесь записываем так получается но предлагаю наверное тогда сразу раскрыть то есть получается будет сумма таких производных y квадрат по игреку плюс логарифм

1:22:57 x плюс y квадрат производная по игреку производная икса по игреку ну конечно это ноль потому что x здесь считая равняется константе производная y квадрат это будет 2y далее плюс производная сложной функции значит сначала мы должны найти производную логарифма это получаем единицу деленную на x плюс y квадрат а затем я умножаю на производную внутреннюю функцию то есть на производные из плюс y квадрат ну конечно я получаю что это будет чисто 2y то есть таким образом f' по y мне выдает 2y плюс 2y деленное на x плюс y квадрат. Но это в точке xy. Теперь в

1:23:56 точке 0,1 я подставляю вместо x равный 0, вместо y равный 1. Так, получаем, что это будет 2 плюс двойка деленная на единица плюс единица то есть это будет чисто троечка так третье получаем что полный дифференциал то есть такое приращение f от x плюс дельта x y плюс дельта y где заметьте теперь у нас берется приращение полное по всем аргументам будет вычисляться как f штрих x дельта x плюс f штрих y дельта y это если полный дифференциал тоже вот в точке то есть полный

1:24:48 дифференциал в точке x y как он будет выглядеть я получаю что у меня df как бы в точке x y выдает мне 1 производная штрих по x где она где она вот это 1 плюс 1 зеленая на x плюс y квадрат на dx плюс штрих по y это будет 2 y плюс 2 y деленное на x плюс y квадрат нужно надо y по то есть я

1:25:37 просто взял подставил 1 часть вот сюда и 2 часть вот она пам пам вот сюда но это в произвольной точке если меня же интересует в точке то есть теперь полный дифференциал в точке 0 1 то тогда df в точке 0 1 будет высчитываться как мы уже с вами до этого посчитали здесь будет двойка здесь будет тройка вуаля это такой ответ на данную задачу так напишите мне тогда п если мы с этим

1:26:22 согласны так почему кстати условного я везде не скрываю я в девятом классе попал на курс к пенкину м а и у него учился считай в карантин тот потому что в девятом классе был в двадцатом году когда был карантин вот и тогда есть ботал пенкина весь карантин все лето тогда потом уже самостоятельно продолжал я не скрываю я везде об этом кстати пишу так что дай мне олимпиадный путь начался с м а пенкина сего годового курса так а там

1:27:08 f штрих по y не 4 f штрих по y не 4 почему потому что здесь будет двойка обрати на я понял нет я понял я понял спасибо здесь нолик 2 деленное на 1 это будет двойка значит будет 4 спасибо да спасибо все тогда напишите теперь полный дифференциал либо просто 4 напишите если вы согласны с тем как мы это посчитали так давайте дальше пример 2 ну вот

1:27:56 к примеру допустим вам сказали что вот объем цилиндра объем цилиндра в у нас с вами выражается как p r квадрат h правильно вот нужно найти изменение объема если нам известно как изменился r как изменился h объем цилиндра 1 квадрат h допустим r нам известно там давайте будем считать один метр аж один метр огромный такой цилиндр вот вопрос насколько изменится насколько

1:28:52 изменится объем цилиндра если r ну или можно так написать если ну да если радиус изменился на вот если у нас с вами 1 метр то конечно 1 миллиметр это не ничто если на 1 миллиметр и аж если радиус изменилась на 1 миллиметр если радиус и высота вот давайте так радиус и высота и высота изменились

1:29:47 на 1 миллиметр изменились на 1 миллиметр о другое дело Один миллиметр. О, другое дело. Думаю, чётенько подходит. Что ж, давайте. Будем считать, то есть вот первое начнём решение. У нас, заметьте, один миллиметр много меньше, чем Rh, правильно? Потому что один миллиметр много меньше, чем один метр. Значит, будем считать, что Dr это как раз-таки один миллиметр, и DH это один миллиметр. То есть, можно считать, что это как бы наши бесконечно малые превращения.

1:30:35 Вот они, бесконечно малые изменения наших параметров системы. Так, у вас математика в физике, можно с около нуля о физе смотреть. Такой спорный момент. Я бы так сказал, где-то да, где-то нет. В 85% да, в 15% желательно чуть-чуть, может быть, и от физики что-то знать. Поэтому я бы так сказал, попробуй посмотреть, а там узнаешь. Потому что все-таки некоторыми вещами я сразу оперирую, но также пытаюсь некоторые вещи об этом рассказать.

1:31:26 Единственное, ну вот, например, сейчас я вел при объяснении такое слово потенциал. Но я вот здесь подробнее объяснял, что это такое, потому что об этом нужно отдельно говорить. Или напряженность электрического поля. Я отдельно не рассказывал. То есть, если ты базово это знаешь, то, ну вот, можно. Хотя, на самом деле, потом просто это будет выписываться в виде определенных формулок, и мы будем чисто считать то, что если у тебя с мотоном довольно хорошо, послушай, это будет хорошо. Так, dr, dh, да, и, следовательно, хотим найти dv. То есть я хочу найти как раз-таки то самое изменение нашего объема при условии того,

1:32:15 что r и h поменялись на бесконечно какую-то маленькую величину. Ведь еще раз, один миллиметр по сравнению с одним метром, ну это ничто Ну вот просто представьте, да, вот один метр, вот я не знаю Ну конечно сюда в камеру это не влезает, один метр он тоже побольше все-таки Но один миллиметр это вот это ничто Что же, давайте поэтому здесь пользоваться той самой великой формулой Что наше ДВ это ДВ по ДР на ДР плюс ДВ по ДН на ДН Смотрите, как удобно Вуаля! То есть мы сразу как раз и учли и изменение R, и изменение H.

1:33:00 Давайте находим теперь частные производные. dv, pdr. Ищу частную производную по R, это означает, что мне теперь нужно все константы зафиксировать, ну или все другие переменные, кроме R, зафиксировать, а именно H это константа теперь, а R это моя переменная. Беру производную по R, получаю, что это будет 2R умноженное на πH. То есть будет 2πr на h Производную по r я нашел Здесь напишите мне 33, если с ней согласны Далее четвертый пунктик Производная v по h Теперь у нас с вами h Она является переменной А r маленькая, это у меня фиксированная константа

1:33:46 Пишем d по d h От πr квадрат h πr квадрат это константа Потому что мы берем производную по h Ну и дальше идет производная h Ну что это? Ну конечно это единица То есть я получаю PR квадрат Поэтому пятый пунктик у меня будет такой Полный дифференциал, то есть мое полное изменение объема Будет выражаться Здесь хочу немножечко просто выделять То есть у меня вот он DVPDR DVPDR я его нашел И вот он DVPDH DVPDH я его нашел Берем теперь подставляем

1:34:33 Я получаю, что DVPDR Это будет 2πrh на dr Плюс dv по dh Это будет πr квадрат на dh Остается чисто подставить численные данные То есть получаем, что dv Это будет 2π То есть 2 на 3,14 На 1 метр и на dr То есть здесь будет 1 квадратный Ну, понятное дело 1 метр квадратный 1 миллиметр плюс 3,14 на 1 метр квадратный на 1 миллиметр то есть таким образом

1:35:19 я получаю что dv это будет 3 умноженное на 3,14 и умножить на 10 минус 3 метра кубического так 3 умножить на 3 целых четырнадцатых это примерно 10 на самом деле в целом давайте так конечно там поточнее надо но вот приближенно это будет 10 на 10 минус 3 метра кубического то есть получаю что это будет 0,01 метр кубический вот мы с вами узнали как у нас с вами меняется здесь что Ну или, кстати, если 10 минус 3, то, как я помню, это у нас вроде литр.

1:36:09 1 литр — это 10 минус 3 метра кубического, если мне память не изменяет, правильно? Господи. 1 литр — это в м кубических. 10 минус 3 метра кубического. Да, о, о, я помню, я молодец, я не забыл. Бывает. Да, то есть это примерно, кстати, 10 литров. Прикол. То есть представьте, вот у вас был цилиндр, 1 метр радиус, 1 метр высота Вы изменили на 1 миллиметр, а у вас на самом деле изменение объем 10 литров А вот так Но на самом деле все равно это много меньше, чем сам по себе объем

1:36:54 Потому что сам объем V, если вот так вот считать То это же было PR квадрат на H Это примерно 3,14 метра кубического Ну, это получается примерно 3140 литров. Ну и, конечно, 10 литров по сравнению с 3 тысячами 140 литрами. Славик! Вот давайте проверим. Можешь проверить меня по спряжению?

1:37:40 То есть смотри, по сравнению с 3 тысячами 140 литрами. 140 литрами. 140 литрами. Во, значит, 40 немножечко это выпукнулся. По сравнению с кем-чем. Ну, по-моему, 40 просто 40 там вроде нет. А ребята могут в чате написать, кто ЕГЭ русский готовит? Да, кстати, подскажите. О, кстати, прикольная задача. То есть смотри, вот у тебя есть объем цилиндра. То есть цилиндр, у него радиус 1 метр, высота 1 метр. По сути своей это 3000 литров. Прикол? Представить себе невозможно. Мы берем, называется, радиус меняем на 1 миллиметр по сравнению с метром, высоту меняем на 1 миллиметр, и на сколько меняется объем? 10 литров. В голове даже не укладывается.

1:38:35 Да, но там все-таки да, но это да, но надо потому что оставшую часть это миллиметр, миллиметр на метр, там типа надо переносить, вот, то есть миллиметр, миллиметр на метр, это получается разница целая в… Нет, там будет миллиметр на метр квадратный будет. А, вот, даже так, да, да, да, вот, получается, да, миллиметр на метр, то есть это тысяча на тысячу на один, то есть получается на этих миллион миллиметров, то есть на, ну да, да, да, слушай, офигеть. Просто сорока пишут. просто 40 40 то есть чем прикол то есть например 200 двумя стами да здесь все окей но 100 мы не говорим станет устаревшие мы говорим 100 100 то есть у нас есть две формы слова 100 всего лишь то есть то есть 200 200 200 200 там

1:39:23 дальше вижу 200 дальше творю двумя стами о 200 это вот падежи но если мы говорим просто то просто есть 100 нет 100 иду к 100 баллам по физике так 100 а потом этот винительный 100 и потом творю 100 баллами и дальше говорю о 100 баллов то же самое как я понял и про 40 то есть 40 40 40 40 40 прикольно ну вот мы с вами поизучали и русский язык на задача по математике-физике. Так, вот как-то так. Ну, напишите мне тогда число π, то есть напишите просто π, если мы согласны с тем, что у нас с вами здесь получилось. Мне кажется,

1:40:15 красиво. Так, сколько у нас с вами? А, сейчас 40 прошло. Так, напишите число π, если мы с ним согласны. Смотрите, будем немножко переходить к такому понятию, как производное по направлению и градиент до заветный прекрасный градиент у сколько чисел и прекрасно это очень хорошо давайте здесь как раз таки посчитаем ну и потом посмотрим если у нас временно

1:41:08 такое понять как на было хватит хотя конечно наверно про нам было бы завтра поговорил вот я бы хотел бы с наблой и дивергенции начать бы завтра так все надеюсь теперь про полный дифференциал более-менее разобрались давайте 4 пунктик это градиент градиент и производная по направлению производная по право линию так подчеркиваем раз я уже понял нужно скопировать

1:41:59 ставить на вас так и вот это вот это еще ахада точно я же здесь брал вот это выделение вот так шикарно так давайте сначала немного поговорим про градиент весь его именно такой может быть смысл местами мы обсудим после того как производным по направлению обсудим вот пока начнем с градиента первое давайте градиент он обозначить обозначается как град f град f мы еще узнаем как это связано например с наблой то есть градиент f на самом деле это наблая то есть

1:42:47 это действие оператора наблай на функцию f что такое град f ну по сути своей это вектор из частных производных dfpdx dfpdy и dfpdz давайте считать что ну ладно давайте dfpdz это если в трехмерии а если в двухмерии то конечно только dfpdx dfpdy то есть вектор честно вам скажу это ко-вектор но ладно это промолчим то есть есть у нас обычно обычные вектора которым привыкли это контр-вектора А это, например, ко-вектор. Все-таки есть небольшое там различие между ко-вектором и контр-вектором, но об этом вы уже изучите ближе к... да, об этом вы изучите на втором курсе, а некоторые, может быть, на третьем курсе.

1:43:43 Поэтому пока что вот этими контр-ко-вектором я вас мучить не буду. Просто отметил, что тут есть на самом деле некие разницы в названиях. Ну ладно, это вектор, ой, вектор производных, то есть это вектор с координатами производных, в целом можно вообще сказать, типа град, вот этот градиент, это можно назвать так еще, оператором, то есть это как бы производные, которые хотят взять от кого-то производную. То есть, по-честному, ну или можно так, еще так, еще можно так, еще можно так.

1:44:36 Сам по себе градиент можно обозначить как dpdx, dpdy и dpdz. Это оператор. Что значит оператор? Это значит, что он принимает на вход функцию и выдает вектор из производных. То есть, как бы это так происходит. Вот есть f, мы это отдаем оператору, градиенту оператора. Он кушает и выдает вектор, градиент f. Некоторые еще пишут вот так, то есть как разки вектора из частных производных, там f' по x, f' по y и f' по z.

1:45:37 Просто бывает удобно так записывать, потому что, ну, есть некие своеобразные моменты Вот, если, например, пока что не понятно, что это оператор То есть это как бы такая штучка, которая еще не подействовала И она только-только вот хочет подействовать на функцию Потому что это оператор, который вот кушает функцию, а на выходе выдает вектор То есть можно так к этому относиться Ну или как бы вот представьте, оператор это желудок, функция это еда А вектор я не буду говорить, что это Вот так это в целом можно воспринимать. То есть, так сказать, то, что мы получили на выходе. Откуда это берется? Ну, в целом, это берется из понятных причин того, что такое полный дифференциал.

1:46:24 То есть, когда мы с вами записываем полный дифференциал df, мы же записали, что это f' на x умноженное на dx, плюс f' на y умноженное на dy, и плюс f' на z умноженное на dz. И как вы можете здесь заметить, есть нечто интересное, а именно, можно это воспринимать на самом деле как просто скалярное произведение вектора f'x, f'y, f'z, так сказать, вот скалярно, на вектор dx, dy, dz.

1:47:10 Да, тут, конечно, по-другому надо записывать, ну ладно. Хотя, ну, с точки зрения скалярного произведения так. А именно, иначе мы получаем, что df записывается как скалярное произведение вектора градиента f на вектор dr-вектор. Где dr-вектор? Это и будет вектор с dx, dy, dz. Видим, да? То есть градиент, по сути своим, можно считать, что мы его ввели для просто упрощения записи того, что такое полный дифференциал. То есть обратите внимание, что градиент очень хорошо упрощает эту запись

1:48:01 То есть если вы знаете, как у вас изменились координаты То есть вы знаете вот этот небольшой вектор превращения dr-вектор, то есть это как бы вот этот небольшой, бесконечно малый вектор перемещения То вы просто вот этот вектор градиента умножаете на ваш вектор перемещения элементарный Получаете полное превращение функции Но по сути своей это очень удобно, согласитесь, да? Это прям вау, как удобно. Вот здесь можете написать тогда пятерочку, если с этим согласны.

1:48:42 Вот. То есть мы поняли, в чем основной смысл. Вот и получается, что у градиента у него же такие координаты, у вектора dr у него такие координаты. Но мы знаем, что когда у нас происходит скалярное произведение в ортонормированном базисе, То у нас скалярное произведение нам выдает просто попарное сложение Ну или сложение попарных перемножений соответствующих координат То есть мы как раз таки первую координату умножаем на первую координату Здесь первую на вторую, вторую на вторую, третью на третью Очень удобно, то есть это очень удобно записывает нам полный дифференциал Здесь напишите пятерочку, если мы поняли, вот это первый смысл То есть это, конечно, просто очень удобно записывать Можно и столбцами, как хотите

1:49:33 Просто у меня здесь места не было.

1:49:39 Если вам нужно формально, могу записать так, что на самом деле это вот так пишется. Вот так.

1:49:54 То есть это градиент транспонированный на наш DR-вектор. То есть если быть честным, то это вот так.

1:50:10 Нужно, так сказать, немножечко это транспонировать, чтобы правильно матрис на матрицу перемножился и получился скаляр. Поэтому я предлагаю, если формализм здесь не уходить, а по восприятию, у меня просто места здесь не было. А так да, по сути, я должен воспринять, что первый вектор умножаем на второй вектор, вот у нас попарно эти части перемножаются. И все. Так, напишите тогда 15, если с этим мы согласны. То есть если мы поняли, вот это первый смысл, да, того, что прикольно выходит.

1:50:55 Так, далее. далее давайте немножко поиграемся с производным по направлению просто вам расскажу что есть такая вещь как производным по направлению как она считается а почему не 15 если не 15 то напиши тогда вопрос буду очень признателен вот смотрите давайте поговорим про производное по направлению производная по направлению производная по направлению вектора l вектор и если что это

1:51:55 единичный вектор его еще будут обозначать как ну да все то есть его длина для нас равна единице это сразу давайте обозначим производным по направлению она как бы просто обозначает что мы хотим найти производную вот именно вдоль как бы этого фиксированного направления вот не знаю как бы здесь показать давайте попробуем что ли x y z ну я буду пробовать там уже посмотрим что

1:52:41 выйдет то есть допустим z это на как и раз кинаж графе функции of x y так вот так как-нибудь все счастливенько так как как мне тебя бы изобразить не хочу попробовать но я попробую но отчет тип

1:53:36 такого вернемся как раз к той картиночки вот два три вот как то так попробую тогда ее тоже закрасить и дидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидидид

1:54:34 И смотрите, вот допустим, есть вот какая-то точка на плоскости x, y, z, да, то есть вот она есть какая-нибудь там точка с координатами x, y.

1:54:57 Так, этой точке будет соответствовать свое какое-то значение z. И вот меня интересует производная вдоль определенного направления. Для этого я предлагаю изобразить, как мы с вами будем двигаться в плоскости x, y.

1:55:28 Плоскость x, y. То есть давайте мы с вами возьмем, глазками будем смотреть здесь То есть я вставил глазик вот сюда, он смотрит сверху Конечно, мы вот это полотно давайте не будем рисовать, а будем видеть вот эту точку xy, на которой мы с вами сейчас находимся И вот теперь нам важно понять, а вот как мы, в каком направлении будем двигаться И вот смотрите, давайте мы с вами возьмем и будем двигаться вдоль направления единичного вектора L То есть вектор L, это вот как Ленин, то есть он берет, направляет, он говорит, вон туда вам, товарищи, нужно идти, вон туда нам нужно идти, смотреть за тем, как будет меняться функция вдоль этого единичного направления.

1:56:22 Вектор направления.

1:56:31 Нам интересно, то есть как бы цель, как меняется, как меняется F, ну или как быстро меняется. Давайте пока напишем, как меняется. как меняется f вдоль направо линия или вектор это наша с вами цель с этим разобраться так

1:57:18 напишите мне пожалуйста два плюсика если мы с вами поняли как бы смысл того что здесь написано то есть мы пробуем понять вот как происходит вот изменение направления вдоль этого направления что и схеме с этим держит схеме что он просто будет только рисунок без оси z но как-то можешь заметить я ли сделал и рисунок такой и такой да что ж мы понимаем что конечно когда мы с вами будем двигаться вдоль этого направления то у нас будут новые с вами значения dx и dy вот предлагаю

1:58:15 только их и как-то обозначить вот наверное давайте так я сначала попробую общее какое-то вот изменение то есть вот я взял немного сместился а чё я так рисуем меня же есть нормальной рисовашки я тут что-то придумываю еще в только пошире надо до 1 2 теперь я же захотел здесь нормально тоже сделать красота привлекает сюда сюда то есть давайте здесь сместимся на x плюс дельта x и

1:59:03 здесь сместимся на y плюс дельта y только обратите теперь внимание у нас с вами дельта x и дельта ирик именно такие что мы смещаемся вдоль вектора l да конечно длина вектора или у нас с вами равна единица то есть вектор или он просто вам задает направлению но это не означает что вы смещаетесь именно на единицу вдоль нее вдоль него кстати какие будут координаты у вектора l координаты у вектора l то есть если мы с вами зададим здесь фи то вектор l кстати он нас с вами будет задаваться как косинус фи синус фи надеюсь это видно

2:00:00 То есть у вас же вектор L, вот он единичный, значит если мы с вами рассматриваем про его координату на x, это будет cos φ. Если говорим про координату на y, это будет sin φ. То есть вектор L напрямую задается просто вот таким углом φ. И давайте будем считать, что как бы мы вот здесь сместились на, вот как бы это так сказать, на tL вектор. Договорились? То есть мы сместились на t, l-вектор, где как раз параметр t, он и показывает, насколько глубоко вдоль вектора l мы с вами сместились. То есть t это некий скаляр, некое число. Ну там r.

2:00:45 Некое число, показывающее, насколько мы с вами сместились вдоль вектора l. Вот здесь вот давайте смысл t. Так, показывает, насколько глубоко, показывает, насколько сильно, сильно сместились вдоль вектора L Так, напишите мне буковку T, если с этим согласны

2:01:34 Что ж, что тогда? Тогда у нас с вами дельта x, как вы можете заметить, это будет T на косинус φ Ну, то есть, давайте, да, так напишем delta r вектор у нас с вами будет выражаться как tl вектор это вектор смещения вектор смещения как вы можете заметить кого не понял ну ладно так вектор смещения что-то у меня тут все поплыло

2:02:21 давайте нормально смещение ну и конечно тогда мы понимаем что если проецировать на оси x то дельта x у нас с вами будет выражаться как просто т на косинус фи дельта y у нас с вами будет выражаться как т на синус фи вот здесь вот запишите пожалуйста мне буковку t если мы согласны с тем что здесь получил то есть вот дельта x дельта y это считаю вот проекции вектора delta r на координату x на координату y. И вот теперь самое важное, то есть пока что это было введение как бы в производные по направлению. Просто честно вам скажу, бывало у меня так,

2:03:10 что когда мне ее рассказывали, там очень быстро просто это рассказывают, хоп-хоп, определение ввели и все, и поехали дальше с этим возиться. Я немножко так прям долго с ней вожусь, но надеюсь это как-то более-менее нормально. Самое главное нужно понимать, что да, тут каждая буковка, она для нас важна. И что дальше? Дальше давайте запишем, что при t, устремленном к нулю, или еще говорят как плюс 0, то есть мы устремляем t как очень положительная величина, ну как положительная величина, да, здесь в идеале r+, положительное число, то есть мы t устремляем к

2:03:56 плюс 0, то есть t у нас становится все меньше, меньше, меньше, меньше, но с точки зрения положительного числа. То есть это, например, было 10, потом 5, потом 1 миллионная, 1 миллиардная, потом 1 триллионная, 1 триллионная в степени триллионная и так далее. Что мы получаем? Мы получаем, что, конечно, Δr вектор у нас будет становиться очень маленьким. Это значит, что мы будем переходить к бесконечно малому смещению, и Δx будет стремиться к dx, Δy будет стремиться и переходить в dy. Договорились? То есть, если я говорю, что t мы устремили в 0, то это значит,

2:04:44 что вот это смещение вдоль вектора L у меня будет бесконечно маленькое, потому что именно параметр t отвечает за то, как сильно мы с вами смещаемся вдоль вектора L. Потому что вектор L это просто единичный вектор, который вам показывает направление, а под длине он равен единице. И за саму, как бы, величину смещения я отвечаю сам параметр t. Если параметр t очень маленький сделать, то, конечно, вы сместитесь вот так вот, прям вот считай ни на что, вот на мизер. Вот здесь давайте вспоминать, вот что такое у нас df. Полное приращение DF Тогда приращение функции вдоль вектора L будет выражаться так

2:05:49 То есть DF у нас с вами будет выражаться Ну как мы уже с вами поняли То есть если у нас DR вектор это как раз таки наше смещение То по сути нам нужно сначала посчитать градиент Умножить скалярное произведение на DR И вот вы получаете ваше DF Тогда df у вас и будет выражаться как градиент f на dr-вектор, где dr-вектор нам известен, это tl-вектор. То есть я получаю, что df это будет градиент f на tl-вектор, где t при условии того, что t стремится к нулю.

2:06:41 Предлагаю взять, поделить здесь на t, потому что t это обыкновенное число, но число мы можем поделить. И таким образом у нас с вами получается, что здесь, как бы показав, что это не полный дифференциал, то есть на самом деле в идеале, я честно вам скажу, вот здесь уже начинать рисовать некую заковырку. Я вывожу производную по направлению. То здесь бы я бы советовал уже писать немножко по заковырке, как бы обозначая, что это не полный дифференциал. То есть полный дифференциал значит, что мы просто в каком-то направлении сместились, в каком-то произвольном Δr. А тут мы зафиксировали направление Как вы помните, если мы зафиксировали направление

2:07:27 То есть, например, вдоль x смещаемся Или вдоль y смещаемся То у нас d красивое Вот здесь аналогично Мы зафиксировали направление, вдоль которого хочу сместиться Поэтому я пишу опять d красивое У меня будет df, деленное на t Которое мне выдает градиент f вектор на l вектор Ну вот чтобы это красиво выглядело Чтобы адекватно выглядело Люди просто договорились Писать следующим образом производная по направлению по направлению правлению и будет записываться так вместо

2:08:21 вот такого обозначения где ты у нас очень-очень-очень маленькая и df мы пишем df как бы по dl вектор да вот такое прям обозначение введено и это идет скалярное произведение градиента f на вектор То есть в действительности все берется отсюда, но чтобы как бы обозначить, что это за производная по направлению, и чтобы вот здесь в следующий раз вот такую некрасивую t не писать, просто решили обозначать так. Хотя в действительности смысл таится здесь, вот он таится смысл. Конечно при условии того, что t стремится к нулю.

2:09:09 И вот просто переобозначили. Давай вот здесь.

2:09:21 Переобозначили. То есть, еще раз, в действительности, что здесь таится? То есть, как нужно вот эту штучку воспринимать? Это нужно воспринимать так. Вы взяли, зафиксировали направление L. Сейчас объясню, для чего это, ребят. Чуть-чуть терпения. Зафиксировали направление L. Потом сказали, мы с вами смещаемся вдоль направления L на T. Правильно? Вот, TL. Далее, вас интересует то, как быстро меняется функция именно вдоль этого направления. Это значит, что вы должны вдоль этого направления чуть-чуть, прям бесконечно мало сместиться. Это значит, что t должно быть бесконечно малым, устремленным к нулю, вот оно, вот здесь.

2:10:09 И вы берете приращение функции, делите на вот как раз-таки модуль вот этого бесконечно малого смещения. Под этим и подразумевается производная по направлению То есть производная по направлению это отношение бесконечно малого приращения функции На длину вот этого бесконечно малого смещения вдоль вектора L Вот что здесь оно и таится, как мы это с вами записали И как мы видим, оно просто высчитывается как скалярное произведение градиента на этот вектор направления Но, чтобы вот так не писать, люди просто переобозначили, это важно, переобозначили.

2:10:55 Вот таким образом сказали, что мы это будем называть вот так. Просто, ну, потому что так красиво, так понятно, о чем мы базарим. Вот, это самый такой сложный момент был в плане понимания. Ну, у меня, например, это было тяжело так понимать, помню, в свое время. Надеюсь, здесь потихонечку вам помог. Ну, ребят, завтра надо было. Завтра будет Сейчас мы еще с это производным по направлению Немножечко поиграемся Нам нужно просто некоторые вещи отсюда понять То есть отсюда вот для чего я это вводил Для того, чтобы разобраться с главным смыслом градиента Кто это такой Хотя бы не прям идеально Не понимая, что такое ковектор и так далее

2:11:40 Но хотя бы Поняв его главные свойства В этом был смысл Здесь напишите мне слово направление Если вы поняли Что такое производная по направлению? То есть производная по направлению характеризует то, как быстро меняется функция при движении вдоль какого-то фиксированного направления Потому что еще раз обратите внимание, то есть как бы тут все сводится на самом деле уже к частным случаям Ведь если рассматривать более общий случай, то в чем прикол? Вот у вас была точка, вы как-то там сместились, вот вы смотрите за полным дифференциалом, это самый общий случай Если смотреть за таким более частным случаем, самый частный случай

2:12:27 Самый частный случай это частная производная, которая говорит, типа, давайте смотреть за тем, как быстро меняется функция вдоль x или вдоль y А вот это такая некая серединка между этими случаями То есть вместо самого общего случая, где вот произвольно как сместились, мы говорим А ребят, давайте посмотрим, как быстро меняется функция вдоль какого-то именно фиксированного направления там вектора l И вот нам интересно, как быстро меняется функция вдоль этого направления Ну мы смотрим, мы берем таки, ага, говорим, что мы сместились на tL t устремляем к нулю, получается длину этого смещения устремляем к нулю И получается превращение функции становится тоже бесконечно малым

2:13:13 Берем отношение, вот и получаем скорость изменения функции При движении вдоль определенного фиксированного направления Это и будет производное по направлению Надеюсь, да, может быть, сейчас не всем понятно, для чего это, для кого это, но просто в будущем это, ну, там, например, в УЗИ, это будет часто встречаться. И хочу просто вам помочь, чтобы, вот, например, хоть сейчас, может быть, там, такие, а, для кого чего, потом просто знали, что, если что, можно сюда, например, заглянуть и, наконец-то, разобраться с этим смыслом. Вот. Давайте пока вот, какие свойства отсюда возникают?

2:13:54 Да, это как бы об этом. То есть это говорит о том, правильно Дмитрий, это говорит о том, что вот если пойдешь так, то есть вдоль этого направления у меня функция медленно растет, а вот так пойдешь вдоль этого направления, во-во, быстро будет расти В одну сторону мне проще идти, в другую сторону медленнее идти То есть это уже хоть какая-то численная характеристика Обратите внимание, что это непроизводное, ну, то есть непроизводное в обычном понимании, это именно производное при фиксированном направлении, то есть я сначала зафиксировал направление, вдоль которого мне интересно. Вот частное производное, например, вдоль оси x, это когда вектор L смотрит горизонтально, это будет тогда частное. То есть, если вектор L сонаправлен с осью x, то получаем частный случай df по dx.

2:14:58 Если вектор L сонаправлен с осью y, Если вектор Эльса направлен с осью Y, то получаем df по dy. Просто о частных производных мы с вами немножечко пораньше поговорили. Будут, но чуть позже. Электромагнетизм у нас с вами будет, и некоторые примеры такие а-ля. Может быть косвенно связанные. Хочу здесь последовательно некоторые вещи рассказать. Но смотрите, как минимум сейчас уже будет пример. вот в чем вот какой смысл отсюда возникает давайте получим главные свойства градиента

2:15:47 главные свойства градиента смотрите сейчас я подумаю как можно можно ли здесь обозначить думаю давайте так давайте немножко попробуем переписать вот эту производным по направлению

2:16:34 по-другому. Так, я там что писал? Четвертое, да? Давайте я прям отдельно, как пятый пункт, и главные свойства. Получим главные свойства градиента. Все-таки хочется об этом прям отдельно сказать. То есть, например, градиент это как раз тот вектор, который вам показывает, в каком направлении нужно двигаться, чтобы у вас был наибольшее убывание, наибольший рост вашей функции. То есть градиент, он показывает направление наибольшего, наискорейшего роста функции. Давайте сначала главные свойства. Вот главные свойства. Их сейчас будем получать. Первое свойство, град f, направлен, ну или указывает направление наискорейшего роста функции.

2:17:40 указывает направление наискорейшего наискорейшего скорейшего роста функции роста функции и то есть куда у вас смотрит градиент туда и он говорит вот если будешь идти в этом направлении вдоль меня то здесь наискорейший рост вот наибольший рост вот как бы это так словами то есть еще раз градиент вам будет показывать следующее вот он такой ага вот мои координаты 21 я и показываю вот иди вдоль

2:18:31 меня и функция вырастет наиболее быстро в этом смысл это мы с вами сейчас выведем прям второе же свойство оно следующее что градиент перпендикулярен поверхностям некого уровня где поверхность уровня это как бы та линия вдоль которой функция не меняется градиент перпендикулярен поверхностям уровня как бы то на поверхностям уровня это как раз и электростатика считай сейчас

2:19:19 об этом поговорим вот вам пример из электро то по верхностям уровня давайте разбираться что это за такие монстры так поехали первое смотрите вот во первых dfpdl производная по направлению по сути своей я вам очень советую в голове держать что это на самом деле df деленное на т где ты

2:20:07 стремится к нулю и все и как мы с вами получили это будет по скалярное произведение градиента функции на вектор направления куда нужно двигаться ну или куда вы захотите двигаться правильно то есть это скорость роста функции вдоль этого фиксированного направления вот как вдоль него именно как быстро меняется функция вот как быстро растет или как быстро убывает давайте запишем по определению что такое скалярное произведение это будет модуль градиента фи модуль градиента f на модуль вектор аль и на косинус угла альфа между ними где угол альфа этом угол между вектором

2:20:57 градиента и вектором или мы знаем что длина вектор и или равна единице ребята тут вот здесь максимально внимательно главное вот поймите что или это просто вектор направления длина его равна единица а вот ты отвечает за то как сильно мы сдвинулись долей то есть таким образом я получаю что вот это производная по направлению где рядом также буду писать что это считает скорость изменения вашей функции f при движении вдоль или это вам выдает длина вектора градиента на косинус альфа где альфа угол между вектором или вектором градиента то есть допустим вот сюда у вас смотрит

2:21:48 вектор l а сюда у вас смотрит вектор градиента вот вас альфа ну конечно это все на плоскости x y например если у нас функция двух переменных как я это там и показывал потому что я работаю с функциями двух переменных сейчас и что мы с вами видим вектор l мы например можем с вами поворачивать

2:22:34 То есть вот в какой-то точке мы градиент можем посчитать, правильно? То есть в точке x, y, в точке x, y градиент считаем и фиксируем. Можем посчитать градиент. Так, можем посчитать град f. Напоминаю, что это вектор, состоящий из двух координат df, p, dx и df, p, dy. Ну просто такие координаты. Ребят, подставьте сюда чиселка У вас получится чисто координаты

2:23:20 Не знаю, 2, 1 и все То есть это частная производная, куда просто Подставляете координаты x и y И получаете числа Вот 1, там 2 Вот у вас будет вектор, у которого координаты 1 и 2 Все, к этому относимся как просто вектор Где вот чиселка, координат подставили Вот вы и получили ваш вектор Все, ничего более Он фиксирован в точке x и y А вектор L вы можете менять Вот смотрите, вот к вам вопрос Когда вот эта штука фиксирована, то есть эта штука фиксирована в точке x, y, да? Она фикс. Почему она фиксирована? Потому что вы находитесь в одной точке. Вот к вам вопрос. Вот при каком значении α у меня скорость роста функции будет наиболее?

2:24:09 И как вы можете заметить, я могу найти максимальный рост функции. Напишите мне, пожалуйста, при каком угле альфа у меня будет здесь максимальный рост функции Потому что, напомню, это превращение функции вдоль направления L Деленое на вот этот промежуток времени DT Так, я не пропал? Напишите, пожалуйста То есть вот это мы зафиксировали

2:24:55 Вот косинус, он при каком альфа будет максимальный?

2:25:02 Ну, после фукмы можно сделать все, что угодно Есть ребята, которые уезжают, есть, которые не уезжают Там все зависит от того, насколько ты хорошо шаришь на английский язык Так, ну ребятушки, я вас очень прошу, давайте посмотрим Вот при каком альфе у нас будет наибольший рост Конечно, при альфе равном нулю Потому что вот, давайте здесь напомню вам Боюсь, вы забыли Ноль, да То есть напомню, что такое наше было df df это было изменение, то есть превращение нашей функции Когда мы сдвинули вдоль вектора L Мы потом поделили на t и как раз-таки получили скорость изменения функции при движении вдоль направления.

2:25:53 То есть это скорость изменения, ну или скорость роста функции вдоль вектора L, то есть вдоль направления.

2:26:27 Вот. То есть что мы с вами видим? видим что скорость роста роста функции как бы df деленное на t при т стремящемся к нулю или уже df надо l вектор то есть официальное название такое это я для вас пишу зависит ну в точке x y в точке x и берег зависит от альфа следовательно наибольший рост наибольший рост при альфа равном

2:27:34 нулю то есть у вас вот это значение максимальная то есть вот скорость ростом наибольшая если косинус равен единице больше рост при альфе равном нулю то есть при векторе l с направленным с градиентом f это и показывает что если вы будете двигаться вдоль l который смотрит вдоль градиента то у вас будет наибольший рост это очень важная мысль мега важная мысль и мы к ней здесь я уверен очень хорошо смогли подарить подойти следовать наибольший ну или наискорейший рост наибольший

2:28:37 рост f происходит вдоль f вдоль градиента f вдоль этого вектора напишите мне слово град если мы поняли почему это так то есть если альфа сделать равном нулю то вектор и львам и покажет направление куда нужно двигаться, чтобы f у вас имела наибольший рост, как можно быстрее росла. Это вот прямо самый главный must-have. Поэтому к градиенту можно относиться так, это просто вектор на плоскости, который вам показывает,

2:29:23 куда нужно двигаться, чтобы у вас был наибольший рост функции. То есть, например, вот здесь вот, допустим, у вас, ну допустим вас вот куда-то сюда смотрит градиент это значит что здесь ну вот куда-то сюда его постарался изобразить вот он он лежит в плоскости Вот он. Он лежит в плоскости, конечно, xy. Он лежит в плоскости xy, потому что он имеет количество этих, количество своих проекций, сколько компонент xy, то есть количество, мы же дифференцируем, то есть это же dfpdx, да, и dfpdx, то есть сколько переменных, столько и компонент.

2:30:27 Поэтому, конечно, это просто вот в плоскости xy. То есть, этот вектор лежит в плоскости xy, и он говорит, ребят, вот будешь двигаться вот сюда, то здесь будет наискорейший рост. Там просто максимальный просто бум этой функции. Функция просто взрывается вдоль этого направления. Именно вдоль него. Ага, угусь, напишите угусь.

2:31:04 Вдоль этого направления, бум. То есть максимальный такой рост Вот, это вот первое, что можно как раз и отсюда понять Это, я считаю, доказали, молодцы Теперь давайте второе Давайте поговорим про то, почему градиент перпендикулярен поверхностям уровня Вот смотрите Поверхность уровня, поверхностью уровня мы будем называть линию, вдоль которой f равна константе

2:31:50 Договорились? Давайте так То есть линией уровня, ну или там поверхность уровня линии, скобочку поверхность, можно еще так называть, если x, y, z. То есть линии это если x, y, а поверхность если x, y, z. Уровня это линия x, y, вдоль которой, вдоль которой f равна константе.

2:32:48 ну вот например так это можно производить x y z а это лишняя здесь должен быть y z допустим

2:33:33 вот у вас функция например выглядит так вот виде такой шапочки представили да так как бы это изобразить тяжело тяжело ща если так я получится ща одну секунду одну секунду то есть

2:34:49 представьте вот такую функцию вот видите например здесь вот такая вот типа города возникла вот все хочу чтобы вы представили себе вот такую некую функцию такую горку я пробую рисовать в 3d то То есть это вот такая некая горка. Представьте, такая шапочка оказалась. То есть такая вот поверхность шапочки.

2:35:34 Наверное, вот так-то же попробую. Во. Вот, надеюсь, это как-то добавило некого шарма. Так. f от x, y. Поверхность шапочки. Поверхность шапочки. И если писать вдоль, То есть, если брать и смотреть, что будет вдоль x, y, то будет следующая картина.

2:36:19 То есть, если вот брать, глазиком вот так вот смотреть, то вы можете заметить, что здесь у вас максимальное значение, да? Я вот предлагаю тогда записывать так. Сейчас у нас с вами прям будет веселье. Так, вот как бы тебе сделать, как бы эту штучку сделать. так это x0 y0 где у нас с вами максимальное значение давайте будем считать что здесь x0 здесь y0 так поехали широко то есть вот здесь вот вот поверхность уровня дальше следующая

2:37:14 Следующая линия уровня, дальше следующая линия уровня, то есть вот самая точка у нас с вами максимум, здесь, ну я широким обозначил, что там типа у нас с вами большое значение, потом следующее вот оно, а потом следующее вот оно, то есть как некая такая, знаете, карта в географии, то есть здесь пик вашей горы, здесь немножко пониже, здесь пониже, здесь еще пониже, но вдоль этих линий у вас f равна константе, договорились? Вдоль этих линий f равна константе. Так, это линии уровня.

2:38:12 Уровня. Так, здесь максимум. Вот напишите здесь, пожалуйста, 10, если вы поняли, что такое линия уровня и что я здесь изобразил.

2:38:30 Я оставлю, если будет 50, ой, 60 лайков, как я написал. То есть, если 60 лайков мы наберем, то, конечно, оставлю. Если нет, то, ну, случайно у нас за 9 вечера Славик удалит. Вот, чисто так, случайно. Так, напишите 10, если мы поняли, что такое линии уровня. И вот смотрите, вдоль линии уровня у меня f везде одна и та же. То есть вдоль этого, например, значение, у меня f там принимает значение, f1. Вдоль этого он имеет значение, там, f2. Вдоль этого f3. Ну, для конкретики можно сказать, что это единица, там, это тройка, а это пятерка, например.

2:39:20 То есть это и будет как раз к f1, это f2, это f3. То есть вдоль этих линий у меня постоянное значение функции. И что мы тогда видим? Вот давайте вернемся к этому производной по направлению dfpdl. Напомню, что это скорость изменения функции вдоль направления L. Мы получили, что это скалярное произведение градиента f на вектор направления L, где вектор L это единичный вектор направления. Вот смотрите, вот что будет, если я буду вектор направления направлять как бы по касательной к этой линии уровня.

2:40:08 То есть давайте возьмем, рассмотрим какую-то линию уровня. Вот линия уровня.

2:40:22 И вот я беру, смотрю здесь за вектором направления L, который смотрит по касательной. За счет того, что он покасательный, я получаю, что если вот мы с вами были в начальной точке здесь, то спустя маленький, то мы смотрим за тем, как у нас меняется, как быстро меняется функция вдоль вот бесконечно маленького такого отрезка, tl-вектор. Напомню, мы это так писали, dfpdl, чему будет равна?

2:41:10 Ну конечно она будет равна нулю, потому что у вас изменение функции вдоль этого направления, ну просто равно нулю, верно? Если L вектор касательный, касательный вектор, вектор к линии уровня, то DF по ΔL, или по-другому напомню, что это DF, то есть превращение вашей функции, деленное на t, длина на ту,

2:41:56 то есть вот это бесконечно малое смещение вдоль вектора L по этой линии, будет равно нулю. Почему? Потому что у вас f равна константе на этой линии уровня Верно? Вот чуть-чуть вот здесь сместитесь, но f-то не поменяется Она как была констант, так и осталась Просто вектор l, еще раз, это вектор, куда вам нужно двигаться А это значит А вот следующая там линия уровня Например, вот следующая линия уровня Вот следующая линия уровня Вот тут максимум

2:42:43 значит у меня получается что в этой точке градиент f на вектор l равен нулю это что означает это означает что эти два вектора перпендикулярны то есть я тогда получаю что у меня градиент f вот он да он смотрит в сторону наибольшего роста здесь но вот он как раз и примерно и смотрит куда где находится этот максимум просто здесь наибольший рост доли этого направления потом

2:43:28 чуть-чуть надо сместиться и к максимуму придем вот он градиент f а это будет в свою очередь означает что градиент он всегда перпендикулярен линиям уровня линия уровня это вот он главный мастхэв 2 мастхэв то есть 1 мастхэв что у вас на плоскости везде вот здесь вот градиент он будет смотреть как бы в сторону наибольшего роста и когда вы будете двигаться вдоль градиента вы

2:44:13 Вы наискорейшим образом придете в максимум. Просто за счет того, что вам градиент будет показывать, куда нужно двигаться. Ну и также градиент у вас будет перпендикулярен линиям уровня. А вот эти вот линии уровня, они еще можно их называть как бы эквипотенциальная поверхность. Помните что-то такое, да? И как раз вот здесь сразу пример. Вот пример.

2:44:42 Пример такой. Вспомните. У вас вектор Е, он выражается как минус градиент Ф, минус градиент Фи, помним? То есть вектор напряженности электрического поля, он смотрит против градиента Фи. На самом деле это означает, что вектор Е смотрит против... Против наискорейшего роста φ, то есть он смотрит в сторону наискорейшего убывания потенциала. Смотрит в сторону наискорейшего убывания.

2:45:38 И с другой стороны вектор Е, он же градиент, перпендикулярен эквипотенциальным поверхностям. потенциальным поверхностям поверхностям то есть вот как раз таки например у вас там будет о ну давайте как раз вот x и крик то есть вот у вас получается например вот это эквипотенциальные

2:46:25 поверхности вашего потенциала фи то есть фи у вас здесь равен константе здесь равен константе здесь равен константе значит вектор е он будет смотреть в сторону наискорейшего убывания то есть вектор е будет смотреть теперь не к а от авторы будет перпендикулярен этим эквипотенциальным поверхностям вот оно что вот может быть здесь точным зарядом не знаю покажу то есть вот у меня точный зарядик помните как потенциал точного заряда выражается фи

2:47:10 это есть как у на r значит эквипотенциальные поверхности будут выглядеть так наибольшие эквипотенциальные то есть конечно наибольшее значение вот она потом идет значение чуть поменьше а потом еще чуть поменьше здесь у вас фи максимально да то есть я вам напомню что фи

2:48:20 зависимости от r у вас и ведет себя вот так то есть как у на r вот и получается здесь вообще бесконечно большое значение здесь достаточно большое здесь поменьше здесь еще поменьше но фи у вас здесь там первое значение потом второе значение здесь третье значение и как у вас будет смотреть е е у вас обязана смотреть против направления ой против направления наискорейшего роста а наискорейший рост у нас происходит когда мы уменьшаем расстояние то есть наискорейший рост

2:49:07 вот в этом направлении. А у нас вектор Е смотрит против градиента, значит он будет смотреть в сторону наискорейшего убывания, то есть он будет смотреть вдоль роста R, то есть в этом каком-то направлении. Но чтобы понять в каком именно, мы вспоминаем, что вектор Е перпендикулярен эквипотенциальным поверхностям, то есть он перпендикулярен той поверхности, ну или той линии, вдоль которой fi равен константия отсюда мы получаем что здесь я буду смотреть вот так вот так вот так вот так здесь е ну может быть чуть поменьше будет но здесь будет здесь будет здесь будет и тут будет

2:49:57 будет тут будет тут будет тут будет и они перпендикулярны нашим экопотенциальным поверхностям Вот как оно на самом деле все друг с другом связано. Здесь напишите 15, если мы с этим согласны. Я абсолютно согласен, что это такой, максимально такой сложный момент, но честно вам скажу, просто мало его кто, ну, мне его не объясняли. Я так скажу. То есть мне не объясняли, как напрямую это все следует, то есть вот так вот не разжевывали. Поэтому хоть где-то это появится. Но это, конечно, требует время осознания. То есть здесь вот максимально хорошо раскрывается такое понимание того, что обучение происходит в три стадии.

2:50:48 Первая стадия страх, потом принятие, потом осознание. То есть сначала нужно побояться этого всего, потому что, конечно, для вас это все максимально непривычно, но это вышмат, что поделать, да, градиент, производный по направлению, это все вообще-то второй семестр. Это второй семестр МФТИ, на секундочку. Но когда вы попробуете это воспроизвести, попробуйте еще раз с этим разобраться. и сами себе это как-то словами расскажете, то у вас стадия принятия начнется, а потом спустя еще некое время, это не 2 часа, не 3 часа, это несколько дней, может быть, несколько недель, вы перейдете в стадию осознания, когда вы сможете самостоятельно все воспроизведеть. Воспроизведеть, да. Гениально. Вот. Я сначала просто хочу теорию, ну, все уже, досказать, чтобы точно было все ок.

2:51:35 И как вы можете заметить, вот у меня вектор Е и вправду смотрит вдоль тех направлений, где мы знаем Это означает, что вот здесь будет направление наискорейшего роста Потому что вот если двигаться сюда, это наискорейший рост А это наискорейшее убывание, вот убывание, рост Правильно? Чем ближе ку, тем выше фи Вот, как-то так Так, ну и вот здесь

2:52:26 Все, надеюсь получилось это указать Ну и, конечно, градиент лежит в плоскости x, y, это очень важно. Фух, ну мне, честно, понравилось, вышло очень красиво. Напишите 15, если, ну в целом мы осознали, то есть в целом мы это себе зафиксировали, чтобы просто в голове оно было. Давайте порешаем примеры. Решим примеры, и тогда на сегодня на этом будем заканчивать.

2:53:06 Но я уверен, что 60 лайков этот конспект уже точно заслуживает, потому что мне он нравится. Мне даже интересно. А, кстати, а как посмотреть, сколько лайков? К сожалению, я здесь не увижу, да?

2:53:28 Как увидеть, как увидеть?

2:53:35 О, наверное, на YouTube надо зайти.

2:53:44 44. Ну, ребят, надо еще 15 лайков как минимум поднабрать. Вы же понимаете. Вы же это понимаете, правильно? Надо, надо. Ну, конечно, тяжело, но что же поделать? Это вы же мат. Никто не говорил, что это будет легко. Вы думали, на физтехе, типа, пришел, и вот тебе знания прям-таки даются? Нет, я вам так скажу, вот это, это рассказывается не 40 минут, как я сейчас болтал, это 5 минут Это 5 минут на лекции, но от силы 8, понимаете? И вот этот разговор про производное направление, это 5-8 минут И то половина этого времени уйдет на то, чтобы лектор это написал А он здесь напишет просто несколько слов Ну и конечно, это тяжело, нужно учить, нужно как раз научиться учиться

2:54:34 То есть физтех, да и вузы, это не то место, где ты приходишь и вот такой О да, знания, знания, приходите ко мне, я готов вас впитывать, пожалуйста Вот препод рассказывает, а я впитал, я вот насытился этим, да, вот как энергии солнца Или вот этой аффирмацией, нет, это вообще не так Учеба это когда ты сел, думаешь, что это в жизни не понять, но ты сидишь и пытаешься, пытаешься разбираться. Часы тратишь, но ты разбираешься, пробуешь воспроизводить, пробуешь это обсуждать. И после этого приходит стадия принятия, а потом только уже стадия осознания, когда наконец-то эти знания отложатся. Это важно понимать.

2:55:20 Поэтому, конечно, сходу тяжело, да, это правда. Так и на физтехе, и вообще в любом другом вузе. Ну, мы на этом учимся. И я стараюсь сделать все возможное, чтобы помочь, чтобы вам потом было проще дойти до стадии принятия при повторном просмотре, при повторном изучении. Это очень важно. Все забывают, что сложный материал, он осознается не при первом изучении, а при повторном. Вот так вот, ребят, не забываем. Давайте градиент. Градиент R. Давайте найдем просто градиент r Ну, как бы, смотрите То есть, вот у вас есть функция Функция от x, y равна r

2:56:15 Что такое r? r это корень из x квадрат плюс y квадрат Это ваше значение функции f Давайте это себе зафиксируем То есть, если я беру r, ну, плоскость x, y Ой, не сюда То вот r, это здесь координата x, а здесь координата y Вот, и вы сказали, давайте рассмотрим функцию f, которая равна просто r

2:57:06 То есть вот этому расстоянию от точки O до какой-то точки A Хочу найти градиент f То есть чему равен градиент r Задача ясна Поехали считать Первое Так, что такое градиент? Ну, ребят, градиент — это вектор производных. То есть вспоминаем, что градиент f, можно еще значок вектор оставить, это вектор производных dfpdx и dfpdy.

2:57:56 Это значит, что вам нужно найти dfpdx и нужно найти dfpdy. Считаем. Давайте немножечко пониже поставлю. Так, dfpdx. Так, я хочу найти производную, получается, корня из х квадрат плюс у квадрат Производная по х, частная производная по х Это означает, что у для нас теперь константа Она фиксирована Мы берем производную по х Это наша сейчас переменная Но пользуемся тем, что у нас производная сложной функции То есть первая функция это корешок, то есть одна вторая степень А вторая функция это вот эта сумма квадратов

2:58:42 Так, давайте немножко так перепишу, чтобы нам было проще воспринимать x² плюс y² в степени 1 вторая и производная по x. Сначала производная внешней функции, то есть производная степени 1 вторая. 1 вторую я здесь выношу, у меня остается x² плюс y², а дальше идет 1 вторая минус 1. А дальше я должен не забыть умножить на производную внутреннюю функцию, то есть на производную y² плюс x².

2:59:16 Так, что тогда получаю? Я получаю, что с одной стороны это у меня будет единица деленная на 2 деленная на корень Из x квадрат плюс y квадрат Потому что, обратите внимание, здесь у вас будет минус 1 вторая Это значит, что корешочек переходит в знаменатель Обратите на это внимание Далее я умножаю на производный x квадрат плюс y квадрат Ну, конечно, это просто будет 2x Потому что у вас y квадрат, но это константа Вы берете производную по x y их зафиксировали Так, двойка сокращается, и тогда вы получаете, что df по dx

3:00:02 Или f' по x будет записываться как просто x, деленное на корень. Ну или предлагаю это еще так переписать, то есть это будет x, деленное на r, где r маленькое, это то самое расстояние. Так, напишите мне 22, если мы поняли, как я нашел эту частную производную. Напишите мне тогда 22, если мы поняли, как я нашел эту частную производную. Теперь, третий пунктик. Найдем df по dy. Это теперь производная корня из х квадрат плюс у квадрат, производная по у.

3:00:52 Ровно аналогичным образом поступаем. Это производная от х квадрат плюс у квадрат в степени 1 вторая. Только теперь я считаю, что х это константа. Значит, 1 вторая здесь выносится. Берется сначала производная внешней функции. Как вы понимаете, это будет минус 1 вторая, потому что у вас будет 1 вторая минус 1. Но 1 вторая минус 1 будет минус 1 вторая. И умножаете на производную внутренней функции. То есть теперь производная по y. Тогда вы получаете, что f' по y вам выдает. Это будет 1 деленный на двойку на корешок x квадрат плюс y квадрат.

3:01:44 И умноженное все это на 2y. Обратите внимание, двоечка сокращается. Вот ровно как и здесь. Вы получаете, что тогда f' по y вам выдает y деленный на корень из x квадрат плюс y квадрат О, как! Или по-другому, это будет y деленный на r Напишите здесь 33, если вы согласны с тем, как я получил ответы на эти пункты Объединяем

3:02:35 Получается градиент f Это будет вектор из компонент X, R, Y, R То есть это проекции моего вектора градиента на ось X, на ось Y R можем вынести и получаем вектор с координатами X, Y Что такое вектор с координатами X, Y, ребят?

3:03:15 Это же вектор R У него же координаты X, Y, правильно? То есть вы получаете на самом деле, что здесь стоит вектор r деленный на r. О как! То есть у вас градиент функции f, где f оказывается просто значением r, это будет r вектор на r. Очень красиво. Давайте попробуем его осознать, то есть что мы с вами здесь получили. так вот смотрите давайте попробуем понять вот как у нас с вами выглядит линии уровня линии

3:04:09 уровня линии уровня у нас с вами будут выглядеть так здесь конечно наименьшее значение поэтому я сделал бы так потом 0409 уже потолще а потом еще толще то для этого мне единственное потребуется

3:05:08 чуть-чуть вот это увеличить в то есть это мои линии уровня чем толще тем больше значением ну потому что у вас f то есть это линии уровня потому что напомню у вас f от x и y выражается как просто ир маленько ну и как вы понимаете чем дальше вы находитесь тем больше значения вашей функции вот Поэтому я здесь все толще-толще изобразил

3:05:54 То есть здесь минимум То есть тут минимальное наше с вами значение А максимум там, на бесконечности А это линия уровня Потому что если r зафиксировать, это же просто будет окружность Каждого радиуса, правильно? И что мы с вами увидели? Мы увидели, что градиент Он как смотрит? Он смотрит вдоль радиуса r-вектор Ну и по длине равен 1 По длине это просто означает, что скорость роста в этом направлении равна 1 И здесь, на самом деле, просто постоянный рост направления. Но это понятно, потому что здесь конус как бы образуется. Но, что самое важное. Обратите внимание, у вас градиент, он смотрит вдоль r-вектора.

3:06:42 То есть, если я изображу вот r-вектор, то у меня, обратите внимание, градиент будет точно смотреть вдоль него.

3:07:01 Выраженный как r-вектор на r. Что и будет характеризовать, что этот градиент перпендикулярен этой линии уровня. И показывает направление наибольшего роста То есть, если вы будете двигаться вдоль градиента То у вас будет наибольший рост Вы как можно скорее доберетесь до максимума Ну и, конечно, направление против градиента Это направление наибольшего убывания То есть, если вы будете двигаться так или так Вы как можно быстрее, конечно, достигнете минимума Это, я думаю, здесь и видно То есть, направление наибольшего роста наибольшего роста фух напишите мне 40 если мы поняли как я нашел здесь градиент от r как мы

3:07:58 это с вами здесь визуализировали увидели что да градиент является перпендикуляром к линии уровня так давайте пример 2 так жду от вас 12 здесь так все нормально да видно мало ли что так давайте пример 12 пример 2 12 что-то 2 до 12 спасибо давайте пример 2 смотрите он будет

3:09:02 таким вычислить градиент от некой функции зависящий от расстояния где f от функция Зависящая от расстояния R

3:09:47 Где R у нас выражается как x2 плюс y2 Так, затем подставить функцию от R Как кулоновский потенциал Фи, который выражается как какуна R Потому что, заметьте, кулоновский потенциал Он является функцией только расстояния То есть как у Мы считаем константами Это фиксированные константы Нас будет интересовать, а что же мы получим Если потом подставим вот такую функцию

3:10:33 Которая напрямую зависит только От расстояния, не более чего Понятно задание, да? Ну да В школе такому Ну не учат, конечно же Это уже уровень выше Честно, это вообще Как раз-таки, либо второй семестр А то и третий бывает семестр Поэтому, ну, нужно знакомиться Это просто интересно Это интересный момент Реально классно Давайте считать Нужно просто, главное, не бояться Нужно просто посчитать Так сказать, не знаешь, что делать, пиши, что можешь Или глаза боятся, а руки делают Все, а руки просто считают Вспоминаем, что такое градиент

3:11:19 Градиент Это вектор Из производных По x, по y Давайте просто каждую эту производную По правилам посчитаем То есть смотрите Я беру df по dx считаю То есть я ищу Производную f от r Производную по x Обратите внимание, что у меня здесь получается У меня здесь На самом деле просто таится сложная Производная Производная сложной функции, понимаете? Это же как классно. То есть у вас здесь идет производная функции, которая сама по себе зависит от функции, которая зависит от x.

3:12:10 То есть здесь, по сути своей, просто нужно увидеть ту самую производную сложную функцию. И все. То есть на деле это очень легко. А выглядит страшно. А как мы с вами считаем производную сложную функцию? Да просто по определению. Вспоминаем, что нам нужно просто вот как это... Как они называются так? Матрёшку, вот как матрёшку раскрывать, то есть сначала у меня идёт производная f по своему аргументу, то есть производная по r, потом я умножаю на производную r по своему аргументу x. Всё, вот и всё. То есть я получаю Так, у меня что, разрядилось что ли?

3:12:58 Да ты что? Я же тебя ставил сегодня на зарядку Да нет, не разрядилось, нормально Да, 6%, мы живем То есть это будет выглядеть, если Кто хочет увидеть, можно так записать df, pdr, прямая производная по r Потому что f является функцией чисто одного аргумента А далее Мы берем dr, pdx Потому что r у нас является функцией двух переменных Заметьте Вот, то есть, как бы, помечу, f это функция одного аргумента, а r это функция двух аргументов Вот, как бы, вот такой вот прикольчик, да, вот так вот И поэтому здесь мы пишем обычные d, потому что, ну, обычная, обыкновенная производная

3:13:47 Здесь уже производная по x, частная производная по x нашего r Здесь, пожалуйста, напишите два плюсика, если вы увидели вот эту стандартную, сложную, ну, стандартную производную сложной функции То есть я взял производную от функции, которая зависит от функции Это значит, что мне сначала нужно взять производную f по своему аргументу А потом взять производную r по своему аргументу Но там уже идет x Поэтому я получаю, что f' по x Это будет f' То есть обыкновенная производная по радиусу И умноженная на dr по dx

3:14:39 Напишите здесь два плюсика, если ок, минусик, если не ок Потому что это принципиальный момент Здесь увидишь, что все сводится к обыкновенным, стандартным производным Которым мы с вами привыкли А про DRPDX мы что знаем? А про drpdx мы что знаем? Да мы на самом деле уже считали, вон. У нас было, помните? У нас предыдущий пример был как раз-таки про функцию f равной r, мы и считали dfpdx. Давайте предлагаю сразу воспользуемся этим выражением, которое у нас с вами было. То есть из примера 1 мы знаем, что drpdx, или как бы производная x2 плюс y2 по x,

3:15:41 Она нам выдает стандартное значение x, деленное на r. Как мы это с вами получили, как раз в предыдущем просто пункте. Потому что оно нам незачем сейчас заново писать, мы уже на это время потратили в предыдущем пункте. Так, вот здесь, пожалуйста, напишите два плюсика, если ок. Потому что принципиальный момент, просто увидеть сложную производную. То есть, помните, у вас там f от g от x, например. Как мы берем производную по x? Это f по g умноженное на g штрих по x. То есть, мы берем F сначала по своему аргументу, потом G по своему аргументу. Здесь обыкновенная матрешка, как мы это делали в вебинаре по производной, который у меня тоже выложен на этом YouTube-канале, среди трансляций. Так, это... Да что ж... Да ты че? Да что ж ты такое?

3:16:31 Все, у него 5% он хочет отдыхать, называется. Так, напишите два плюса, если ок, если согласны. Сейчас у меня... Я не знаю, что он.

3:16:46 Спасибо большое. Все, пенсил, пожалуйста Да терпи, чуть-чуть осталось Вот, а то ты это, начинаешь разряжаться Вот, x на r Четвертое Поехали, df по dy Но здесь все аналогично То есть мы берем f от r Производную по y Производная сложной функции Идет сначала производная f по r Ну, то есть по своему аргументу А потом умножаясь на производную по вот этому аргументу, который и требуется. То есть это записывается как df по dr, множенное на dr по dy.

3:17:39 Так, но dr по dy я уже знаю. Из примера 1 я знаю, что dr по dy, или как по-другому, производная x квадрат плюс y квадрат по y нам выдает y, деленное на r. получаем итог f штрих по x ты кто вот f штрих по x с одной стороны это получается полная производная f штрих по r а далее я умножаю на d r по dx а это мы с вами

3:18:24 уже нашли это x на r а f штрих по y это получается df по dr то есть это Это производная F' по R, умноженная на R' по Y, а это мы уже знаем, Y на R. Подставляем все это в градиент F.

3:19:09 Получаем, что это будет вектор из прямой производной по R.

3:19:24 Так, да. На всех пожарных здесь помечу, что вот, например, F' по X, что это такое? Это d по dx, то есть производная f, которая зависит от r, которая зависит от xy То есть оно, вот как оно выглядит, ребят, понимаете? То есть у меня f зависит от r, которая зависит от xy И за счет производной сложной функции я свел к тому, что я беру производную чисто по r А это сильно проще, мне не надо ничего мудрить хотя бы Можно вынести f' по r на r, получается xy И заметьте, а это кто? А мы же уже писали, что это наши родники

3:20:09 Вектор r То есть я получаю, что это будет f' по r Умноженное на вектор r на r Вау! Класс! То есть мы с вами получили, что градиент f и вправду Нам выдает просто производный f' по r Умноженное на такой вот единичный вектор То есть ровно по аналогии с тем, что у нас с вами было То есть важно понимать, что здесь как бы затаился вектор с координатами x, y. Но вектор с координатами x, y это вектор r. Так, ну и давайте, пусть f от r это потенциал φ от r.

3:20:57 То есть давайте мы возьмем, подставим сюда потенциал, обыкновенный кулоновский потенциал. Он как выражается? Это как у на r, правильно? Так, как у нас с вами вычисляется φ'? Ну или f'. Ну это, конечно, вот как у здесь остается. У нас берется r-1 и производная от этого Это будет минус kq на r-2 То есть я получаю, что f' на r Нам выдает минус kq на r2 О! А тогда, смотрите, каким элегантным движением руки

3:21:43 Мы с вами получаем градиент f То есть получается, градиент кулоновского потенциала будет выдавать нам минус kQ на r квадрат и умноженное на r вектор деленное на r, где вот здесь стоит как раз фи штрих,

3:22:10 а тут r вектор на r. То есть я получаю минус kQ на r куб на r вектор. А это что? Вспоминаем. А это вектор напряженности. То есть вот эта штука, это вектор напряженности электрического поля для точечного заряда. Какой р-вектор на р-куб? Вот и заметьте, как красиво у нас и в действительности получилось, что вектор е это есть минус градиент фи. То есть, ну, все четенько, все четенько. Все элегантненько. И на самом деле можно и подставить. То есть, давайте еще раз я тогда сделаю картиночку. Я не постесняюсь ее сделать еще раз, чтобы она у нас точно с вами была.

3:23:13 О, поместил. Так, окружности.

3:23:33 Ну, вот как-то так, да?

3:23:38 Вот это раз. потом 2 так и потом 3 потому что вот вы получаете что фиат r вас же получается как как у на r давайте будем считать что q положительный а это значит что чем ближе к центру вы находитесь тем больше у вас значения конечно тут в идеале написать максимальное значение а это как раз ки эквипотенциальные

3:24:31 поверхности потенциальные опять этой потенциальные поверхности ну или по-другому линии уровня ну и что вы получили вы получили что градиент и у вас смотрит вдоль радиус вектора да то есть вы получили что градиент f ну вот это вашу фи он выражается как минус как у на r куб на r вектор ну ладно да

3:25:22 Да, он смотрит против, то есть как раз таки он и будет смотреть вот в этом направлении, то есть это градиент φ. А вектор напряженности, он смотрит против градиента φ, потому что он смотрит вдоль наискорейшего убывания, то есть градиент вдоль наискорейшего роста, а рост конечно сюда, потому что здесь максимум, вот сюда рост. А E вдоль наискорейшего убывания Или вот здесь тоже Градиент φ

3:26:13 А вектор E будет смотреть вот сюда Он и будет выражаться как Q на R В кубе R вектор Ну смотрите как классно, да? То есть по сути у нас с вами получилось, что Та самая электростатика, о которой нам рассказывали Вся выполнена, то есть все четенько Все и правда через этот градиентик считается Все с удовольствием Где градиент как раз показывает направление наибольшего роста, а минус градиент показывает направление наибольшего спуска, то есть убывания Важно отметить, что градиент, конечно, лежит в плоскости xy, это очень важно, потому что многие почему-то представляют это не в плоскости xy

3:26:58 Это в плоскости xy вектор находится, который вам просто говорит, типа, ну ребят, двигайся в этой плоскости вдоль градиента И тогда значение функции будет расти, все, причем наискорейшим образом А знак минус будет показывать, что наискорейшим образом будет убывать. Вот как-то так. Все, надеюсь, у меня получилось более-менее что-то вам рассказать. А именно рассказать про функцию многих переменных. Рассказать, что такое частные производные. То есть, конечно, в общем случае, когда мы смотрим за изменением функции, нам нужно понимать, как в целом аргумент меняется. Но сначала, чтобы было проще, просто чтобы было проще, рассматривается частный случай. Рассматривается случай, когда мы двигаемся только вдоль осей координаты

3:27:43 Поэтому получаются частные производные, которые считаются достаточно легким образом Частная производная по x это производная такая, где x является переменной, y фиксируем И наоборот Далее у нас возникает полный дифференциал Полный дифференциал мы с вами вывели Он в свою очередь будет как бы содержаться из двух движений Из движения вдоль x и движения вдоль y И мы с вами также посчитали, что это такое на примере объема. Самое финальное, что было, это градиент. Градиент, с одной стороны, вводится как просто вот красивый такой оператор, с помощью которого очень легко записывается значение полного дифференциала, вот это. То есть просто оказывается обыкновенное скалярное произведение, и не нужно очень много слагаемых писать, поэтому это просто из удобства. Но потом вводят такое

3:28:32 понятие, как производное по направлению, где, обратите внимание, производное направление, Хоть и обозначается как df, vdl векторов, но на деле это просто отношение, обратите внимание, что на деле это просто отношение приращения функции к модулю нашего элементарного перемещения вдоль фиксированного направления, то есть скорость роста функции вдоль этого направления. Это самое важное. Хоть обозначается так, но нужно понимать это вот так. Понимаем так, обозначаем так. Что же дальше?

3:29:19 Дальше, за счет этой производной поднаправления мы с вами поняли, что градиент, он оказывается показывает направление наискорейшего роста. То есть вдоль градиента двигаясь, функция f будет расти наибольшим образом. Мы это показали за счет просто знания того, что такое скалярное произведение. Где градиент f в какой-то фиксированной точке, но он фиксирован Остается вектор L менять Смотрите, где у вас какой угол α И видим, что при α равном 0 это значение наибольшее Значит, скорость роста функции будет наибольшей Дальше вводится такое понятие, как линия уровня То есть это та линия, вдоль которой f равна константе И таким образом можно... Изображать значение f на плоскости xy. То есть в действительности это выглядит так.

3:30:06 Вот ваша шапочка. Но чтобы этим не заниматься, можно рисовать такие линии уровня. И чтобы мы с вами поняли, что градиент, в свою очередь, он будет перпендикулярен линиям уровня. Потому что вдоль линии уровня вектор L направь, и у тебя производная по направлению не будет меняться. Далее мы это как раз таки продемонстрировали. Мы просто взяли, напрямую посчитали производную от R, то есть градиент R, и градиент F от R, где воспользовались просто стандартной сложной функцией, ой, производная сложная функция, и все. То есть ничего страшного здесь и не таится, просто нужно не бояться руками делать, потому что многие, вот у многих глаза боятся, на деле, как видите, просто главное сделать руками, все. Главное вот увидеть, что да, здесь производная

3:30:53 сложная функция, ее согласно правилам правильно записать. Ну и дальше все элементарно уже выражается, и вы получаете то самое ваше великое значение для напряженности в случае клоновского поля. Здесь напишите тогда по стубальной шкале, как вам сегодняшнее занятие, как мы с вами про это поговорили. Мне кажется, вышло очень красиво. Я прям честно вам скажу, люто кайфанул. Потому что я рассказал то, чего я на самом деле на первом курсе, на втором курсе и местами на третьем курсе не понимал. Мне требовалось некое достаточно долгое время, чтобы в этом разобраться. Честно вам признаюсь, потому что на лекциях, в том же самом физтехе всегда, ну, на это тратится очень мало времени. Конечно, требуется время для осознания, для восприятия и принятия этого материала.

3:31:38 Надеюсь, что таким образом я вам облегчу местами разбор в этой теме. Ну и также помогу как раз-таки с ботом электромагнетизм, потому что так вы просто будете более жестко шарить за электромагнетизм, как раз-таки понимать, где где у вас куда смотрит градиент, где какие-то потенциальные поверхности. Вот. Завтра у нас по расписанию, расписание, кстати, выложено в моем телеграм-канале примерно, мы с вами продолжим тогда разбираться с этой темой. У нас с вами будет на очередь дивергенция, ротор, оператор НАБЛА, мы про них поговорим. Если хватит времени, поговорим, может быть, про теорему Астроградского Гаусса. Если нет, ну, тогда, может быть, в другом занятии, если вы попросите.

3:32:23 Как минимум хочется просто с дивергенцией, ротором поговорить. Вот как-то так. Также, хотите видеть больше подробностей, хотите видеть информацию, либо объявления об этих занятиях, тоже заходите в телеграм-канал по ссылочке в описании, присоединяйтесь, там я об этом буду рассказывать. А также буду скидывать пособия. Как вы помните, я уже показывал, у меня есть пособие по производным, оно уже выложено в телеграм-канале. Есть пособие по интегралам. Я его показывал на предыдущем занятии, шикарное пособие. Пока что я его не выкладывал, пока я условия на него еще не сделал. Вот, скоро сделаю. Вот, у меня, кстати, есть пособие и по этой теме, аналогично, оно у меня сделано. Я вот не знаю, я его себе сюда отправил.

3:33:15 Да, остроградский гаусс, ну я хотел бы, то есть, вероятно, я с дивергенцией, конечно, его бахну. Сейчас, буквально одну секунду, я немножечко вот так вот, нет, не вот так, вот так сделаю. Сейчас посмотрю, у меня есть ли это пособие на руках, вот здесь, потому что вроде бы я его себе присылал, чтобы я вам показал, что вот можно будет в скором времени увидеть в моем телеграм-канале.

3:33:47 Да. Вот. То есть, например, у меня есть такое пособие, как раз таки мы сделали с командой, функции многих переменных, как раз таки градиент, вот то, что мы с вами сегодня, оператор набла, поверхностный интеграл, поток, вот это все. И как раз-таки здесь пошло-поехало, как раз-таки мини-теория, также разборы примеров Вместе с этим, ну вот, например, разборы примеров, также задачи для самостоятельного решения Чтобы вы сами потренировались к ним уже ответы, все как положено Вот, например, градиент, вот как раз-таки свойства Градиент преподекулярен поверхностям уровня, главное вот эта вещь Потом примеры, и все как и положено И так далее, вот, например, с дивергенцией здесь игры

3:34:32 что такое ротор, все как положено, поэтому следите за информацией в телеграм-канале, там в одно время, в некое ближайшее время в течение двух-трех недель я выложу тогда это пособие, мы его чуть-чуть там доработаем обработаем, добавим может быть некоторые вещи, некоторые вещи уберем нужно просто чуть-чуть доработать, то есть она в целом уже готова, просто хочется чуть-чуть его довести до ума и тогда там выложу так что подписывайтесь, там будет много полезной здесь информации Ну и конечно, если хотите еще таких занятий по математике и физике, пишите в комментариях, что вы хотите, а также пишите «хочу решать», и тогда я буду видеть, что вам это интересно и буду делать еще такие стримы. Вот так. Все, 60 лайков если набрали до 9 часов вечера, то запить будет.

3:35:19 Все, всем спасибо большое за занятие, мы с вами классно поработали, хотите со мной также мощно, жестко ботать олимпиадную физику, присоединяйтесь ко мне на курсы, мы также плодотворно, подробно разбираем все олимпиадные темы, необходимые для перечня плюс, чтобы не только на перечень, а местами и выше мы с вами осознавали материал и решали задачи. Так что всем пока-пока, счастья мира, добра, любви, пусть все у вас будет прекрасно, сказочно.